Hàm Suy rộng CoLombeau 6

Luận văn Thạc Sĩ toán học-ngành Toán Giải Tích -Chuyên đề : Hàm Suy rộng CoLombeau

CHU(JNG 2

I GIAI MOT vAl PHU(JNG TRiNH VI PHAN D(JN GIAN NHAT

Y =R(ep)+~A1:R]vdi R(ep) tily Y thuQc $'M

Th~t v~y:

+ Ntu Y =R(ep) + ~ff[R] thl Y' =O

+ Ntu Y 1a nghi~m cua phu'dng trlnh va Ry(ep,x) 1a mQt d~i di~n cua Y

thl

R'y( ep,x) E:J

=> I Ry(ep, x) - Ry(ep, 0) I = I x II R'y(ep, t) I (do dinh 1y Lagrange)

=> [Ry(ep, x) - Ry(ep, 0)] E JV[R]

=> Y =Ry(ep, 0) + JV[R]

ma Ry(ep, 0) E $'M

=> Y =R(ep) + u¥[R].

-.Phlldng trinh 2.2: Y' = k, Y E y[R], k E C

Phu'dng trlnh co nghi~m 1a Y =kx + c E y[R]

Trong do: C E C co d~i di~n c(ep) E $'M

k E C co d~i di~n keep)E $'M

X E q[R] co d(;lidi~n R( ep,x) = X E ?$'M[R]

(di~u nfty co duQctudinh nghla cua ?$'M[R]).

Th~t v~y:

+ (kx + c)' = (k(ep)x + c(ep))' + J1I[R] = keep)+ J1I[R]

=? (kx + c)' = k

+ NguQc l(;li,gia su Y 1ftnghi~m cua phuong trInh, Y co d(;lidi~n 1ft

Ry( ep,x)

Ta co:

I Ry(ep, x) - Ry(ep, 0) - k(ep)x I

= I xR'y(ep, t) - k(ep)xI (do dinh ly Lagrange)

= I x(k*(ep) - k( ep))I

(vI Y' =k lien R'y(ep, x) 1ftmQt d(;lidi~n k (ep)cua k lien [k (ep)- keep)] EJ)

Tu do co duQc Ry(ep, x) vft k(ep)x + Ry(ep, 0) 1fthai d(;lidi~n cua mQt ph~n

tu trong q[R]

V~y Y =kx + c, trong do c E C, Cco mQt d(;lidi~n 1ftRy(ep, 0) E ?$'M

.Phztdng trinh 2.3: Y' = A, Y E q[R], A E q[R] cho trudc.

GQi RA(ep,x) 1ftmQt d(;lidi~n cua A

x

a

C~n chung minh cac di~u sail:

x

a

ii) Y 1 thoa phuong trlnh

Th~t v~y:

i) Gia sa K la t~p compact cua R va ala da chi so

+ Trzt(jng hr;p a =0:

GQi B la qua c~u d6ng, Him la 0 va chua K do B cling la t~p compact

cua R nen c6 so tlf nhien N d€ voi m6i epE udN d~u tIm dtiQc2 so dtidng C1

va 11d€:

[;

~

I fRA (epE't)dt I ~ fl RA (epE' t) Idt

~ f[;c~ dt ::;;I X IHC] ::;;[; [;~, \ix E K, \if: E (0, 11) (bdi I xI bi ch~n lIen K)

0

+ Trzt(jng hr;p a 2 1:

x

Ta c6 Da JRA(epE't) dt =Da-lRA( epE,x), ma RA(eplX) E $'M[R] tu d6 c6

0

x

dtiQc JRA (ep,t) dt E $'M[R].

0

V~y Y1 E q[R].

ii) hi€n nhien

iii) Gia sa Y la nghit%mcua phtidng trInh, Y c6 mQt d~i dit%nRy( ep,x)

~ R'y( ep,x) la mQt d~i dit%ncua Y' nen cling la mQt d~i dit%ncua A va

x Ry( ep, x) = JR'y (ep,t)dt + Ry( ep, 0)

0

Ta tha'y JR'y (ep,t) dt va JR A(ep,t) dt la hai d~i dit%ncua mQt ph~n ta

trong q[R]

Th~t v~y:

Gia sa K la t~p compact cua R va ala da chi s6.

