Trên cung AD lấy điểm E , nối BE kéo dài cắt AC tại F a/ Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp b/ Kéo dài ED cắt AC ở K.Tia phân giác của ãCKD cắt EF và CD tại M và N, tia phân giác của ãCBF
Trang 1Bài tập hình học 9 Câu 1: Cho ∆ABC vuông tại C có BC = 1
2 AB Trên cạnh BC lấy điểm E ( E ≠ B;C)
Từ B kẻ đờng thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm của d với AE, AC kéo dài lần lợt tại
I , K
a/ Tính CIKã =?
b/Chứng minh : KA.KC = KB.KI
c/ Gọi H là giao diểm của đờng tròn đờng kính AK với AB Chứng minh H , E , K thẳng hàng
d/ Tìm quỹ tích điểm I khi E chạy trên BC
HD
a/ CIBA nội tiếp ⇒ CIA CBAã = ã = 600
ãKIC + ãCIA = 900 ⇒ ãKIC = 900 – 600 = 300
b/ ∆CKI : ∆BKC (g.g)
Câu 2: Cho ∆ABC vuông tại A Nửa đờng tròn đờng kính AB cắt BC ở D Trên cung
AD lấy điểm E , nối BE kéo dài cắt AC tại F
a/ Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
b/ Kéo dài ED cắt AC ở K.Tia phân giác của ãCKD cắt EF và CD tại M và N, tia phân giác của ãCBF cắt DE và CF tại P và Q Tứ giác MPNQ là hình gì ? Vì sao?
c/ Gọi r , r1 , r2 thứ tự là bán kính các đờng tròn nội tiếp ∆ABC, ∆ADB, ∆ADC Chứng minh rằng: r2 = r12 + r22
a/ Ta có àC = ãBAD (cùng phụ với DAC)
Mà ãBAD = ãBED (cùng chắn ằBD )
⇒ ãBED = àC ⇒ CDEF nội tiếp (có góc ngoài bằng
Góc trong ở đỉnh đối diện)
b/ ãKQP = C + CBQ (tính chất góc ngoài của ∆BCQ)
ãKPQ = BEP + EBQ (t/c góc ngoài của ∆BPE)
Có C = BEP; CBQ = EBQ ⇒ ãKQP = ãKPQ
⇒ ∆KPQ cân tại K ⇒KN ⊥PQ và IP = IQ (1) ∆BMN có BI là phân giác đồng thời là đ-ờng cao ⇒ ∆BMN cân tại B ⇒ IM = IN (2) ⇒ MPNQ là hình thoi
Câu 3: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính BC Điểm A thuộc nửa dờng tròn đó
Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa đỉnh C Gọi F là giao
điểm của AE với nửa đờng tròn (O) K là giao điểm của CF và ED
a/ Chứng minh rằng 4 điểm E , B , F , K nằm trên 1 đờng tròn
b/ ∆BKC là tam giác gì? Vì sao?
