DAY THEM TOAN 7

b Cộng hai số cùng dấu: Cộng hai số nguyên cùng dấu, ta cộng hai giá trị tuyệt đối với nhau còn dấu là dấu chung của chúng.. - tổng hai số khác dấu không đối nhau, ta lấy giá trị tuyệt đ

NỘI DUNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

L¬ng S¬n: 4- 2011

bài tập toán 7 (bồi dỡng học sinh khá giỏi)

* Biểu diễn trên trục số:

Điểm biểu diễn số nguyên a gọi là điểm a

* Các số -1 và 1; -2 và 2; -3 và 3; là các số đối nhau Số đối của số 0 là chính nó

2 Các bài toán:

Bài 1: Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai:

a) Mọi số tự nhiên đều là số nguyên

b) Mọi số nguyên đều là số tự nhiên

Bài 2: Đọc nhiệt độ ở các thành phố dới đây:

⇔ điểm a ở bên trái điểm b trên trục số

* Giữa hai số nguyên a và a + 1 không tồn tại số nguyên nào

* Giá trị tuyệt đối của a kí hiệu là |a|

|a| = |-a| ≥ 0 với mọi a

2 Các bài toán:

Bài 5: Trong các câu sau câu nào đúng, câu nà sai:

a Số nguyên âm nhỏ hơn số nguyên dơng

b Số nguyên âm nhỏ hơn số tự nhiên.

c Số tự nhiên là số nguyên dơng

d Số tự nhiên không phải là số nguyên âm

e Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số nguyên dơng

g Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số tự nhiên

h Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số không âm

Bài 6: Cho biết a < b (a ≠ 0, b ≠ 0) Có tất cả bao nhiêu trờng hợp có thể xảy ra về thứ

tự của ba số a, b, 0?

Bài 7: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho:

a -3 < x < 0 b x < -3 và x < 3 c x < -3 và x > 3 d x < -3 hoặc x > 3Bài 8: Tìm số nguyên a biết:

a |a| = 2000 b |a| = -2001 c |a| = 1999 (a < 0)

Bài 9: Xác định số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất, biết rằng: |x| < 2000

Đ3 Phép cộng trong Z

1 Tóm tắt lý thuyết:

a) Cộng với số 0: a + 0 = 0 + a = a với mọi a thuộc Z

b) Cộng hai số cùng dấu: Cộng hai số nguyên cùng dấu, ta cộng hai giá trị tuyệt đối với nhau còn dấu là dấu chung của chúng

c) Cộng hai số khác dấu:

- Tổng hai số đối nhau luôn bằng 0

- tổng hai số khác dấu không đối nhau, ta lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ giá trị tuyệt đối nhỏ rồi đặt dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn trớc hiệu tìm đợc

Giao hoán: a + b = b + a ; với mọi a, b thuộc Z

Kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c ; với mọi a, b, c thuộc Z

Cộng với 0: a + 0 = 0 + a = a ; với mọi a thuộc Z

Tính chất giao hoán và kết hợp tổng quát:

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b =

2 Các bài toán:

Bài 13: Tính:

b (-2) + 4 + (-6) + 8 + (-10) + 12 + (-14) + 16 + (-18) + 20.

Bài 14: Tính tổng các số nguyên x, biết:

a -10 < x < 10 b -10 < x ≤ 10 c -10 ≤ x ≤ 10

Bài 15:

Hãy điền các số nguyên vào ô trống

(hình 2) sao cho tổng các số trong 3 ô

liền nhau bất kỳ theo cột dọc cũng nh

a

0 a nếu

a

- Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu cộng

- Đổi dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu -

b) Ta có thể thêm dấu ngoặc để nhóm một số hạng tùy ý và:

- Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu +

- Đổi dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu -

2 Các bài toán:

5

16

2

Bài 19: Tính tổng đại số sau:

| b

|

| a

|

(với mọi a, b thuộc Z)

* Chú ý:

+ Nếu a.b = 0 thì a = 0 hoặc b = 0

+ Khi đổi dấu một thừa số trong tích a.b thì tích đổi dấu

(-a).b = a.(-b) = -a.b+ Khi đổi dấu đồng thời cả hai thừa số thì tích a.b không đổi dấu:

a Giao hoán: a.b = b.a với mọi a, b thuộc Z

b Kết hợp: a(bc) = (ab)c với mọi a, b, c thuộc Z

c Nhân với 1: a.1 = 1.a = a , với mọi a thuộc Z

d Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

a(b + c) = ab + ac(b + c)a = ba + ca víi mäi a, b, c thuéc Z.