+ TruiJng hqp a =O.

Ta co: I Dcx[fR'y(CP8,t)dt- fRA(CP8,t)dt] I

x

0

x

~ IIR'y (CPE't) dt - R A(CPE't) I dt

0

do [R'y(cp, t) - RA(cp,t)] E JV[R] nen vdi qua cfiu dong B chua K, Him 0 va

da chi s6 a =0 ta co: s6 tlf nhien N va day y d€ vdi m6i cP E Jig (q ~ N) d€u tlm du'Qc 2 s6 du'dng C1, 11 d€

~

x

II R' y (CPE' t) - R A (CPE' t) I dt

0

I I

~ I 1 N c: ::; c: N dieu nay co du'Qcdo x bi ch~n khi x E B

0

+ TruiJng hqp a ~ 1

Ta co: Dcx[IR'y (CPE,t)dt- IRA(CPE,t)dt] =Dcx-l[R'y(cp8' x) - RA(CPE,x)]

ma [R'y(cp, x) - RA(cp,x)] E ut[R], tu do co du'Qc

V?y Ry(cp, x) va fR A(cp,t)dt + R y (cp,0) la hai d(;lidi~n cua Y, suy ra

0

-Y =Y1 + c, voi c E C, C co mQt d(;lidi~n Ia Ry(cp, 0)

Tom I(;li,nghi~m cua phudng trlnh Y' = A Ia Y = Y1 + c trong do Y 1 co

x

mQt d(;lidi~n Ia fRA (cp,t) dt voi c E C.

0

II BAI ToAN CAUCHY

. 0 sung:

* Djnh nghfa 2.4: Ham R( cp,x) E ~M[R] duQc gQi Ia bi ch~n khi E ~ 0+

n€u voi t?P compact K tily Y trong R, Iuan t6n t(;lis6 tlf nhien N sao cho voi

m6i cpE ,dN d~u tim duQc hai s6 dudng d va 11thoa:

I R(cpc;,x) I ~ d, \ix E K, \iE E (0,11)

* Tir dinh nghla 2.4 trlfc ti€p suy ra r~ng R + S bi ch~n khi E ~ +0 n€u R

bi ch~n khi E ~ +0 va S E ut[R] Nhu V?y co th€ noi V~ tinh bi ch~n cua ham

Colombeau khi E ~ 0+

Bili loan Cauchy 2.5:

Giai h~ phudng trlnh

{ X' = AX trong y[~]

X(O)=Xo trong C

(1) (2)

Xin trlnh bay mQts6 k€t qua thil vi da co trong [2] nhusau:

* N€u A E y[R] ma d(;lidi~n RA(cp,x) cua no thoa

x

R(cp,x) = fR A (cp,t)dt

0

Ia ham bi ch~n khi £ ~ 0+ thl bai tmln Cauchy co nghi~m duy nhat trong q[R]

vdi d~i di~n Ia:

Rx(cp, x) = C(cp)eR(q>,x) Trong do C( cp) Ia d~i di~n cua Xo

* Trong tru'ong h<jp A E q[R] ma d~i di~n RA(CP,x) cua no thoa:

x

0

Ia ham kh6ng bi ch~n khi £ ~ 0+thl bai loan Cauchy co th€ co nghi~mkh6ng

duy nhat.

Chang hgn: X6t bai loan

{

X' =AX trong ~[R]

X(O)=0 trong C

Trong do ham A E q[R] du'<jcxfiy d1!ng nhu' sail:

Lay: f Ia ham Ie kha vi mQi cap thoa:

f(t) ~ 0 f(t) =0

vdi t ~ 0

vdi t ~ 1 1

f!(t)dt = 1

0

d~t:

1

RA(CP,t) =qf(t)In-, t E R

~

Khi do:

RA(cp, t) E ~M[R] xac dinh ham A E q[R]

x R( cp, x) = fRA (cp,t) dt kh6ng bi ch~n khi E ~ 0+ va bai loan, ngoai

0

nghi~m tgm thttong, con co nghi~m X vdi d~i di~n:

-Nghi~m X nay khac 0 (trong C) VIRX(CPf;,1) =1, '\IE> O