c/ Tìm quỹ tích điểm E khi A chuyển động trên nửa đờng tròn
a/ EBFK có E F 90à = = $ 0 ⇒ EBFK nội tiếp
EBFK nội tiếp⇒ ãFEB = ãFKB = 450 ⇒ ãKBF = 450 ⇒ ãCBF = 450
⇒ ∆BKC là tam giác vuông cân tại B
c/ F là điểm chính giữa BACẳ
Do B, C cố định ⇒ F, K cố định và FB = FK; ãBFK = 900
⇒ Khi A c.đ trên BACẳ thì E c.đ trên cung tròn 900 tâm F dây BK
H
K I B
C
A E
K
F
E D
A
I
Q
M
K F
D
A
C B
E
Trang 2Câu 4: Cho ∆ABC cân ở A, góc A nhọn Đờng vuông góc với AB tại A cắt đờng thẳng BC ở E Kẻ EN vuông góc với AC Gọi M là trung điểm của BC, hai đờng thẳng AM
và EN cắt nhau tại F
a/ Tìm những tứ giác nội tiếp đờng tròn Giải thích vì sao? Xác định tâm các đờng tròn đó
b/ Chứng minh EB là phân giác của ãAEE
c/ Chứng minh M là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆AFN
Câu 5: Cho (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Các tiếp tuyến tại A của (O) và (O’) cắt
(O’) và (O) theo thứ tự ở C và D Gọi P và Q lần lợt là trung điểm của dây AC và AD
Chứng minh rằng:
a/ ∆ABD : ∆CBA
b/ BQD APBã =ã
c/ Tứ giác APBQ nội tiếp
a/ ∆ABD và ∆CBA có: ãACB = ãDAB, ãCAB = ãBDA
⇒ ∆ABD : ∆CBA (g.g)
b/ ⇒ BD AD
⇒ ∆APB : ∆DQB (c.g.c) ⇒BQD APBã = ã
c/ ……
Câu 6: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho
AI = 2
3 AO Kẻ dây MN⊥ AB tại I Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C ≠ M, N, B) Nối AC cắt MN tại E
a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
b/ Chứng minh ∆AME : ∆ACM; AM2 = AE.AC
c/ Chứng minh AE.AC – AI.IB = AI2
d/ Hãy xấc định vị trí của điểm C để khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp
∆CME nhỏ nhất
Câu 7: Cho ∆ABC nhọn, àA = 450 Vẽ các đờng cao BD và CE của ∆ABC Gọi H là giao điểm của BD và CE
a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
b/ HD = DC
c/ Tính DE ?
BC = d/ Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh rằng OA ⊥ DE
b/ ∆EAC có ãAEC = 900, àA =450 ⇒ ∆EAC vuông cân tại E
⇒ ãECA= 450 ∆DHC có àD 900, àC = 450
⇒ ∆DHC vuông cân tại D ⇒ HD = DC
c/ EDCB nội tiếp ⇒ Eà1=Bà1 ⇒ ∆HED : ∆HBC (g.g)
2
d/ ∆EAC vuông cân tại E ⇒EM ⊥ AC (M là trung điểm AC)
Có OM ⊥ AC ⇒ M, O, E thẳng hàng Tơng tự, D, O, N thẳng hàng có DN ⊥AB
⇒ O ≡DN ∩EM là trực tâm của ∆ADE ⇒ AO ⊥ ED
Q P
D C
A
O'
B
O
1
1
45 o
O N
M H E
D
B
Trang 3Câu 8: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đờng tròn đờng kính AB Hạ
BN và DM cùng vuông góc với đờng chéo AC Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác CBMD nội tiếp
b/ Khi D di động trên đờng tròn thì ãBMD BCD+ã không đổi
c/ DB.DC = DN.AC
Câu 9: Cho (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến chung với 2 đờng tròn về phía mặt phảng bờ O1O2 chứa điểm B có tiếp điểm theo thứ tự là E và F Qua A kẻ cát tuyến song song EF cắt (O1) và (O2) thứ tự tại C và D Đờng thẳng CE cắt DF tại I
a/ Chứng minh IA vuông góc với CD
b/ Chứng minh tứ giác IEBF nội tiếp
c/ Chứng minh AB đi qua trung điểm của EF
` Câu 10: Cho (O; R) , hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau E là điểm chính
giữa cung nhỏ BC và AE cắt CO ở F, DE cắt AB ở M
a/ ∆CEF và ∆EMB là các tam giác gì?