`* Chó ý: Khi thùc hiÖn phÐp nh©n nhiÒu sè, ta cã:

+ TÝch mang dÊu "+" nÕu sè thõa sè ©m lµ ch½n

+ TÝch mang dÊu "-" nÕu sè thõa sè ©m lµ lÎ

a lµ béi cña b HoÆc b lµ íc cña a

a chia hÕt cho b (a  b) hoÆc b chia hÕt a (b\a)

Bài 36: Cho 5 số nguyên a1, a2, a3, a4, a5 b1, b2, b3, b4, b5 là một hoán vị của 5 số đã cho Chứng minh rằng tích (a1 - b1)(a2 - b2)(a3 - b3)(a4 - b4)(a5 - b5) chia hết cho 2.

Bài 37: Tìm số nguyên x, biết rằng:

a (x - 3)(x + 2) > 0 b (2x - 4)(x + 4) < 0

Bài 38: Tìm các số nguyên x, y sao cho

(x - 2)2 (y - 3) = -4Bài 39: Tìm các số nguyên x, y sao cho

(x + 2)2 + 2((y - 3)2 < 4Bài 40: Tìm số nguyên x, biết rằng:

m a

b) Cho a và b là hai số nguyên (b ≠ 0) Chứng minh rằng các phân số sau bao giờ cũng bằng nhau:

a) Viết các phân số sau dới dạng phân số có mẫu dơng:

a) Không cần tính toán có thể khẳng định ngay các cặp phân số sau đây không bằng nhau, tại sao?

* Các phân số bằng nhau có cùng một giá trị, giá trị đó gọi là một số hũu tỉ

Mỗi số hữu tỉ đều có thể viết dới dạng

b

a

với b ≠ 0 và a, b ∈ Z

* Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số:

- Chia đoạn đơn vị của trục số thành b phần bằng nhau , mỗi phần là

x < y <=> y > x

Nếu x < y thì trên trục số điểm x ở bên trái điểm y

* Số hữu tỷ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỷ dơng

Số hữu tỷ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỷ âm

11

; 6

7

; 3

2

; 4

7

; 12

11

; 2

; 4

; 0

; 4

7

; 5

4

; 10

Bài 49: Cho hai số nguyên a, b trong đó

Bài 50: Hãy viết ba số hữu tỷ; năm số hữu tỷ; mời số hữu tỷ xen giữa hai số hữu tỷ

* Mỗi số hữu tỷ x đều có một số đối, ký hiệu là -x, sao cho x + (-x) = 0

* Trừ hai số hữu tỷ: x - y = x + (-y)

2 Các bài tập:

Bài 52: Tìm số đối của:

6

5

; 4

1

; 12

7

; 4

1

; 3

a Chứng minh rằng với mọi số hữu tỷ x thì -(-x) = x

b Chứng minh rằng số đối của một số hữu tỷ dơng là một số hữu tỷ âm và ngợc lại.Bài 54: Tìm x, biết:

1

= 0 c |x - 3| = 3Bài 55: Chứng minh rằng:

a b a+b−+a1=b(b a+1) ; a, b ∈ Z , b > 0

b

) 1 (

Ví dụ: {1,2} = 0,2 vì 1,2 - 1 = 0,2

{-1,2} = -1,2 - [-1,2] = -1,2 - (-2) = 0,8

Chứng minh rằng:

a Với mọi số hữu tỷ x ta đều có : 0 ≤ {x} <1

b {x} = 0 nếu x là số nguyên và ngợc lại

0 x nếu

* Trong một tổng đại số các số hữu tỷ, ta có thể:

1) Đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng

2) Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý nhng chú ý rằng nếu trớc dấu ngoặc là dấu "-" thì phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc

a

5

4 4

Bài 62: Tính:

a

20

1 12

1 6

1 2

100 99

1

3 2

1 2 1

c b

a⋅ =

* Khi nhân nhiều số hữu tỷ, ta có:

+ Tích mang dấu "+" nếu số thừa số âm là chẵn

+ Tích mang dấu "-" nếu số thừa số âm là lẻ

2 Các bài toán:

Bài 63: Cho x, y ∈ Q Chứng minh rằng:

a Nếu tích xy = 0 thì một trong các thừa số của tích phải bằng 0

|y

|

|x

|

Bài 64: Cho x, y ∈ Q Chứng minh rằng:

