Tài liệu luyện thi vào 10

Song giá trị cụ thể của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.. b Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình * có hai nghiệm phân biệt... Tìm

4 Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử thực chất là viết đa thức đó thành tích của hai hay nhiều

đa thức khác đơn giản hơn

* Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử gồm:

- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung: A C.M C

B  D.M  D

4 Quy đồng mẫu các phân thức

- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử

- Lập tích = (BCNN của các hệ số) (các nhân tử với số mũ lớn nhất)

c) Tìm điều kiện của x, y để A = 1

d) Tìm x, y để biểu thức A có giá trị âm

Chủ đề: CĂN BẬC HAI

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Khái niệm

x là căn bậc hai của số không âm a  x2 = a Kí hiệu: x  a

2 Điều kiện xác định của biểu thức A

14 2 16

1

567

3 , 34 640

8

6 3 2







h,

5 7

1 : ) 3 1

5 15 2

15 2 8 6 2 5

1 : ab

a b b a

a a 1 )(

1 a

a a

b a b

b

a

2 2

4 2

2 m

1 :

2 1

1 1 4

5 2

x x

x

x x

B

x y

y y x

y x y x

1 1

1 : 1

1 1

1 :

x a

2 2

1

22

khix A

E x





Một số loại toán thờng kèm theo bài toán rút gọn

I.Tính toán một biểu thức đại số

 Ph ơng pháp :

Để tính giá trị của biểu thức P(x) , biết x = a, ta cần:

+ Rút gọn biểu thức P(x) + Thay x = a vào biểu thức vừa rút gọn

*Ví dụ:

x x

x x

x

A

3 2

9 6 2

1 2

0

4

5 : 2

3 2

2

2 2

x x

x

1 2

1 2 : 1

1

1 1

1

2

2 3

x x

x x x

x x

2007 2005

9

9 6 1

3

3(2 3)

x x

1- x khi x < -3

x - 3

x khi x

1

a a

2 3 1 : 1 9

8 1 3

1 1

3

1

x

x x

x x

1 : 1

1

x x x x

x x

1

1 : 1

1 1

1

2

x x

x x

1 3

x

x x

;1

x D

x x

5 3

a a a a

1 1

x x

b) Tìm giá trị nguyên dơng của x để DZ ?

1 3

x

x x

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x  3 8

c) Tìm giá trị của x khi A = 5

HD: a) ĐK: x ≠ ±1: A 4x2

1 x



 ; b) x  3 8 1  2 Khi đó: A = −2 ; c) x1  5; x2 5

c) Tính giá trị của biểu thức C khi x 6 20

d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên

Bài 19 Cho biểu thức: A a a 1 a a 1 :a 2

Bài 20 Cho biểu thức: B x 2x x

b) Tính giá trị của B khi x 3  8

c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0?

a) Tìm điều kiện của a để B xác định Rút gọn B

b) Với giá trị nào của a thì B > 1? B< 1?

b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất

c) Tỡm giỏ trị của x khi B = 4

d) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn dương của x để B cú giỏ trị nguyờn

b a

b a

b a ab b

a b

b a

ab

1

2

2 3

2 2 3

2 3

1 1

2 :

1

x

x x

x

x x

6 6

3 2

3 2

ab b

a ab

b a

x b x

b

x x b b x b

x b D

2 4 1

2 1 : 1 4 1

4

x

x x

x x

x x E

b b ab

a

thì F có giá trị không đổi

Bài 7 Cho biểu thức: A1 = (

x 1

1 x 1

1 x 1

1



a) Rút gọn A1 b) Tính giá trị của A1 khi x = 7 + 4 3

c) Với giá trị nào của x thì A1 đạt giá trị nhỏ nhất ?