b/ Chứng minh tứ giác FCBM nội tiếp Tìm tâm đờng tròn đó
c/ Chứng minh rằng các đờng thẳng OE , BF , CM đồng quy
Câu 11: Cho ∆APN vuông tại A, đờng cao AD Trên nửa mặt phẳng bờ AD không chứa điểm P vẽ hình vuông ABCD, cạnh AN cắt BC tại M Chứng minh rằng:
a/ BM = PD
b/ ∆APM cân tại A
c/ 12 1 2 1 2
AD = AN + AM
Câu 12: Cho ∆ABC vuông tại B có à 0
60
C= , AC = 6cm (cần chỉnh sửa)
a/ Tính các cạnh còn lại của ∆ABC
b/ Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = AC Chứng minh rằng: CB AB
CN = AN
c/ Đờng thẳng song song với đờng phân giác của ãACN kẻ từ B cắt AN tại H Chứng minh rằng: 12 12 12
BH = AB + BN
Câu 13: Cho hai đờng tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A Đờng nối tâm OO’
cắt (O) tại B, cắt (O’) tại C Gọi M là trung điểm của BC, kẻ dây EF vuông góc với BC tại
M EA kéo dài cắt (O’) tại D
a/ Chứng minh rằng F , D , C thẳng hàng
b/ MD là tiếp tuyến của (O’)
c/ BF là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua 3 điểm M , A , D
Câu 14: Cho (O;R), đờng thẳng xy tiếp xúc với (O) tại A Trên đờng tròn (O) lấy
điểm B Hạ BK ⊥xy Đờng cao OH của ∆OAB cắt BK tại M
a/ Chứng minh AOH BAKã = ã
b/ Chứng minh OH.BM = OB.HM
c/ Khi B chuyển động trên (O) tìm quỹ tích điểm M
d/ Khi sđằAB = 1200 Tính diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung AB
* Câu 15: Cho ∆ABC đều nội tiếp (O) và 1 điểm M trên cung BC không chứa A a/ Chứng minh rằng MA = MB + MC
b/ Gọi H , I , K lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ M đến BC , CA , AB Chứng minh rằng: 1 1 1
MH = MI MK +
Trang 4Câu 16: Cho (O1) và (O2) có bán kính R cắt nhau tại A và B Qua A vẽ cát tuyến cắt
2 đờng tròn thứ tự tại E và F Đờng thẳng EC,DF cắt nhau tại P
a/ Chứng minh BE = BF
b/ Một cát tuyến qua A vuông góc với AB cắt 2 đờng tròn lần lợt tại ở C và D Chứng minh rằng tứ giác BEPF và BCPD nội tiếp và BP ⊥EF
Câu 17:Cho ãxOy = 900,trên tia Ox, Oy lần lợt lấy 2 điểm A và B sao cho OA = OB
M là 1 điểm bất kì trên AB, dựng(O1) đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A; (O2) đi qua M tiếp xúc với Oy tại B, (O1) cắt (O2) tại điểm thứ 2 là N
a/ Chứng minh tứ giác OANB nội tiếp và ON là phân giác ãANB
b/ Chứng minh NO1 là tiếp tuyến của (O2)
c/ AO1 cắt BO2 tại E Chứng minh 5 điểm O, A, N, E, B cùng thuộc 1 đờng tròn
d/ Xác định vị trí của M sao cho O1O2 ngắn nhất
B = N (cùng chắn cung BM của (O ))
A = N (cùng chắn cung AM của (O ))
Mà A + B = 90 ả ả ã 0
N N ANB 90
AOB ANB 90 90 180
Vậy OANB là tứ giác nội tiếp
+Nả 1 =àA c1( ùng ắn ch OB cằ ủa (OANB) )
OBO O AO+ =
M à OBN NAOã +ã = 180 ( 0 OANB l à tứ giác ội ếp)n ti
O BN O AN
O BN n O BN O NB
∆ ⇒ = ; ∆O2AN cân⇒O AN O NAã2 =ã2 ⇒ O NB O NAã1 =ã2
O NA BNO+ =BNA= ã ã 0
O NB BNO
Câu 18: Cho (O) và đờng thẳng d cắt (O) tại 2 điểm A, B Từ 1 điểm M thuộc
d vẽ 2 tiếp tuyến ME, MF (E, F là các tiếp điểm)
a/ Chứng minh EMO OEFã = ã , đờng tròn đi qua 3 điểm M, E, F đi qua 2 điểm cố định khi M thay đổi trên d
