Tửứ moọt ủieồm M treõn tia ủoỏi cuỷa tia AB, keừ hai tia tieỏp tuyeỏn MC vaứ MD cuỷa ủửụứng troứn ủoự C vaứ D ụỷ treõn ủửụứng troứn , daõy CD caột ủửụứng kớnh AB taùi I.. Chửựng minh a
Trang 1MỘT SỐ BÀI TẬP HèNH CƠ BẢN
Bài 1 Cho đoạn thẳng AB và C là một điểm nằm giữa A và B Ngời ta kẻ trên cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy một
điểm I Tia Cz vuông góc với tia CI tại C và cắt By tại K Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P Chứng minh:
a Tứ giác CPKB nội tiếp
b AI.BK=AC.CB
c ∆ APB vuông
d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất
Bài 2 Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và
cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM<AN) Gọi E là trung
điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với (O)
a Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đờng tròn
b Chứng minh góc AOC=góc BIC
c Chứng minh BI//MN
d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất
Bài 3 Cho (O) có đờng kính BC Gọi A là một điểm thuộc cung BC (cung AB <
cung AC) D là điểm thuộc bán kính OC Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F
a Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp
b Gọi M là trung điểm của EF Chứng minh: góc AME=2 góc ACB
c Chứng minh AM là tiếp tuyến của (O)
d Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của (O) biết BC=8cm; góc ABC = 60o
Bài 4 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R và một điểm M di chuyển trên nửa
đ-ờng tròn Ngời ta vẽ đđ-ờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại
N Đờng tròn này cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai C, D
a Chứng minh CD//AB
b Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN đi qua một điểm K cố định
Trang 2c Chứng minh tích KM.KN khụng đổi.
d Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lợt là C', D' Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ nhất có thể đợc
Baứi 5 Cho ủửụứng troứn taõm O ủửụứng kớnh AB = 2R Tửứ moọt ủieồm M treõn tia ủoỏi
cuỷa tia AB, keừ hai tia tieỏp tuyeỏn MC vaứ MD cuỷa ủửụứng troứn ủoự ( C vaứ D ụỷ treõn ủửụứng troứn ), daõy CD caột ủửụứng kớnh AB taùi I Chửựng minh
a ) Tửự giaực OCMD noọi tieỏp
b ) CA laứ tia phaõn giaực cuỷa goực MCD
c ) IA2 +IB2 +IC2 +ID2 = 4R2
d ) Giaỷ sửỷ tam giaực MCD ủeàu, tớnh dieọn tớch cuỷa phaàn tam giaực MCD ụỷ ngoaứi ủửụứng troứn ( O ) theo R
Baứi 6: Cho tam giaực ABC coự ba goực nhoùn Dửùng ủửụứng troứn taõm O ủửụứng kớnh
BC caột AB taùi E vaứ caột AC taùi F Goùi I laứ giao ủieồm cuỷa CE vaứ BF Chửựng minh raống:
a ) AEIF laứ tửự giaực noọi tieỏp
b ) AI vuoõng goực vụựi BC
c ) OEC BAIã = ã Suy ra OE laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tửự giaực AEIF
Baứi 7 : Cho tam giaực ABC vuoõng caõn taùi A Treõn caùnh AC ta laỏy moọt ủieồm M
baỏt kyứ Tửứ C keừ ủửụứng vuoõng goực vụựi BM ủửụứng thaỳng naứy caột caực ủửụứng thaỳng BM vaứ BA theo thửự tửù ụỷ D vaứ E
a) Chửựng minh raống ABCD laứ tửự giaực noọi tieỏp
b) Chửựng minh EA EB = ED EC
c) Chửựng minh AE = AM
d) Khi M di chuyeồn treõn caùnh AC Thỡ ủieồm D di chuyeồn treõn ủửụứng naứo ? taùi sao ?