Bài 8 Cho biểu thức: A2 = 2 2

2

) 2 x ( ) 1 x (

4 ) 1 x (

1 x 1 x

1 x

1 1 x

x 1 x

a) Rút gọn A3 b) tìm giá trị của A3 khi x = 3  8 c) Tìm x khi A3 = 5

Bài 10 Cho biểu : A4 = (

a a

1 a a a a

1 a a

2 a

x x 2 1 x

a 3 6 a 2

3 a

x

 ) :(

1 x x x x

x 2 1

1 1 x

2 1 x

a b a

a a b

b b ab

Bài 18 Cho biểu thức: C3 =

6 b 3 a 2 ab

ab 6 6

b 3 a 2 ab

b 3 a 2

Bài 19 Cho biểu thức: C4 = (

1 x 2 x

2 x 1

x

2 x

a) Xác định x để C4 tồn tại b) Rút gọn C4c) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì C4 > 0

d) Tìm giá trị của C4 khi x = 0,16

e) Tìm giá trị lớn nhất của C4.g) Tìm x thuộc Z để C4 thuộc Z

Bài 20 Cho biểu thức: C5 = 3 2 2 3

3 2 2 3

y xy y x x

y xy y x x

a) Rót gän C5.b) TÝnh gi¸ trÞ cña C5 khi x = 3, y = 2.c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x, y th× C5 = 1.

Bµi 21 Cho biÓu thøc: D1 = (

x 1

1 1 x x

x 1

x x

2 x

Bµi 22 Cho biÓu thøc: D2 = (

x y

y x y x

xy )

y x

Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH

- Giải phương trình vừa tìm được

- So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận

4 Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)

Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0 Song giá trị cụ thể của

a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình

- Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất b

x a





- Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

- Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm

5 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức

A khi A 0 A

0 ) (

0 ) (







x h

x g

x f

- Bình phơng hai vế(có thể chuyển vế hợp lí rồi bình phơng) sau đó cần phải

đối chiếu nghiệm vừa tìm đợc với điều kiện!

VD:Giải phơng trình:a) x 5 x 3 2x7 b) x 1 x 7  12 x

10 Bất phơng trình: Với bất phương trỡnh bậc nhất thỡ việc biến đổi tương tự như với phươngtrỡnh bậc nhất Tuy nhiờn cần chỳ ý khi nhõn và cả hai vế với cựng một số õm thỡ phải đổi chiềubất phương trỡnh

*Dạng 1: Bất phơng trình bậc nhất hai ẩn a.x + b>0 hoặc a.x + b<0

+ Phơng pháp: ax + b>0  ax> - b  x> - b/a nếu a>0

x< - b/a nếu a<0

VD: Cho phơng trình:

3 2

1 6 3

1 5

A B A B

x x

x x

11 Hệ phương trỡnh bậc nhất

Cỏch giải chủ yếu dựa vào hai phương phỏp cộng đại số và thế Chỳ ý phương phỏp đặt

ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện cỏc biểu thức giống nhau ở cả hai phương trỡnh

B MỘT SỐ VÍ DỤ

VD1 Giải cỏc phương trỡnh sau

Vậy phương trình có nghiệm x = 4

VD2 Giải và biện luận phương trình sau

- Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a)

- Với b = a, phương trình có vô số nghiệm

- Nếu a + 1 = 0  a 1 thì phương trình vô nghiệm

Vậy: - Với a ≠ - 1 và a ≠ - 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất a 3

- Với a = - 1 hoặc a = - 2 thì phương trình vô nghiệm

VD3 Giải các hệ phương trình sau

213x y 2x 3y

Bài 3: Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm

HD: a) Với m = 1: (x ; y) = (2002 ; 2001) b) Hệ đã cho vô nghiệm  m 3

a) Giải hệ phương trình với m = –3

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

HD: Đưa các biểu thức về dạng x1 + x2 và x1x2 rồi sử dụng hệ thức Viét

Bài 9: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + 2 = 0 Tìm giá trị của m để phương trình có mộtnghiệm x1 = 2 Tìm nghiệm x2