a -(xy) = (-x)y = x(-y) b |xy| = |x| |y|

Đ7 Phép chia trong Q

1 Tóm tắt lý thuyết:

* Mỗi số hữu tỷ x ≠ 0 đều có số nghịch đảo ký hiệu là x-1 sao cho x.x-1 = 1

* Thơng của hao số hữu tỷ x, y (với y ≠ 0) ký hiệu là x : y hay y x là tích xy-1

2 Các bài tập:

Bài 66: Cho x, y ∈ Q, x ≠ 0; y ≠ 0 Chứng minh:

a (x-1)-1 = x ; b (xy)-1 = x-1.y-1 ; c (xy-1)-1 = x-1 y

Bài 67: Tìm x-1 , biết:

a x = -0,175; b x =

3

5 : 3

1

; c x =

3

4 4

3 2

a Chứng minh rằng nghịch đảo của một số dơng là một số dơng, nghịch đảo của một

1

3

1 1

1 3

1 1

1

+ + +

Đ8 Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

1 Tóm tắt lý thuyết:

* Phép nhân phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

x(y + z) = xy + xzx(y - z) = xy - yz ∀ x, y, z ∈ Q

* Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số

z

y z

x z

y

x+ = +

z

y z

x z

y

x− = −

2 Các bài toán:

Bài 70: Khai triển các tích:

a (a - b)(a + b) + b(2a + b) - a(2b -1) Với a, b ∈ Q

a x2 - 4x b (x - 2) ( 3 - x) c ( )( )

3

1 2

Bài 75: Tìm các số hữu tỉ x, biết :

a x+ 2 > 5 ; b x− 1 < 3 ; c x2 − 5x+ 2 < − 10

Đ9 10 11 Lũy thừa của một số hữu tỷ

1 Tãm t¾t lý thuyÕt :

* Lòy thõa víi sè mò tù nhiªn :

xn = x.x x (n thõa sè x); n ≠0, x ≠ 0Víi xn gäi lµ mét lòy thõa, x lµ c¬ sè, n lµ sè mò

Bài 85: Tìm x, biết : a (x - 2)2 = 1 ;

b (2x - 1)3 = -8 ; c (x - 1)x + 1 = (x - 1)x + 4 Bài 86: tìm x và y biết: (3x - 5)100 + (2y + 3)200 ≤ 0

a = ;

a

c b

d = ;

a

b c

3

Bài 88:

a) Có thể lập đợc tỉ lệ thức từ các số nguyên sau đây không? Nếu có hãy viết tỉ lệ thức

đó : 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243

b) Tìm thành phần cha biết của tỉ lệ thức :

2 , 7

15 , 0 15

,

3x = ;

42

12 6

11 = ;

3 , 7 4 9 10

x

Đ14 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1 Tóm tắt lý thuyết :

* (b d)

c b

c a c b

c a b

a d

c b

e c a f d b

e c a b

c f

e b

+ +

y a

y

x = vµ 2x - y = 34

c

16 9

z y

x= = vµ 4x - 3y + 2z = 36

b

4

3 3

2 2

a = th× :

a

d c

d c b a

b a

3 5

3 5 3 5

3 5

2 2 2

2

8 11

3 7 8 11

3 7

d c

cd c b a

ab a

a c b a

b a

3 3

3 2

3 3

3 2

3 1

a

a a a a

a a

+ +

+ +

Bµi 95: BiÕt

c

bx ay b

az cx a

2 2

2 2

4

3 3

3 2

3 3 : 4

1 3

1 2

1

1

4

1 3

1 2

1

1

− +

−

+ + +

− +

−

+ +

Bài 98: Cho ba số a, b, c thỏa a.b.c = 1 Tính :

S =

ca c bc

b ab

a+ + + + + + +

1 1

1 1

1

Bài 99: Chứng minh rằng nếu : 0 < a1 < a2 < < a9 thì

9 6 3

9 2

1 <

+ +

+ + +

a a a

a a

1996 5

1995 1997

3 1996

4 1995

Bài 104: Cho biểu thức : A = (x - 4)(x - 5) (x− 6 )(x+6(x+5)

Hãy tính giá trị của A, biết x = 7

Bài 105:Tìm các số x1,x2, ,x n−1,x n biết rằng

n

n n

n

a

x a

x a

x a

3 2

2 1

c a c

b c b

a

+

= +

= + _

Ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a

* Tính chất : x và y la hai đại lợng tỉ lệ thuận thì :

a x

y x

y x

y x

2 1 1

2 các bài toán :

Bài 109: Cho biết x và y la hai đại lợng tỉ lệ thuận, biết hai giá trị x1vàx2 của x có hiệu bằng 2 thì hai giá trị tơng ứng y1và y2 có hiệu bằng -1

a Viết công thức mô tả mối liên hệ giữa x và y

b Điền vào bảng giá trị dới đây :

