Bất phương trình logarit A.. Tóm tắt lý thuyết B... Bất phương trình đã cho tương đương với.
Trang 1Bất phương trình logarit
A Tóm tắt lý thuyết
B Một số ví dụ
Ví dụ 1 Giải bất phương trình 2
log x 16 log 4x11 1
Giải
1
2
16 4 11
4 11 0
x
11 4
x
5 1 11 4
x x x
x 5
Ví dụ 2 Giải bất phương trình 2 logx1 5 log 5 x1
Giải
Điều kiện: 1 0
x
x
1x 5
1 log 5 x12log 5 5 x
5x12 5 5 x
x125x x2 x 4 0
1 17 2
1 17 2
x
x
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là 1 17;5
2
Ví dụ 3 Giải bất phương trình 1 2
2
log log 3x1 1 1
Giải
1 log2log23x1 1
log2log23x11
0log23x 1 2 1 3 x 1 4 3x3 x 1
Ví dụ 4 Giải bất phương trình 2
Giải
Điều kiện:
2
x
0;3 1;
5
x
Trang 2 1 2 2
3 0
5
1
x
x
2
3 0
5
1
x
x
2
3 0
5
1
x
x
3 0
5
1 1 2 3 2
x x x x x
3 2
x x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 3; 3;
Ví dụ 5 Giải bất phương trình log25 2 2 log5x 22 3 0
x
Giải
Đặt t log25x2, suy ra t và bất phương trình 1 1 trở thành
2
3 0
t t
t23t 2 0 1 (
loại) thỏa mãn
t t
Thay t log25x2 bất phương trình t , ta cĩ 2
2
log 5x 2 2 5x 2 4 5x 2 x log 25 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là log 2; 5
Ví dụ 6 Giải bất phương trình
2
2 3
12
7
x
Giải
Điều kiện:
2
12 0
x
3 4 7
x x x
x ; 3 4; 7
log x x 12log 7x x 7 x x 12
x x x x x x
Xét hàm f t t log3t, t 0 Ta cĩ ' 1 1 0
ln 3
t
t 0, suy ra f đồng biến trên
0; Bất phương trình đã cho tương đương với
Trang 3 2 x 12 f 7
f x x x2 x 12 7 x
x2x12x214x49 37
13
x
Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là ; 3 4;37
13
x
C Bài tập
Bài 1 Giải các bất phương trình sau
1) log3x 2 1
2) log32 3 1
1
x
x
3
log log x 3 0
3 1
1
log x 0
x x
5) 0 ,5
2
0, 08 x x x x
3 1
2log xlog 1 x1
7) 1
4
logx x 2
1
log 2 1
3
x
9) 1 log 2004 x 2
10)
3
log 35
loga 5 3
a
x
x
11) 4x12.2x32 log 22x10
12) 2
4 2
2
1 log
2
x
x
x
log log x 9 log 4 log
x
2
5
log x 6x8 2 log x4 0
2
log log x 5 0
2
log x x 5x6 1
17) 3
2
log
x
x
18) log33 1
1 1
x
x
Trang 41) log2xx1 log 2x2x 2 0
log x.log xlog x log x
3) 3 4 1
5
2
x
x
4) 2 log2x log2x
Bài 3 Giải các bất phương trình
x x x x
Trang 5hệ phương trình mũ và hệ phương trình logarit
Giải các hệ phương trình:
1)
l g l g 4
1
l g l g 3
2)
x y
y x
3)
2
5 51 10
1 5
x x
y
xy
4)
1
log 2
x
x
y
y
5)
2
2
2
2
y x
x y
12
log 1
3
y
x
7)
2
4
4
l g l g lg 4
8)
5
3 2 1152
x y
10)
3
3 2 972
x y
11)
3
1 2log
y x
12) 3 3 2 2
log x y log x y log xy
Trang 613) log log 2 log 18 1
14)
5
5 3
27 3log
y x
15)
8
16)
2
2 64 x 0
y
y
x
x
17)
5 2
1 log
log
12
1
3
18)
1
8 x 0
y y
x
2
2 log 2 log 5 0
32
x y
xy
1
4 y4x 8 8x y 0
x
y
29)
12
2 2 log log 5
y
x
30)
1
2 x 0
x y
x
31) 2
lg lg lg 2
32)
3 2
3
y
x
Trang 733)
2
5 2 200
y
x
y
x
34)
2 2
1
2
2
2
o x y
22)
2,5
1, 5
64 y 0
x
y
23)
l g l g 5 l g l g l g 6
l g
1
l g 6 l g l g 6
o x
24)
2 2
y
x x
25)
26)
2
6
36
x y
x
27) 2 2
2
28)
log
log
log p q vµ pq 0
a a
a
x x
35)
l g l g
l g 4 l g3
o x o y
36)
2
lg lg 2, 5 lg a 0
37)
log log
4
38 )
2
2
8
2 16
x xy
x y
x xy x
x y
39)
Trang 840) 2 2 5