HD: m = 2, x2 = 2

Bài 10: Cho phương trình x2 + 2(m + 1) x + m2 = 0 (1)

a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hainghiệm đó có một nghiệm bằng −2

HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt  m 1

2

  ; b) m = 0 hoặc m = 4

Bài 11: Cho phương trình (m + 1) x2 − 2(m − 1) x + m − 3 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

HD: a) Chứng minh ' > 0; b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu  m < −1 hoặc

m > 3

Bài 12: Cho phương trình x2 − 2(m + 1) x + m − 4 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

c) gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Chứng minh rằng A = x1(1 − x2) + x2(1

− x1) không phụ thuộc vào giá trị của m

HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x 2 2 7

b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10  A không phụ thuộc vào m

Bài 13: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 2(m − 1) x + m − 3 = 0

a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x1) 2 + (x2) 2 theo m

Bài 14: Cho phương trình x2 − 6x + m = 0 (m là tham số) (1)

a) Giải phương trình (1) với m = 5

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 3x1 +2x2 = 20

HD: a) Với m = 5  x1 = 1, x2 = 5; b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2)

Bài 15: Cho phương trình x2 − 4x + k = 0

a) Giải phương trình với k = 3

b) Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt

HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3; b) ' = 4 − k > 0  k < 4 ĐS: k  {1 ; 2 ; 3}

Bài 16: Cho phương trình : x2 − (m + 5) x − m + 6 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2

HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = 5; b) ĐS: m = − 20

Bài 17: Cho phương trình: (m − 1) x2 + 2mx + m − 2 = 0 (*)

a) Giải phương trình (*) khi m = 1

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Bài 18: Cho phương trình x2 − 2mx + (m − 1) 3 = 0

a) Giải phương trình với m = −1

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằngbình phương của nghiệm còn lại

HD: a) Với m = −1  x1 = 2, x2 = −4 b) m = 0 hoặc m = 3

  : phương trình vô nghiệm  ' 0: phương trình vô nghiệm

Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai

Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạngchứa ẩn ở mẫu và dạng tích

- Nếu a – b + c = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm là x1 = - 1; x2 = c

a



4 Điều kiện cú nghiệm của phương trỡnh ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0)

- (1) cú 2 nghiệm  0; cú 2 nghiệm phõn biệt  0

- (1) cú 2 nghiệm trỏi dấu ac < 0 hoặc P < 0

5 Tỡm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trỡnh thỏa món điều kiện nào đú

Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và PP giải hệ phương trỡnh

6.Bài toán liên quan giữa nghiệm phơng trình và hệ thức Vi - ét

a) CMR pt luôn có nghiệm với mọi x

b) Tìm m để pt có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia?

VD 4: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 2) x + m + 1 = 0 (x là ẩn)

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu?

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để: x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x2)

Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số?

 Ph ơng pháp : Từ biểu thức của định lí Vi - ét ,ta tiến hành khử tham số để

thu đợc biểu thức không phụ thuộc vào tham số

VD 1:Cho phơng trình: x2 - (k - 3) x + 2k + 1 = 0 có các nghiệm là x1,x2 Tìm một hệ thức liên

hệ giữa các nghiệm độc lập với k

VD 2:Cho phơng trình bậc hai: x2 - (2m + 3) x + m - 3 = 0 có các nghiệm là x1,x2 Tìm một hệthức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với k

VD 3: Cho phơng trình bậc hai: (m + 1) x2 - 2(m - 1) x + m = 0 Tìm một hệ thức liên hệ giữacác nghiệm độc lập với m?

VD 4: Cho phơng trình bậc hai: (m - 1) x2 - 2(m - 2) 2x + m + 3 = 0 Tìm một hệ thức liên hệgiữa các nghiệm độc lập với m?

Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm của chúng

2 2

c) Chứng minh rằng nếu phơng trình (1) và phơng trình x2 + mx + n = 0 có nghiệm chungthì: (n  q) 2 + (m  p) (mq  np) = 0

c) Tính x1 + x2 theo m?

Bài 3: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 2) x + m + 1 = 0 (1)

a) Giải phơng trình khi m = - 3/2b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấuc) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình.Tìm m để x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) =

a) Giải phương trình với m = 4

b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1)

c) Tìm m để (1) có nghiệm x = - 2 Tìm nghiệm còn lại

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

1 2x1 + 3x2 = 13

2 Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia ba đơn vị

3 x1 + x2 = 11

e) Chứng tỏ rằng

1 2

1 1

;

x x là nghiệm của phương trình mx2 – 3x – 1 = 0 Trong đó x1, x2

là hai nghiệm của (1)

f) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm cùng dấu Em có nhận xét gì về hai nghiệm đó

Giải

a) Với m = 4 ta có: x2 + 3x – 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = - 4)

Nhận thấy: a + b + c = 1 + 3 + ( - 4) = 0Theo hệ thức Viet, có: x1 = 1; x2 = c

a) Giải phương trình với m = - 2

b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình

c) Tính x12 + x22 ; x13 + x23 theo m

d) Xác định giá trị của m để x1 + x2 = 10

e) Tìm m để 2x1 + 3x2 = 5

f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - 3 Tính nghiệm còn lại

g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương

4 Cho phương trình bậc hai: mx2 – (5m - 2) x + 6m – 5 = 0

a) Giải phương trình với m = 2

b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau

d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau

e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0 Tìm nghiệm còn lại

f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

5 Cho phương trình x2 – mx + m – 1 = 0, ẩn x, tam số m

a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1, x2 với mọi m Tính nghiệm kép (nếu có)cùng giá trị tương ứng của m

b) Đặt A = x1 + x2 – 6x1x2

+ ) Chứng minh A = m2 – 8m + 8

+ ) Tìm m để A = 8

+ ) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m

6* Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 với abc ≠ 0

a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2

b) Lập phương trình nhận hai số  x1    ; x2    làm nghiệm

c) Lập phương trình nhận hai số  x ; x1  2 làm nghiệm

Chủ đề: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

Phương pháp giải

Bước 1 Gọi ẩn và đặt điều kiện: Gọi một (hai) trong số những điều chưa biết làm ẩn vàđặt điều kiện cho ẩn

Bước 2 Biểu diễn các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn

Bước 3 Lập phương trình (hệ phương trình) : Dựa vào mối quan hệ giữa đại lượng đãbiết và chưa biết

Bước 4 Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập ở trên

Bước 5 Kết luận: Kiểm tra giá trị tìm được với điều kiện rồi kết luận

*Chú ý việc tóm tắt bài toán trước khi làm

B MỘT SỐ VÍ DỤ

1 Để đi đoạn đường từ A đến B, một xe máy đã đi hết 3h20 phút, còn một ôtô chỉ đi hết2h30phút Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của ôtô lớn hơn vận tốc xe máy20km/h

Quãng đường (km) Thời gian (h) Vận tốc (km/h)

Bài 1 Cho 200g dung dịch có nồng độ muối là 10% Phải pha thêm vào dung dịch đó một lượng

nước là bao nhiêu để được dung dịch có nồng độ muối là 8%

Bài 2 Có hai vòi nước, vòi 1 chảy đầy bể trong 1,5 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 2 giờ Người ta

đã cho vòi 1 chảy trong một thời gian, rồi khóa lại và cho vòi 2 chảy tiếp, tổng cộng trong 1,8giờ thì đầy bể Hỏi mỗi vòi đã chảy trong bao lâu?