Baứi 8 : Cho ủửụứng troứn ( O ; R ) coự hai ủửụứng kớnh AB vaứ CD vuoõng goực vụựi
nhau Treõn ủoaùn thaỳng AB laỏy moọt ủieồm M ( khaực O) ẹửụứng thaỳng CM caột ủửụứng troứn ( O ) taùi ủieồm thửự hai N ẹửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi AB taùi
M caột tieỏp tuyeỏn taùi N cuỷa ủửụứng troứn ụỷ ủieồm P Chửựng minh raống
a) Tửự giaực OMNP noọi tieỏp ủửụùc
b) Tửự giaực CMPO laứ hỡnh bỡnh haứnh
c) Tớch CM CN khoõng phuù thuoọc vũ trớ cuỷa ủieồm M
d) Khi M di ủoọng treõn ủoaùn thaỳng AB thỡ P chaùy treõn moọt ủoaùn thaỳng coỏ ủũnh
Baứi 9 : Cho moọt ủửụứng troứn (O) vaứ moọt ủieồm M coỏ ủũnh beõn ngoaứi ủửụứng troứn
Tửứ M keừ hai tieỏp tuyeỏn MA vaứ MB tụựi ủửụứng troứn ( A , B laứ tieỏp ủieồm ) vaứ
Trang 3moọt caựt tuyeỏn di ủoọng MCD Keừ daõy cung AE song song vụựi caựt tuyeỏn MCD Daõy EB caột daõy CD taùi I Tia OI caột ủửụứng thaỳng AB taùi N
a) Chửựng minh : BIM BOMã = ã
b) Chửựng minh 5 ủieồm A , I , O , B , M cuứng naốm treõn moọt ủửụứng troứn
c)Chửựng minh I laứ trung ủieồm cuỷa CD
d) Khi caựt tuyeỏn MCD di ủoọng Chửựng minh tớch soỏ OI ON khoõng ủoồi
Baứi 10 : Cho tam giaực ABC coự 3 goực nhoùn noọi tieỏp trong moọt ủửụứng troứn taõm O
baựn kớnh R Keừ caực ủửụứng cao AD, BE , CF
a) chửựng minh EF song song vụựi tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn taõm O tai A b) Chửựng minh AB AC = AD 2R
c) Giaỷ sửỷ BC coỏ ủũnh vaứ A di ủoọng treõn ủửụứng troứn O chửựng minh raống baựn kớnh ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực AEF khoõng ủoồi
Baứi 11: Cho tửự giaực ABCD noọi tieỏp trong moọt ủửụứng troứn vaứ P laứ ủieồm chớnh
giửừa cuỷa cung AB khoõng chửựa C vaứ D Hai daõy PC vaứ PD laàn lửụùt caột daõy AB taùi E vaứ F Caực daõy AD vaứ PC keựo daứi caột nhau taùi I caực daõy BC vaứ PD keựo daứi caột nhau taùi K chửựng minh raống a) CID CKDã = ã
b) Tửự giaực CDFE noọi tieỏp
c) IK song song AB
d) ẹửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực AFD tieỏp xuực vụựi PA taùi A
e) Tỡm ủieàu kieọn cuỷa tửự giaực ABCD ủeồ coự FA = EB
Bài 12 :
Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD và AB > CD ) nội tiếp trong một đờng tròn (O) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A và tại D cắt nhau tại E Gọi I là giao điểm của các đờng chéo AC và BD
1) Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp trong một đờng tròn
2) Chứng minh các đờng thẳng EI , AB song song với nhau
3) Đờng thẳng EI cắt các cạnh bên AD và BC của hình thang tơng ứng ở R và S CMR :
a) I là trung điểm của đoạn RS
AB CD+ = RS
B
ài 13 :
Cho đờng tròn (O) có tâm là điểm O và một điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn Từ A kẻ các tiếp tuyến AP , AQ với đờng tròn (O) , P và Q là các tiếp điểm
Đờng thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đờng thẳng AQ tại M
a) CMR : MO = MA
b) Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đờng tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại N của đ-ờng tròn (O) cắt các tia AP và AQ tơng ứng tại B và C
1) CMR : AB + AC – BC không phụ thuộc vào vị trí điểm N
2) CMR nếu tứ giác BCQP nội tiếp đờng tròn thì PQ // BC
Trang 4ài 14 :
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A M và Q là hai điểm phân biệt , chuyển động trên (d) sao cho M khác A
và Q khác A Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P
Chứng minh :
1) Tích BM BN không đổi
2) Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc trong đờng tròn
3) Bất đẳng thức : BN + BP + BM + BQ > 8R
B
ài 15 :
Cho tam giác ABC ( AB ≠ AC ) nội tiếp đờng tròn (O) Đờng phân giác trong
AD và đờng trung tuyến AM của tam giác ( D ∈BC M; ∈BC) tơng ứng cắt đờng
tròn (O) tại P và Q ( P ,Q khác A ) Gọi I là điểm đối xứng với D qua M
1) Kẻ đờng cao AH của tam giác ABC Chứng minh AD là phân giác của góc OAH
2) Chứng minh tứ giác PMIQ nội tiếp
3) So sánh DP và MQ