2x y 4
41) 8 10
2 5
x
x
y
y
0, 5 log log 0
43)
log
log
2
16
y
x
x
y
x
y
44)
log log
log log
log
log
512 8
2 2
x z
z x
45)
2
1 x x 1
46)
2
1
x y x y
x y
47) 2 3 12
3 2 18
x y
x y
2
log
xy
xy
49)
2cot sin
sin cot
x y
2x 2y 2
51)
2
52)
log 2,5
3
log log 2 1
y x
y
phương trình và bất phương trình mũ chứa tham số
I) ứng dụng của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai:
(So sánh số với các nghiệm của phương trình bậc hai)
1) Giải và biện luận phương trình: m2 2 x m5 2 x2m10
Trang 92) Giải và biện luận phương trình: 3
3 5 a 3 5 2x 3) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m2 2 2x212m1 2 x2 12m 6 0
4) Tìm m để phương trình: m3 16 x2m1 4 xm 1 0 có hai nghiệm trái dấu
5) Cho phương trình: 4xm.2x12m0
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 sao cho x 1 + x 2 = 3
6) Giải và biện luận phương trình: a) m.3x m.3x 8
b) m2 2 xm.2xm0 7) Xác định m để các phương trình sau có nghiệm:
a) m1 3 2x2m3 3 xm 3 0
b) m4 4 x2m2 2 xm 1 0
8) Cho phương trình: m.16x2.81x 5.36x
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
9) Cho phương trình: 3 2 2 tgx3 2 2 tgx m
a) Giải phương trình với m = 6
b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm ;
2 2
10) Xác định m để bất phương trình: m.4x2m1 2 xm 5 0 nghiệm đúng với x < 0
11) Cho bất phương trình: m.9x2 3x 26x2 3x 216 1 m4x2 3x 0 (1)
a) Xác định m để mọi nghiệm của (1) thoả mãn bất phương trình 1 < x < 2 (2)
b) Xác định m để mọi nghiệm của (2) đều là nghiệm của (1)
12) Xác định các giá trị của m để bất phương trình:
2 2 2 2 2 2
9 x x2 m1 6 x x m1 4 x x 0 nghiệm đúng với mọi x thoả mãn điều kiện 1
2
x
13) Cho bất phương trình: m1 4 x2x 1m 1 0
a) Giải bất phương trình khi m = -1
b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
14) Cho bất phương trình: 1
4x m 2x 1 0
a) Giải bất phương trình khi m = 16
9 b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
15) Xác định m để bất phương trình:
a) 2
.4x 1 2x 1 0
m m m nghiệm đúng với x
Trang 10c) m.9 2m1 6 m.4 0 nghiệm đúng với x [0; 1]
16) Cho bất phương trình:
12
(1) a) Giải bất phương trình (1)
b) Xác định m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của bất phương trình:
2x2 + (m + 2)x + 2 - 3m < 0
II) phương pháp điều kiện cần và đủ giải các bài toán mũ chứa tham số:
1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 12
3x m 2) Tìm m để hai phương trình sau tương đương:
1
9x 3x 4 0
4 2x 4x 1
3) Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 4x12x4 2x216
4) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 12
2x m
phương trình và bất phương trình logarit chứa tham số
I) ứng dụng của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai:
1) Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm dương:
x
2) Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 1
; 2 2
:
m 2 2 log2x 2m 6x log 2x 2m 1 0
3) Xác định m để bất phương trình:
2 2 2 2
log
x m x
nghiệm đúng với mọi x > 0