b/ Xác định vị trí của M để OEMF là hình vuông
Câu 19: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M, đờng thẳng đi qua C
vuông góc với CM cắt các tia AB,AD lần lợt tại E và F, tia CM cắt đờng thẳng AD tại N Chứng minh rằng:
a/ AMCF ; ANEC nội tiếp
b/ CM + CN = EF
Câu 20: Cho ∆ABC vuông cân tại A, một tia Bx nằm trong góc B cắt AC tại D Dựng tia Cy ⊥Bx tại E cắt BA kéo dài tại F
a/ Chứng minh rằng FD ⊥ BC Tính ãBFD
b/ ADEF nội tiếp Suy ra EA là phân giác ãFEB
c/ Tìm quỹ tích điẻm E khi tia Bx quét góc ABC
d/ Cho ãABx = 300 và BC = a Tính AB, AD theo a
*Câu 21: Cho (O) cắt (O’) tại A và B Một đờng thẳng d di động qua A cắt (O) tại C
và cắt (O’) tại D Gọi P và Q là hình chiếu của O và O’ lên d
2
1
1
O1
N
A
B
O
M
Trang 5a/ So sánh CD và PQ Xác định vị trí của CD sao cho CD dài nhất.
b/ Chứng minh rằng các bán kính OC và O’D hợp với nhau 1 góc không đổi
c/ Chứng minh rằng 4 điểm O, E, B, O’ cùng thuộc 1 đờng tròn ( E là giao điểm của
OC và O’D)
Câu 22: Cho ∆ABC vuông tại A Trên cạnh AC lấy điểm D , dựng CE ⊥ BD
a/ Chứng minh rằng ∆ABD: ∆ECD
b/ Chứng minh rằng ABCE nội tiếp
c/ Chứng minh rằng FD⊥BC Trong đó F là giao điểm của BA và CE
d/ Cho ãABC = 600, BC = 2a, AD = a Tính AC, AH là đờng cao của ∆ABC và bán kính của đờng tròn ngoại tiếp ADEF
Câu 23:Cho hình vuông ABCD M là 1 điểm trên đờng chéo BD Gọi H, I, K lần lợt
là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC, AD
a/ Chứng minh rằng ∆MIC = ∆HMK
b/ CM⊥ HK
c/ Xác định vị trí của M để diện tích ∆CHK nhỏ nhất
Câu 24:Cho ∆ABC vuông tại A nội tiếp (O), kẻ đờng kính AD
a/ Chứng minh ABDC là hình chữ nhật
b/ Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B và C.trên AD, AH là đờng cao của
∆ABC ( H ∈BC) Chứng minh rằng HM ⊥ AC
c/ Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆MHN
Câu 25: Cho ∆ABC đều, trên cạnh BC lấy điểm E Qua E kẻ các đờng thẳng song song với AB và AC cắt AC tại P cắt AB tại Q
a/ Chứng minh BP = CQ
b/ ACEQ nội tiếp Xác định vị trí của E trên cạnh BC để PQ ngắn nhất
c/ H là 1 điểm nằm trong tam giác sao cho HB2 = HA2 + HC2 Tính ãAHC
Câu 26: Cho ∆ABC có àA = 900, AC > AB Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp ∆ABC Các tiếp điểm của đờng tròn tâm I với các cạnh AB, BC, AC lần lợt là M, N, P
a/ Chứng minh rằng AMIP là hình vuông
b/ Đờng thẳng AI cắt PN ở D.CMR:5 điểm M,B,N, D, I cùng nằm trên 1 đờng tròn c/ Đờng thẳng BI và CI kéo dài cắt AC, AB lần lợt tại E và F CMR:
BE.CF = 2BI.CI
Câu 28: Cho ∆ABC có àA= 900 Dựng BD về phía ngoài ∆ABC sao cho BC = BD và
ã ã
ABC CBD= , Gọi I là trung điểm của CD, AI cắt BC tại E.
a/ Chứng minh CAI DBIã = ã
b/ Chứng minh ∆ABE cân
c/ Chứng minh AB.CD = BC.AE
Câu 29: Cho ∆ABC cân tại A, đáy BC = 6cm, đờng cao AH = 4cm nội tiếp đờng tròn (O; R) đờng kính AA’
a/ Tính độ dài đờng tròn (O;R)
b/ Kẻ đờng kính CC’ Tứ giác ACC’A’ là hình gì?