Bài 3 Tổng các chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ số bằng

18 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số ban đầu là 54 Tìm số ban đầu

Bài 4 Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m Nếu tăng chiều dài 5m và chiều rộng 3m thì

diện tích tăng thêm 225m2 Tính kích thước của hình chữ nhật đó

Bài 5 Một cửa hàng trong ngày bán được một số xe đạp và xe máy Biết rằng số xe đạp bán

được nhiều hơn số xe máy là 5 chiếc và tổng bình phương của hai số này là 97 Hỏi cửa hàngbán được bao nhiêu xe mỗi loại

Bài 6 Dân số hiện nay của một địa phương là 41618 người Cách đây 2 năm dân số của địa

phương đó là 40000 người Hỏi trung bình mỗi năm dân số địa phương đó tăng bao nhiêu phầntrăm

Bài 7 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h Khi đến B, người đó nghỉ

20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h Tính quãng đường AB, biết rằng thờigian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút

HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0)

Ta có phương trình: x x 1 55

3025 3  6 Giải ra ta được: x = 75 (km)

Bài 8 Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B Canô I chạy với vận tốc

20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếptục chạy với vận tốc như cũ Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai canô đến bến B cùng 1lúc

HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0)

Ta có phương trình: x x 2

20 24 3 Giải ra ta được: x = 80 (km)

Bài 9 Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu ôtô đi với

vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vậntốc 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó ôtô đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với dự định Tínhquãng đường AB

HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120)

Bài 10 Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phút Tính vận

tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h

HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x km/h (x > 0)

Ta có phương trình: 80 80 81

x 4 x 4  3 Giải ra ta được: 1

4x5

 (loại) , x2 = 20 (km)

Bài 11 Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng một lúc từ bến A xuôi dòng sông Sau khi đi

được 24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ tại một địa điểm cách A 8 km Tính vận tốc của ca

nô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km / h

HD: Gọi vận tốc canô khi nước yên lặng là x km/h (x > 4)

Ta có phương trình: 24 16 2

x 4 x 4  Giải ra ta được x1 = 0 (loại) , x2 = 20 (km/h)

Bài 12 Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km Sau đó 1 giờ 30 phút, một

người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vậntốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp

HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0)

Ta có phương trình: 50 50 (1,5 1)

x 2,5x   Giải ra ta được: x = 12 (thỏa mãn)

Bài 13 Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan di tích lịch sử Người ta dự

tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lượt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại

xe nhỏ 2 chiếc Biết rằng mỗi xe lớn có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn,nếu loại xe đó được huy động

HD: Gọi số xe lớn là x (x  Z + ) Ta có PT: 180 180 15

x  x 2   x1 = 4; x2 = –6 (loại)

Bài 14 Một đội xe cần chuyên chở 100 tấn hàng Hôm làm việc, có hai xe được điều đi làm

nhiệm vụ mới nên mỗi xe phải chở thêm 2,5 tấn Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết rằng số hàngchở được của mỗi xe là như nhau)

HD: Gọi x (xe) là số xe của đội (x > 2 và x  N)

Ta có phương trình: 100 100 5

x 2  x 2 Giải ra ta được: x1 = −8 (loại) , x2 = 10 (thỏa mãn)

Bài 15 Để làm một chiếc hộp hình hộp không nắp, người ta cắt đi 4 hình vuông bằng nhau ở 4

góc của một miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm Hỏi cạnh của các hình vuông đóbằng bao nhiêu, biết rằng tổng diện tích của 4 hình vuông đó bằng 2

   Giải ra ta được: x1 = −18 (loại) , x2 = 4 (thỏa)

Bài 16 Cho một số có hai chữ số Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6

lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đãcho

HD: Gọi số phải tìm là xy (0 < x, y ≤ 9 và x, y  Z)

Ta có hệ: 6(x y) 10x yxy 25 10y x    x 5y 4

Bài 17 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ nhất

chảy trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy 2

5 bể Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mìnhthì phải bao lâu mới đầy bể

HD: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I, II lần lượt là x, y phút (x, y > 80)

Bài 18 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm

3giờ và người thứ hai làm 6giờ thì họ làm được 25% công việc Hỏi mỗi người làm công việc đómột mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc

HD: Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm một mình xong công việc (x > 0, y > 16)

Bài 19 Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều

bằng nhau Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phòng có

400 ghế Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế?

