chuyen de HSG

đại số 8,9 với điều kiện cho trớc Ngời viết : tạ phạm hải Giáo viên trờng THCS thị trấn Hng hà A.. Loại tính giá trị không có điều kiện đã dợc bàn tới nhiều trong sách giáo khoa và sác

đại số 8,9 với điều kiện cho trớc

Ngời viết : tạ phạm hải

Giáo viên trờng THCS thị trấn Hng hà

A Đặt vấn đề

Bài tập tính giá trị của một biểu thức đại số có hai loại chính là :

- Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện dàng buộc giữa các biến số

- Tính giá trị của biểu thức trong đó giá trị của các biến số lại bị dàng buộc bởi một hoặc nhiều điều kiện nào đó

Ví dụ 1: Các bài tập sau đây là loại tính giá trị không có điều kiện

1) Tính f(2) biết f(x) = 5x5+ 4x4+ 3x3+ 2x2+ x + 1

2) Cho biểu thức :

A =

2

:

+  −  +  Tính giá trị của A nếu x = 2007

Ví dụ 2 : Các bài tập sau đây là loại tính giá trị có điều liện

1) Cho a3+ b3+ c3 = 3abc và abc≠ 0

Tính giá trị của biểu thức B = 1 a 1 b 1 c

2) Cho a + b + c = 0 và a2+ b2+ c2 = 14

Tính giá trị của biểu thức : C = a4+b4+ c4

3) Giả sử m , n thoả mãn mn = 3 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình :

x4 + a.x3 + b.x2 + a.x + 1 = 0

Tính giá trị của biểu thức Q = 9a2 – 48b + 2007

Việc luyện tập cho HSG có cách nhìn tổng quát về loại bài tập tính giá trị của biểu thức đại số nói chung và tính giá trị của biểu thức có diều kiện nói riêng là rất quan trọng Nó giúp HS có một t duy toán học chặt chẽ , chính xác , rèn luyện phép biến

đổi đại số linh hoạt để HS tự tin khi gặp các loại toán này.Tuy nhiên chuyên đề này chỉ bàn tập trung vào loại tính giá trị với điều kiện cho trớc Loại tính giá trị không có

điều kiện đã dợc bàn tới nhiều trong sách giáo khoa và sách bài tập

B Nội dung chuyên đề

Loại 1 : Không tính đợc giá trị cụ thể của các biến số

Ví dụ 1 : Cho x+y = 3 Tính giá trị của biểu thức

A = x2+ y2+ 2xy – 4x – 4y + 1

Với loại này ta cần biến đổi A thành gồm toàn các nhóm x + y rồi thay 3 vào :

A = ( x + y)2- 4( x + y)+ 1 = 32- 4.3 + 1 = - 2

Ví dụ 2 : Cho a3+b3+c3= 3abc ≠ 0 Tính giá trị của biểu thức :

B = 1 a 1 b 1 c

Rõ ràng ta có thể đánh giá quan hệ giữa a, b, c từ giả thiết chứ không thể tính đợc cụ thể a , b , c bằng bao nhiêu Để thuận lợi biến đổi biểu thức A về dạng dễ đánh giá hơn

Trang 2

B = (a b b c a c) ( ) ( )

abc

Từ giả thiết ta có : ( a + b )3+ c3- 3ab( a + b ) – 3abc = 0

⇔ ( a + b + c)( a2+ 2ab + b2- ac – bc + c2) – 3ab( a + b + c) = 0

⇔ ( a + b + c )( a2+ b2+ c2- ab – bc – ca ) = 0

Vậy ta đợc a + b + c = 0 , hoặc a2+ b2+ c2 – ab – bc – ca = 0

Với a + b + c = 0 , ta đợc a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b

Khi đó B = abc

abc

−

= - 1 Với a2+ b2+ c2- ab – bc – ca = 0

⇔ 2a2+ 2b2+ 2c2- 2ab – 2bc – 2ca = 0

⇔ ( a – b)2+ ( b – c)2+ ( c – a)2 = 0 Vậy a = b = c

Khi đó B = 2 2 2

Ví dụ 3 : Cho 3 số dơng x , y , z thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1

Tính giá trị của biểu thức

A = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

Ta thấy con số 1 trong điều kiện đã cho và trong biểu thiức có liên quan với nhau, hãy tính riêng từng bộ phận :

1 + x2 = xy + yz + zx + x2 = y( x + z ) + x( x + z ) = ( x + y )( x + z )

1 + y2 = xy + yz + zx + y2 = y( x + y) + z( x + y) = ( x + y )( y + z )

1 + z2 = xy + yz + zx + z2 = y( x + z ) + z( x + z) = ( x + z )( y + z )

Thay vào A rồi rút gọn , ta đợc :

A = 2( xy + yz + zx ) = 2.1 =2

Loại 2 : tính đợc giá trị của các biến số

Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức

M = ( ) ( )