H N
M
D
O B
Trang 6c/ Kẻ AK⊥CC’ Tứ giác AKHC là hình gì?
d/ Tính độ dài OI ( I là tâm đờng tròn nội tiếp ∆ABC)
Câu 30:Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Dựng đờng tròn đờng kính
AB, BC Gọi D và E thứ tự là tiếp điểm của tiếp tuyến chung của đờng tròn đờng kính AB
và BC M là giao điểm của AD và CE Chứng minh rằng:
a/ ADEC nội tiếp
b/ MB là tiếp tuyến chung của đờng tròn đờng kính AB và BC
c/ Kẻ đờng kính DK của đờng tròn đờng kính AB CMR K, B, E thẳng hàng
Câu 31: Cho (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’) Đờng OO’ cắt (O) và
(O’) lần lợt tại B và C Tiếp tuyến chung MN, M∈(O); N∈ (O’) cắt tiếp tuyến chung tại A ở I
a/ CMR IM = IN
b/ CMR: MN = 2 RR'
c/ AM cắt (O’) tại E, AN cắt (O) tại F
CMR: BC2 = ME2 + NF2
c/ Kẻ BM cắt CN tại P
∆PBC vuông tại P
BPNF và CPME là hình chữ nhật
BP = NF; PC = ME
Câu 32: Cho đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B Đờng kính AC của (O1) cắt (O2) tại D
a/ CMR: O AOã1 2 =O BOã1 2
b/ Tứ giác O1BO2D là tứ giác nội tiếp
c/ Tiếp tuyến tại C của (O1) và tiếp tuyến tại D của (O2) cắt nhau tại E Đờng thẳng
AB cắt đờng tròn ngoại tiếp ∆BCD tại G CMR CEGD là hình chữ nhật
b/ O BOã1 2 =O AOã1 2
O AO =AO D O DA AO D O AD+ = +
O BO +O DA=
*Câu 33: Cho ∆ABC nhọn Các đờng tròn đờng kính AB và AC
cắt nhau tại D ( D≠ A) cắt AB, AC tại F và E CMR:
a/ D thuộc BC; AD, BE, CF đồng quy tại I
b/ I là tâm đờng tròn nội tiếp ∆DEF
*c/ Đờng tròn đờng kính AB cắt CF tại N Đờng tròn đờng kính AC cắt BE tại M CMR ∆AMN cân
Câu 34: Cho ∆ABC, đờng phân giác trong của góc A cắt BC tại D Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A kẻ tia Bx sao cho CBx DABã =ã Tia Bx cắt AD tại M
a/ CMR: MB2 = MA.MD
b/ CMR đờng tròn ngoại tiếp ∆MBC đi qua A
c/ Tiếp tuyến tại A của đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC cắt BC ở E CMR ∆AED cân d/ CMR: AD2 = AB.AC – BD.DC
d/
∆ABD: ∆CMD BD AD
MD CD
⇒ BD.DC = AD.MD
P
F
E
I N
C
A M
O 2
O 1
G
E
D
A
D
Trang 7∆ABM : ∆ADC AB AM
AD AC
⇒AB.AC = AD.AM
⇒AB.AC – BD.DC = AD.AM – AD.MD = AD(AM – MD) = AD.AD = AD2
Câu 35: Cho (O), A là điểm ngoài (O) Từ A kẻ tiếp tuyến AM,AN với (O) Cát
tuyến ABC (B nằm giữa A và C) Gọi I là trung điểm của BC
a/ CMR 5 điểm A, M, I, O, N nằm trên 1 đờng tròn
b/ Đờng thẳng qua B song song với Am cắt MN, Mc lần lợt tại E và F
CMR: Tứ giác BEIN nội tiếp và E là trung điểm của BF
b/+ ãMAI EBI= ã ( cặp góc đồng vị)
ã ả
1
MAI N= (cùng chắn cung MOI của (AMION)⇒ ả ã ã