HD: Gọi số dãy ghế trong phòng họp là x dãy (x  Z, x > 0)

Bài 20 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định Do áp dụng

kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21% Vì vậy, trong thời gian quiđịnh họ đã vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch

HD: Gọi x, y là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch (x, y  N*)

Bài 21 Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h

thì đến sớm hơn 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến muộn 1 giờ Tính vận tốc dự định vàthời gian dự định

HD: Gọi thời gian dự định là x và vận tốc dự định là y (x, y > 0) Ta có hệ:

(x 1)(y 4) xy x 6(x 2)(y 14) xy y 28

Chủ đề: HÀM SỐ - ĐỒ THỊ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠0)

- Đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0

- Đồ thị là đường thẳng nên khi vẽ chỉ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị

+ Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ

+ Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm b

- Đồ thị hàm số luôn tạo với trục hoành một góc , mà tg a

- Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA + b

2 Vị trí của hai đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ

Xét hai đường thẳng: (d1) : y = a1x + b1 ; (d2) : y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ 0

- Hai đường thẳng song song khi a1 = a2 và b1 ≠ b2

- Hai đường thẳng trùng nhau khi a1 = a2 và b1 = b2

- Hai đường thẳng cắt nhau khi a1 ≠ a2

+ Nếu b1 = b2 thì chúng cắt nhau tại b1 trên trục tung

+ Nếu a1 a2 = - 1 thì chúng vuông góc với nhau

3 Tính chất của hàm số bậc hai y = ax 2 (a ≠ 0)

- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0

- Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0

- Đồ thị hàm số là một Parabol luôn đi qua gốc tọa độ:

+ ) Nếu a > 0 thì parabol có điểm thấp nhất là gốc tọa độ

+ ) Nếu a < 0 thì Parabol có điểm cao nhất là gốc tọa độ

- Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA2

4 Vị trí của đường thẳng và parabol

- Xét đường thẳng x = m và parabol y = ax2:

+ ) Luôn có giao điểm có tọa độ là (m; am2)

- Xét đường thẳng y = m và parabol y = ax2:

+ ) Nếu m = 0 thì có 1 giao điểm là gốc tọa độ

+ ) Nếu am > 0 thì có hai giao điểm có hoành độ là x = m

3 Lập phương trình đường trung trực (d) của AB

4 Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

5 Tính diện tích tứ giác có các đỉnh là A, B và các điểm 1; 3 trên trục hoành

VD2 Trong cùng một hệ trục tọa độ, gọi (P) , (d) lần lượt là đồ thị của các hàm số

Phương trình đã cho

2

x

x 1 4

    Nhận thấy đồ thị của hai hàm số vừa vẽ là đồ thị của

2

x y

4

 và y x 1 

Mà đồ thị hai hàm số đo tiếp xúc nhau tại A nên phương trình có nghiệm kép là hoành độ của điểm A

c) Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và cắt (P) tại điểm có tung độ

là - 4 Tìm giao điểm còn lại của (d1) với (P)

VD3 Cho (P) : y = 1 2

x

4 và đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B trên (P) có hoành độ lần lượt

là – 2 và 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P)

b) Viết phương trình đường thẳng (d)

c) Tìm M trên cung AB của (P) tương ứng với hoành độ x chạy trong khoảng từ - 2 đến

4 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất

Do đáy AB không đổi nên để diện tích lớn nhất thì đường cao MH lớn nhất

MH lớn nhất khi là khoảng cách từ AB đến đường thẳng (d) //AB và tiếp xúc với (P)