(5 5) 1

x x

− Biết : x2+ 9y2 = 6xy - x−3

Ta chỉ cần giải phơng trình x2+ 9y2 = 6xy - x− 3 để tìm giá trị của x , y nh sau

Ta có x2+ 9y2 = 6xy - x− 3 tơng đơng với phơng trình ( x – 3y)2+ x− 3 = 0

Từ đó tính đợc x = 3 và y = 1 chỉ việc thay vào biểu thức M rồi tính toán

Ví dụ 2 : Cho các số x , y , z thoả mãn hệ

2 2 2

1 1 1

x y z

+ + =



 + + =



 + + =



Tính giá trị của biểu thức Q = x4 +y5 +z6

Ta chỉ cần giải hệ phơng trình đã cho để tìm x , y , z

Ta có 13 = ( x + y + z )3 = x3+ y3+ z3+ 3( x + y)( y + z)( z + x) mà x3+ y3+ z3 = 1 Vì vậy : ( x + y)( y + z)( z + x) = 0 Nên hoặc x = - y , hoặc y = - z , hoặc z = - x

Nếu x = - y thì x+ y = 0 và từ x + y + z = 1 ta có z = 1 nên z2 = 1 và x2+ y2 = 0 suy ra

x = y = 0 khi đó Q = 04+ 05 + 16 = 1 Hoàn toàn tơng tự cho các trờng hợp còn lại

ta vẫn đợc Q = 1 Tóm lại là Q = 1

ví dụ 3 : Cho x = 3 3

20 14 2 + + 20 14 2 − Tính giá trị của biểu thức :

P = x3 – 6x + 1993

(Giải ví dụ 3) Ta có :

x3 = 20 14 2 20 14 2 3 + + − + x3 20 2 − 2.14 2 = 6x+ 40 Vậy x3 – 6x = 40

Từ đó P = x3 – 6x + 1993 = 40 + 1993 = 2033

Loại 3 : đại số hoá một số biểu thức số để tính toán

Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức :

A =

Giải : Đặt 2 2

3

2

2

A

Sau đó thay giá trị của a vào tính toán ta đợc kết quả là A = 2

Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức

5

Giải : Đặt 1 1 5; 2 1 5

x = + x = − Ta có

x + =x và x x1 2 = − 1 Theo định lý Vi-et thìx x1 , 2 là các nghiệm của phơng trình bậc hai : X2-X – 1 = 0 Đặt 1 2

n

Và ta có công thức truy hồi là :

S n+2 −S n+1 −S n = 0 2 1

Đặt 1 1 5 1 5

n n

S

  ta có :

U + =U + +U , (*) với n∈ N

Dễ tính đợc U0 = 0,U1 = 1 sau đó từ công thức (*) ta tính đợc :

0 1 1

1 1 2

2 1 3

3 2 5

v.v Đây chính là dãy Phibonaci và … U n là số hạng tổng quát của dãy này : 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,233 , cứ nh… vậy ta tính đợc U17 = =A 1597

Loại bài tập này rất phong phú,đa dạng mà trên đây chỉ một vài ví dụ cơ bản Để luyện tập chuyên đề mời các bạn làm một số bài tập luyện tập sau đây :

Trang 4

Bµi tËp 1 : Cho a + b = ab TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = ( a3+ b3- a3b3 ) + 27a6b6 Bµi tËp 2 : Cho a vµ b lµ c¸c sè tho¶ m·n

3 19

3 98

− = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B = ( a

2 + b2 )3 Bµi tËp 3 : Cho 3x – y = 3z

2x + y 7z TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

2

2

C

−

= +

xy ≠ 0 Bµi tËp 4 : Cho a3 + b3 + c3 = 3abc vµ a + b + c ≠ 0

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : ( )

2

D

a b c

+ +

= + +

Bµi tËp 5 : Cho x y+a = x z13+ vµ ( ) (2 ) ( )

2

x z

−

=

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2 3 12 2 17 2

2

E

a

=

−

Bµi tËp 6 Cho x y z 0

x+ + =y z TÝnh gi¸ trÞ cña F a22 b22 c22

Bµi tËp 7 : Cho 4a2 + b2 = 5ab TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2 8 22

4

G

+

=

−

Bµi tËp 8 : Cho x, y , z lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n x y z+ + + xyz = 4

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu rhøc :

(4 ) (4 ) (4 ) (4 ) (4 ) (4 )

Bµi tËp 9 : Cho ( 2 4)( 2 4) 2

x+ x + y+ y + = TÝnh gi¸ trÞ cña K = x + y

Bµi tËp 10 : Cho

1 1 1 1

x y z a

+ + =

+ + = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M = x

3+ y3+ z3

theo a , b , c

Bµi tËp 11 : Cho c¸c sè d¬ng x , y , z tho¶ m·n

2 2

2 2

25 3 9 3

16

y

y z

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : N = xy + 2yz + 3zx

Bµi tËp 12 : Cho a , b , c lµ 3 sè ph©n biÖt sao cho c¸c ph¬ng tr×nh :

x2 + a.x + 1 = 0 vµ x2 + bx + c = 0 cã nghiÖm chung §ång thêi c¸c ph¬ng tr×nh x2 + x + a = 0 vµ x2 + cx + b = 0 còng cã nghiÖm chung

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = a + b + c

HÕt