N =EBI =MAI
⇒Tứ giác BEIN nội tiếp (có B; N cùng nhìn đoạn
EI dới 1 góc không đổi) +ả à
N =C ( cùng chắn cung BM của (O) )
ả à
N =I ( cùng chắn cung BE của (BEIN) ) ⇒ Ià1 =Cà1 ⇒IE // CF (cặp góc đ.vị = nhau)
I là trung điểm của BC ⇒IE là đờng trung bình của ∆BCE⇒E là trung điểm của BF
Câu 36: Cho ∆ABC đều nội tiếp (O) M là điểm tuỳ ý thuộc BC Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với BM tại N cắt CM tại D
a/ CMR: ∆AMD cân
b/ CMR: AM = MB + MC
c/ Gọi H, I, K lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ M xuống BC, AC, AB CMR:
MH = MI +MK
Câu 37: Từ 1 điểm M ở bên ngoài đờng tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB với
(O).Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD ⊥AB; CE⊥AM, CF⊥MB Gọi I là giao điểm của AC và DE K là giao điểm của BC và DE CMR:
a/ Tứ giác AECD, BFCD nội tiếp
b/ CD2 = CE.CF
c/ IK // AB
Câu 38: Cho hình vuông ABCD có 1 góc bất kì ãMAN = 450 Nối BD giao với MA tại
H, với AN tại K, KM giao với HN tại O CMR:
a/ ABMK, ADNH nội tiếp
b/ KHMN nội tiếp
c/ CMR: AH.AM = AK.AN
d/ OA⊥ MN tại P
e/ CMR: MP = MB, PN = DN
f/ CMR: KP = KD, HP = HD
g/ PA là phân giác của ãHPK
h/ CMR: ãHPK = 900
i/ HK2 = KD2 + HB2
Câu 39: Cho ∆ABC nội tiếp (O) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp ∆ABC Đờng thẳng
AI cắt BC tại D, cắt ằBC tại P
a/ CMR: ∆ABP : ∆BDP
b/ CMR: AB.AC = AP.AD và AB DB
AC =DC
1 1
1
F E
I B
N
M
A
O
C
Trang 8c/ Trên tia AI lấy điểm J sao cho ã ã
2
ABC AJC= + CMR: IBJC nội tiếp
+ CMR: CJ là đờng phân giác ngoài của ãABC
+ CMR: AP.AD = AI.AJ c/ AP.AD = AI.AJ ⇔ AB.AC = AI.AJ
∆ABI : ∆AJC (g.g) AB AI
AJ AC
Câu 40: Cho ∆ABC vuông tại C, đờng cao CH Gọi I là trung điểm của AB
a/ CMR: HC2 + AH2 = 2AH.CI
b/ Đờng thẳng vuông góc với CI tại C cắt AB tại G, các tiếp tuyến tại A và B của (I; IC) lần lợt tại F và E CMR: AF + BE = EF
c/ CMR:HA GA
HB = GB
d/ Khi AB = 2R, sđằAC = 600 Tính thể tích hình nón có đờng cao GB bán kính đáy
BE khi quay ∆ vuông GBE quanh GB
Câu 41:Cho ∆ABC nội tiếp (O), đờng tròn đờng kính BC cắt AB và AC lần lợt tại E
và F BF cắt CE tại H Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC CMR:
a/ K nằm trên (O)
b/ EF ⊥ OA
b/ Kéo dài BF cắt (O) tại I, kéo dài CE cắt (O) tại J
⇒ IJ // EF (ảBIJ = ãBFE = ãBCE)
+ãABI = ãACJ (cùng phụ với àA) ⇒ ºAI = ằAJ
⇒AO ⊥ IJ ⇒ AO ⊥ EF
Câu 42: Cho (O) và 1 điểm A nằm ngoài đờng tròn Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC ( B, C