Bài 110: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây Số cây mỗi lớp trồng tỉ

lệ với các số Số cây mỗi lớp trồng tỉ lệ với các số3; 5; 8 và hai lần số cây của lớp 7A cộng với bốn lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 108 cây Tính số cây mỗi lớp trồng đợc

Bài 111: Chia một số a thành ba phần A, B, C theo tỉ lệ 7; 6; 5 Sau đó chia số a cũng thành ba phần A', B', C', nhng lại theo tỉ lệ 6; 5; 4

a Hỏi so với lần chia đầu, thì lần chia sau A', B', C' tăng hay giảm

b Biết rằng có một phần tăng 1200 Tính số a và A', B', C' trong lần chia sau

Bài 112: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1 : 2 : 3

Bài 113: Hai ngời đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B cách nhau 11 km để

đến C ( Ba địa điểm A, B, C cùng ở trên đờng thẳng).Vận tốc của ngời đi từ A là 20km/h của ngời đi từ B là 24km/h.Tính quãng đờng mỗi ngời đã đi biết rằng họ đến

C cùng một lúc

Bài 114: Chia số 210 thành bốn phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ với 2

và 3, phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 4 và 5, phần thứ ba và phần thứ t tỉ lệ với 6

của 10 sẽ là bao nhiêu?

Đ3.4 Đại lợng tỉ lệ nghịch - Một số bài toán về đại lợng tỉ

y x y x

2 3

1 3

1 2

1 2

1

x

x y

y x

x y

y x

x y

y = = =

2 các bài toán :

Bài 116: Trong một xởng cơ khí, ngời thợ chính tiện xong một dụng cụ hết 5 phút,

ng-ời thợ phụ hết 9 phút Nếu trong cùng một thng-ời gian nh nhau cả hai cùng làm việc thi tiện đợc cả thảy 84 dụng cụ.Tính số dụng cụ mà mỗi ngời đã tiện đợc

Bài 117: Ba đơn vị cùng xây dựng chung một chiếc cầu hết 340 triệu Đơn vị thứ nhất

có 8 xe và ở cách cầu 1,5 km Đơn vị thứ hai có 4 xe và ở cách cầu 3 km Đơn vị thứ

Bài 120: Giá hàng hạ 20% Hỏi cùng với một số tiền có thể mua thêm bao nhiêu % hàng ?

Đ5 Hàm Số1.tóm tắt lý thuyết :

* Định nghĩa hàm số : cho X, Y là hai tập hợp số

Một hàm số f từ X đến Y là một quy tắc cho tơng ứng mỗi giá tri x ∈ X một và chỉ một giá trị y ∈ Y, mà ta kí hiệu là y = f(x) Ta viết :

Bà 122: Bảng dới đây có xác định cho ta một hàm số không? Nếu có hãy chỉ ra tập nguồn, tập đích và các giá trị của hàm số

Vẽ sơ đồ mũi tên của f, g và k Tơng ứng nào cho ta một hàm số từ A đến B ?

Bài 124: Cho hai tập hợp X = {1; 3}; Y = {0; 2; 4} Hãy xác định tất cả các hàm số đi

từ tập X đến tập Y; từ tập Y đến tập X

Bài 125: Cho hàm số : f1( )x = 3x; ( )

x x

1

2

1 f f

* Mỗi cặp số (a; b) đợc biểu

diễn bởi một điểm M trong mặt

phẳng tọa độ Ta viết M (a; b),

cặp số (a; b) là tọa đô của điểm

M với a là hoành độ, b là tung độ

I II

N(4; -2)

M(3; 2)

0

-3 -1

3

-4 -3 -2 -1

1

4 3 2 1

Bài 127: Các trục tọa đọ chia mặt phẳng thành bốn phần gọi là các góc phần t đợc

đánh số nh hình 3 Điểm A (x, y) nằm ở góc phần t nào, nếu :

e Hoành độ bằng số đối của tung độ g Hoành độ bằng tung độ

Bài 129: Cho hệ trục tọa độ Oxy Tìm diện tích của một hình chữ nhật giới hạn bởi hai trục tọa độ và hai đờng thẳng chứa tất cả các điểm có hoành độ bằng 3 và tất cả các điểm có tung độ bằng 2

Bài 130: Trên mặt phẳng tọa đô Oxy, hãy dựng tứ giác ABCD với A (2; 1); B (6; 1); C (6; 5); D (2; 5) Tính diện tích tứ giác này biết rằng mỗi khoảng chia trên các trục số ứng với 0,5cm