Tìm được tọa độ của M 1

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A ( - 2; 2) và đường thẳng (d1) : y = - 2(x + 1)

a) Giải thích vì sao A nằm trên (d1)

b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị là (P) qua A

c) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A và vuông góc với (d1)

d) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d2) ; C là giao điểm của (d1) với trục tung Tìm tọa

độ của B và C Tính diện tích của tam giác ABC

Baì 3 Cho (P) : y = x2 và (d) : y = 2x + m Tìm m để (P) và (d) :

a) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt b) Tiếp xúc nhau c) Không giao nhau

Bài 4 Trong hệ trục tọa độ Oxy gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2

a) Vẽ (P)

b) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là – 1 và 2 Viết ptđt AB

c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)

Bài 5 Cho hai đt (d1) và (d2) có phương trình lần lượt là:y = (m - 2) x + 4 và y = mx + m + 2

a) Tìm m để (d1) đi qua điểm A(1; 5) Vẽ đồ thị hai hs trên với m vừa tìm được

b) Chứng tỏ rằng (d1) luôn đi qua điểm cố định với m ≠ 2

c) Với giá trị nào của m thì (d1) //(d2) ; (d1)  (d2)

d) Tính diện tích phần giới hạn bởi hai đường thẳng (d1) , (d2) và trục hoành trongtrường hợp (d1)  (d2)

Bài 6 Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1; −2) và B(2; 1)

ĐS: a = 3 và b = −5

Bài 7 Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −2 và đi qua điểm A(1; 5)

ĐS: y = −2x + 7

Bài 8 Viết PT đường thẳng đi qua điểm B(−1; 8) và sg song với đường thẳng y = 4x + 3

ĐS: y = 4x + 12

Bài 9 Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + 5 và cắt trục hoành

tại điểm có hoành độ bằng 2

ĐS: y = −x + 2

Bài 10 Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3) b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3)

c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − 2ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6) b) (a ; b) = (−2 ; 5) c) (a ; b) (3 ; 0)

Bài 11 Cho Parabol (P) : y = 2x2 và hai đường thẳng: (d1) : mx − y − 2 = 0 và (d2) : 3x + 2y − 11

= 0

a) Tìm giao điểm M của (d1) và (d2) khi m = 1

b) Với giá trị nào của m thì (d1) song song với (d2)

c) Với giá trị nào của m thì (d1) tiếp xúc với (P)

Lưu ý: Khai thác việc tìm tham số m để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau

Bài 12 Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng qui:

a) (d1) : 5x + 11y = 8 (d2) : 10x − 7y = 74 (d3) : 4mx + (2m − 1) y = m + 2b) 3x + 2y = 13 (d2) : 2x + 3y = 7 (d3) : (d1) : y = (2m − 5) x − 5m

Bài 13 Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ biết:

a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4) b) A(−2 ; 2) và B(3 ; 5)

HD: a) AB (5 1) 2 (4 1) 2 5 b) AB (3 2) 2 (5 2) 2 5,83

Bài 14 Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua A(−2 ; 15) và B(3 ; −5)

Bài 15 Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −1 và đi qua gốc tọa độ

Bài 16 Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x và cắt

đường thẳng tại điểm nằm trên trục tung

Bài 17 Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1 ; 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2005.

Hãy viết phương trình đường thẳng (d)

Bài 13: Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :

a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ;

b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ;

c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x2

Bài 18 Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y = (2m + 1) x + 2m − 3 Tìm điều kiện của m để:

a) Hai đường thẳng cắt nhau

b) Hai đường thẳng song song với nhau

c) Hai đường thẳng trùng nhau

- Giá trị lớn nhất của biểu thức A: maxA

Để tìm maxA cần chỉ ra A M , trong đó M là hằng số Khi đó maxA = M

- Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A: minA

Để tìm minA cần chỉ ra A m , trong đó m là hằng số Khi đó minA = m

2 Các dạng toán thường gặp

2 1 Biểu thức A có dạng đa thức bậc chẵn (thường là bậc hai) :

Nếu A = B2 + m (đa thức 1 biến) , A = B2 + C2 + m (đa thức hai biến) , … thì A có giá trịnhỏ nhất minA = m

Nếu A = - B2 + M (đa thức 1 biến) , A = - B2 – C2 + M (đa thức hai biến) , … thì A cógiá trị lớn nhất maxA = M

2 2 Biểu thức A có dạng phân thức:

2 2 1 Phân thức m

A B

 , trong đó m là hằng số, B là đa thức

- Nếu mB > 0 thì A lớn nhất khi B nhỏ nhất; A nhỏ nhất khi B lớn nhất

- Nếu mB < 0 (giả sử m < 0) thì A lớn nhất khi B lớn nhất; A nhỏ nhất khi B nhỏ nhất

2 2 2 Phân thức A = B

C, trong đó B có bậc cao hơn hoặc bằng bậc của C

Khi đó ta dùng phương pháp tách ra giá trị nguyên để tách thành

2 3 Biểu thức A có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa căn thức bậc hai:

- Chia khoảng giá trị để xét

- Đặt ẩn phụ đưa về bậc hai

- Sử dụng các tính chất của giá trị tyệt đối:

a  b   a b ; a  b  a  b  a,b Dấu “ = ” xảy ra khi ab 0

dấu “ = ” xảy ra khi a1 = a2 = … = an

Bất đẳng thức Bu - nhi - a - cốp - ski:  a ,a , ,a ;b ,b , ,b1 2 n 1 2 n có

 Ph ơng pháp 1 :

Biến đổi biểu thức đã cho sao cho có chứa số hạng là lũy thừa bậc chẵn

( là một biểu thức không âm) rồi tùy theo dấu trớc biểu thức đó là dơng (hay âm) mà biểu thức đã cho là nhỏ nhất (hay lớn nhất)

dấu “ = ” xảy khi m  3 = 0  m = 3

Vậy GTNN của A là 2 khi m = 3

Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức B = 4x28x + 5

Ta có: B = 4x2  8x + 5 = (4x2 + 8x  5) = [(2x + 1) 2  6] = (2x + 1) 2 + 6  6

Vậy GTLN của B là 6 khi 2x + 1 = 0  x = 1/2

 Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp tìm miền giá trị của một hàm số

Ví dụ: Tìm GTLN & GTNN của biểu thức:

1

1

2 2







x x x

Đặt y =

1

1

2 2







x x

+ ) y  1 0  y 1: Để tồn tại GTNN & GTLN thì (1) phải có nghiệm    0

 = y2  4(y  1) 2 = (y + 2) (3y  2)  0  2

2

S ab S

a) CMR (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x1và x2 là hai nghiệm cuả phơng trình Tìm GTNN của tổng S x 12x22

Bài 7: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình 2x2  3mx  2 = 0

Tìm giá trị của m để x12 x22đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 8: Tìm GTLN&GTNN nếu có của các biểu thức sau:

A = x2 + 3x + 4 B = 3x2 + 4x + 1 C =

2 3

5

2



 x

Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức: M = 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y  5

Bài 10:Tìm GTLN & GTNN của biểu thức:

2 2 2007

x

x x

1

1

2 2

x x

1 3

Giải: Xét hiệu 2(a2 + b2)  (a + b) 2 = a2  2ab + b2 = (a  b) 2 0 a,b

Theo định nghĩa  2(a2 + b2) (a + b) 2 (đpcm)

Bài tập vận dụng

1) CMR: (a + b) 2

4ab 2) CMR: Nếu ab thì a3

b33) CMR: a2 + b2 + c2

ab + bc + ca 4) CMR:

2 2

2

2 x1

x x





II Phơng pháp biến đổi tơng đơng

 Để chứng minh A B, ta dùng tính chất của BĐT, biến đổi tơng đơng BĐT cần chứng minh đến một đẳng thức đã biết là đúng

x x

 

2 4