là tiếp điểm) và cát tuyến AMN ( M nằm giữa A và N) với đờng tròn (O) Gọi E là trung
điểm của MN I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với đờng tròn
a/ CMR: 4 điểm A, O, E, C cùng nằm trên 1 đờng tròn
b/ CMR: ãAEC BIC= ã
c/ BI // MN
*d/ Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích ∆AIN lớn nhất
Câu 43: Cho ∆ABC nhọn, dựng (O) đờng kính BC cắt AB, AC lần lợt tại D và E Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC Đờng thẳng DH cắt (O) tại K
a/ CMR: 4 điểm A, D, H, C cùng thuộc 1 đờng tròn
*b/ CMR: ∆CBK cân
c/ Gọi giao điểm của AH và CD là G CMR: ba điểm B, G, E thẳng hàng
*Câu 44:Cho (O;R) và 1 điểm A sao cho OA = 3R Từ A vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC
với (O) ( B, C là tiếp điểm)
a/ CMR OBAC nội tiếp
J
P D
C B
A
J
I
K
H
F E
O
A
Trang 9b/ Từ B vẽ đờng thẳng // AC cắt (O) tại D (D ≠ B), đờng thẳng AD cắt (O) tại E ( E
≠ D) CMR: BC.EC = AC.BE
c/ Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng BD và AC theo R
Câu 45:Cho ∆ABC vuông tại A, đờng cao AH Vẽ (A; AH) Dựng BD và CE tiếp xúc với đờng tròn theo thứ tự tại D và E
a/ CMR: BD // CE
b/ CMR: BD.CE = 2
4
DE
c/ HD cắt AB ở M và HE cắt AC ở N CMR: MN = AH và MN cắt AH tại trung điểm của chúng
d/ Tính thể tích của hình tạo bởi khi cho ∆ABC quay quanh BC biết AB = 3cm, AC
= 4cm
Câu 46: Cho ∆ABC nhọn, đờng cao BM và CN cắt nhau tại H ( M∈AC, N∈ AB),
đờng AH cắt BC tại K
a/ CMR: BNHK nội tiếp
b/ Đờng thẳng MK cắt đờng tròn (BNH) tại E CMR: ∆BNE cân
c/ CMR: H là tâm đờng tròn nội tiếp∆KMN
Câu 47: Cho nửa đờng tròn (O; 2R = AB) Lấy điểm I thuộc đoạn AB, vẽ d vuông
góc với AI tại I cắt (O) tại C M là 1 điểm di động trên nửa đờng tròn ( M ≠ A, B), MA và
MB căt d lần lợt tạ D và E CMR:
a/ IC2 = IE.ID
b/ Biết BD cắt AE tại K, J là điểm đối xứng với D qua AB CMR: AEBJ nội tiếp
c/ Gọi N là trung điểm của ED CMR: NM và NK là các tiếp tuyến của (O)
d/ Khi M chạy trên nửa đờng tròn thì tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ADE chạy trên đờng nào?
Câu 48: Cho AB là đờng kính cố định của (O) và CD là đờng kính thay đổi của
đ-ờng tròn này Biết AC và AD lần lợt cắt tiếp tuyến d của (O) tại B ở các điểm P và Q; DC cắt d ở M CMR:
a/ MP.MQ = MC.MD = MB2
b/ 4 điểm P, C, Q, D cùng thuộc 1 đờng tròn
c/ Hạ AI vuông góc với CD tại H ( I thuộc d) CMR: I là trung điểm của PQ Điều ngợc lại
có đúng không?
d/ Khi đờng kính CD quay quanh O thì trực tâm của ∆PCQ chạy trên đờng nào?