Bài 131: Tìm diện tích của một tam giác biết tọa độ ba đỉnh của nó là A (0; 4); B (4; 0) và C ( 1; 1)

b Tìm tọa độ điểm D trên đồ thị biết x D = 1

c Tìm tọa độ điểm E trên đồ thị biết y E = 2

d Tìm tọa độ điểm F trên đồ thị biết y F = − 2x F

Bài 133: Cho hàm số f : X → Q

x → 2x + 3trong đó X = {-1;

đ-A (x , A y A) là một điểm của đồ thị ⇔ y A = f( )x A

* Vẽ đồ thị hàm số y = ax : Ta chỉ cần xác định thêm một điểm nữa : lấy x1≠ 0

a Vẽ đồ thị hàm số y x

3

1

b Gọi A là điểm trên đồ thị Tìm tọa độ điểm A, biết yA = 2

c Gọi B là điểm trên đồ thị Tìm tọa độ điểm b , biết yB + 2xB = 5

Bài 136: Cho hàm số y : Q → R

x → f(x)thỏa mãn:

a) f(0) = 0

b)

2

2 1

1 ) ( ) (

x

x f x

- Nếu a > 0 hai đờng cong nằm trong góc phần t thứ I và III

- Nếu a < 0 hai đờng cong nằm trong góc phần t thứ II và IV

) điểm nào thuộc đồ thị của hàm số Vẽ đồ thị hàm số đó

Bài 138: Đờng cong chứa đồ thị y =

3 2 1 O A

thỏa mãn điều kiện :

1

2 2

1

) (

) (

x

x x f

Tìm tất cả ccs giá trị của x sao cho f(x) = 0

b cho hàm số f : Q → Q

x → [x] (hàm phần nguyên)Tính f(-4,3); f(

2

1

); f(10)Với fía trj nào của x thì f(x) = 5?

Bài 141:

a Cho hàm số f1 : Q → Q

x →2x2 + 1Chứng minh rằng với mọi x ∈ Q, ta có f1(-x) = f1(x)

b cho hàm số f2 : Q → Q

x →2x3 - xChứng minh rằng với mọi x ∈ Q, ta có f2(-x) = -f2(x)

Bài 142: Tìm ba phân số tối giản, biết tổng của chúng bằng 6

8

1

, tử số của chúng tỉ lệ theo3; 4; 5, còn mẫu của chúng tỉ lệ theo 2; 3; 4

y

+

Bài 144: Hàm số f(x) xác định với mọi x ∈ Q

Cho hàm số f(a + b) = f(ab) với mọi a, b và f(

(x + y) : (5 - z) : (y + z) : (9 + y) = 3 : 1 : 2 : 5 Bài 146: Cho hàm số y = -

- Những chữ đại diện cho một số xác định gọi là hàm số.

 Một biểu thức đại số không chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức nguyên

 Một biểu thức đại số chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức phân

2 Các bài toán:

Bài 147: Viết các biểu thức đại số sau:

a) Tổng các bình phơng của ba số hữu tỉ a, b, c

b) Tổng các nghịch đảo của ba số hữu tỉ x, y, z

c) Ba lần tổng của ba số x, y, z trừ đi tổng các tích của ahi trong ba số đó

d) Tỉ số giữa hiệu của 2 với tích x, y với tổng x, y, z

e) Thơng của tổng hai số a và b với bình phơng của tích hai số ấy

Trong các biểu thức trên biểu thức nào nguyên biểu thức nào phân?

Bài 148: Trong các biểu thức đại số sau đây đâu là biểu thức nguyên, đâu là biểu thức phân (với x, y là biến; a, b là hằng)

a) 2x(y2 + 2) + x2 - y2 ; b)

2

) 1 )(

2 (

x

2

3 ) 1 (

2 +

− + ; d)

1 5

1 3

2 2 +

a)

1

) 2 )(

x y

−

− 1 ) ( 2

_

Đ2 Giá trị của một biểu thức đại số

1 Tóm tắt lý thuyết:

 Khi thay các biến trong một biểu thức đại số bằng những số đã cho, ta đợc một biểu thức số Kết quả nhận đợc khi thực hiện các phép tính trong biểu thức số đó gọi là giá trị của biểu thức đại số tại các giá trị cho trớc của các biến

 Giá trị thích hợp của các biến là tập hợp những giá trị của biến số sao cho các phép tính trong biểu thức luôn thực hiện đợc

 Một biểu thức đại số nguyên xác định tại mọi giá trị của biến

 Một biểu thức phân không xác định tại những giá trị của biến làm cho mẫu bằng 0

2 Các bài toán:

Bài 150: Tính giá trị của biểu thức: