NỘI DUNG BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN -LỚP 10CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO –THPT Câu 1.. Tìm các giá trị của m để nghiệm duy nhất x;y là các số nguyên.. Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đ
Trang 1NỘI DUNG BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN -LỚP 10
CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO –THPT Câu 1 (Mức độ: B; 1điểm ; Thời gian: 10 phút.)
Giải phương trình : 3x 4 2 3x
HD: * Pt 3x 4 2 3x (1)
3x 4 3x 2(2)
1 x 3 Vn
Câu 2 ( Mức độ: C; 1,5 điểm ; Thời gian: 15 phút )
Cho hệ phương trình : mx 2y 1
(I)
x (m 1)y m
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất Tìm các giá trị của m để nghiệm duy nhất (x;y) là các số nguyên
HD: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
* Điều kiện : D 0
* Tính D m 2 m 2 và giải được m1và m 2
Tìm m để nghiệm duy nhất là các số nguyên
* Khi m1và m 2 thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x ; y) với x 1
m 2
và y m 1
m 2
* Nghiệm duy nhất nguyên khi và chỉ khi m 2 1 m 1
m 3
Câu 3 ( Mức độ:B, C; 2 điểm ; Thời gian: 15 phút )
Cho phương trình : mx22(m - 2)x m 3 0 (1).
a/ Giải và biện luận phương trình (1) theo m
b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x , x1 2 sao cho : 1 2
2 1
x x
3
x x . HD: a) * Khi m = 0 thì (1) trở thành : 4x 3 0 x 3
4
* Khi m 0 thì (1) là phương trình bậc hai có 4 m
+ Nếu m > 4 thì phương trình (1) vô nghiệm
+ Nếu m 4 thì phương trình (1) có hai nghiệm : x1 2 2 m 4 m
m
,
Kết luận :
+ m = 0 : S 3
4
+ m > 4 : S
+ m 4 và m 0 : Phương trình (1) có hai nghiệm : x1 2 2 m 4 m
m
,
b) * Khi m 4 và m 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2
1 2 1 2
2 1
* Thay vào và tính được m 1 65
2
: thoả mãn điều kiện m 4 và m 0
Câu 4 ( Mức độ: C; 2,5 điểm ; Thời gian: 15 phút )
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ABC với A(1; 2), B(5; 2),C(3;2) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của ABC
HD: Toạ độ trọng tâm G : G 9 1
2;
Trang 2Toạ độ trực tâm H :
.
* H (3 ; - 1 )
Toạ độ tâm đường trong ngoại tiếp I :
*
2 2
2 2
4x 8y 8
* I 3 1
2
;
Câu 5 ( Mức độ:B, C; 3 điểm ; Thời gian: 15 phút )
1.(Mức độ:B-1điểm) Cho hai tập hợp: A=[1; 4); Bx R x / 3 Hãy xác định các tập hợp: , \
2.(Mức độ:C-2điểm) Tìm hàm số bậc hai y = ax2 + bx +6 biết đồ thị của nó có đỉnh I(2,-2) và trục đối xứng là x= 2
HD: 1) A=[1; 4); B x R x / 3 = [-3,3]
A B 1;3
\A B (3;4)
2) Thay tọa độ đỉnh I(2;-2), ta có hệ phương trình:
2
2a
b
b
b
b
Giải hệ ta được: 1
4
a b
Vậy hàm số cần tìm là y = x2 – 4x +6
Câu 6 ( Mức độ: C; 3 điểm ; Thời gian: 15 phút )
1 (Mức độ: C-1,5đ điểm) Cho hệ phương trình: x 2 1
( 1)
thực m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
2 (Mức độ: C-1,5đ điểm)Cho phương trình: x2 2 x+m -m=0m 2 Tìm tham số thực m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1 2
2 1
3
HD: 1) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
* Điều kiện : D 0
* Tính D m 2 m 2 và giải được m1và m 2
Vậy với m1và m 2 thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất
(x ; y) với x 1
m 2
và y m 1
m 2
2) Phương trình:x2 2 x+m -m=0m 2 có hai ngiệm phân biệt khi ' 0
m0
TheoYCBT thì:
2 2
2
1 2 1 2
.x
Trang 3
0( ) 5
m
Vậy với m=5 thì thỏa YCBT
Câu 7 ( Mức độ: B; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Chứng minh rằng nếu x,y,z là số dương thì (x y z)(1 1 1) 9
x y z
x y z 3 3 x y z (1)
1 1 1
x y z
x y z
Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được:
1 1 1 33 1 1 1 .
Nhân BĐT (1) & (2) vế theo vế, ta được:(x y z)(1 1 1) 9
x y z
Câu 8 (Mức độ: C; 2điểm ; Thời gian: 15 phút )
1 (Mức độ: C-1điểm)Trong mặt phẳng Oxy, cho các vectơ:
Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC
2 (Mức độ: C-1điểm)
Tính giá trị biểu thức: 1 tan
1 tan
HD: 1) Tọa độ các điểm A(1;-2), B(5;-1), C(3;2)
Toạ độ trọng tâm G : G 3 1
3
; . Toạ độ trực tâm H : Gọi (x;y) là tọa độ của H
2 x 5 4 y 1 0
.
* (25; 2)
2) Ta có: sin 4
5
Tìm được cos 3; tan 4
Thay vào biểu thức:
4 1
4
3
Câu 9 (Mức độ: D ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b,c Chứng minh rằng:
c
C b
B a
A abc
c b
2
2 2 2
HD: Ta có AB BC CA 2 AB2 BC2 CA 2 2AB.BC 2AB.CA 2BC.CA
2 2 2
a b c 2AB.BC 2AB.CA 2BC.CA a b c 2ac.cos B 2cb cos A 2ab.cos C
a b c cos A cos B cos C
Trang 4Câu 10 (Mức độ: C ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút )
a)(Mức độ: C -1điểm)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x2- 2x – 3
b)(Mức độ: C -1điểm)Tìm m để phương trình: x2 - 2x - m + 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt
HD: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x 2 - 2x – 3
*Tập xác định : D =
*Đồ thị là parabol có đỉnh I:
2 1
4
I
I
b x
a y
a
, nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng
*Vì a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trong (-;1),đồng biến trong (1;+)
BBT x - 1 +
+ +
y
- 4
*Đồ thị (C ) đi qua các điểm: (-1;0),(0;- 3), (2;-3),(3;0)
b) Tìm m để phương trình: x 2 - 2x - m + 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt
Ta có: x2 - 2x - m + 1 = 0 x2 -2 x -3 = m – 4 (1)
*Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C1) : y = x2 -2 x -3 với đường thẳng d: y = m- 4
*Vì hàm số y = x2 -2 x -3 là hàm số chẵn nên nên đồ thị ( C1) được suy ra từ đồ thị (C ) bằng cách giữ
nguyên phần đồ thị (C ) ứng với x 0 và lấy đối xứng phần đồ thị này qua trục Oy
* Để pt (1) có bốn nghiệm phân biệt thì: - 4< m – 4< -3 0 < m< 1
Đồ thị (C ) : y = x2- 2x- 3 Đồ thị (C1) : y = x2 -2 x -3
Đồ thị (C1)
Câu 11.(Mức độ: D ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút )
Tìm m để hệ phương trình : 2 (2 1) 2 1
2
có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên
HD: Tìm m để hệ phương trình : 2 (2 1) 2 1
2
có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
* D = 2 -m-12 2 2 1 ( 1)(2 1)
1 -m m m m m
Dx= 2 1 -m-1 2 3 2 3 3 2 2 2 (2 1)
2 -m
m
y
x
y = x 2 -2x-3
O 1
-4
I
-3
2
x
x
d: y = m - 4
m -1
O 1
-4 I
-3 2
-3 -2
Trang 5Dy= 2 -m+12 2 2 4 1 ( 1)(2 1)
1 -m 2m m m m m m
*D = -(m-1)(2m+1) 0 m 1 và m - 1
2 thì hệ pt có nghiệm (x;y) duy nhất:
x
D m m
y
* Để x ,y thì : m- 1 = 1, m- 1= 2.Suy ra : x { 2;0;3;- 1}
Câu 12 (Mức độ: C ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Bằng cách đặt ẩn phụ,giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3
HD: Bằng cách đặt ẩn phụ,giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3
* Ta có: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3(x-1)(x – 4)(x-2)(x-3) – 3 = 0
(x2- 4x +4)(x2- 4x +6) – 3 = 0 (1)
*Đặt t = x2- 4x +4.Pt (1) t(t+2) – 3 = 0 t2 +2t – 3 = 0 1
3
t t
*t = 1: x2- 4x +4 = 1 x2 – 4x + 3 = 0 5 13
2
*t = - 3: x2- 4x +4 = - 3 x2 – 4x + 7 = 0.Phương trình này vô nghiệm
Vậy nghiêm của pt (1): 5 13
2
Câu 13.(Mức độ: B,C ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút )
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho :A(2;6),B(-3;4),C(5;0)
a)(Mức độ: B-0,75điểm) Chứng minh A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
b)(Mức độ: C-1,25điểm ) Tìm tọa độ điểm D sao cho AD 2BC
HD: a) ABC có:A(2;6),B(-3;4),C(5;0)
Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
* AB = (-5;-2)
AC
= (3;-6)
* Vì 5 2
nên AB và AC không cùng phương nên A,B,C không thẳng hàng, hay A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho AD2BC
Giả sử D(x;y)
* AD = (x-2;y-6)
(8; 4)
BC
-2 BC = (-16;-8)
*AD2BC
x y
14 2
x y
Câu14.(Mức độ: C ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Cho ABC có trọng tâm G.Đặt a= GB , b GC
Hãy biểu thị mỗi vectơ CB GA AC BA , , , qua các vectơ
a và b
HD: a= GB , b GC
Hãy biểu thị mỗi vectơ CB GA AC BA , , , qua các vectơ a và b.
GA GB GC a b
Trang 62
Câu 15.(Mức độ: C ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút )
Giải phương trình:
a)(Mức độ: C -1điểm) 4x7 2 x 3 (1)
b)(Mức độ: C -1điểm) 2x3 x 1 (2)
HD: a) Điều kiện 7
4
x
4x 7 4x 12x 9
4x2-16x+2=0
x1,2=4 14
2
Cả hai giá trị đều thoã mãn điều kiện nhưng khi thay vào phương trình thì x2=4 14
2
không thoã mãn
Vậy phương trình có một nghiệm là x=4 14
2
b) +)Với x 3
2
phương trình trở thành 2x+3=x-1 hay x=-4 (không thoã mãn đk x 3
2
n ên bị loại) +) V ới x< 3
2
phương trình trở thành -2x-3=x-1 Hay x= 2
3
(lo ại)
V ậy : Phương trình vô nghiệm
Câu 16.(Mức độ: D ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng: a b b c c a 8
HD: dụng bất đ ẳng th ức Côsi cho hai số dương ,ta được
Nh ân c ác b ất đ ẳng th ức (1);(2);(3) theo từng vế ta được:
8
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
Câu 17.(Mức độ: C ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=(-2x+3)(x-1), với 1 3
2
x
HD: a c ó y=(-2x+3)(x-1)=1
2(-2x+3)(2x-2), Với 1 3
2
x
Ta có 2x2>0 và 2x+3>0 Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dương là 2x2>0 và -2x+3>0 ta được:
Trang 7Hay y 1
8.Vậy giá trị lớn nhất của y là
1
8, đạt tại x=
5 2
Câu 18.(Mức độ:B,B, C ; 3điểm ; Thời gian: 15 phút )
Cho A(-4;2);B(2;6);C(0;-2)
a)(Mức độ:B-1điểm)Hãy tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành b)(Mức độ:B-0,5điểm) Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
c)(Mức độ:C-1,5điểm) Xác định toạ độ trực tâm H của tam giác ABC
HD: a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB DC
(1)
Mà AB (6;4);DC ( ; 2x y)
Vậy D(-6;-2)
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác.Khi đó
;
hay ( 2;2)
3
G
c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.Khi đó:
4; 2 ; 2; 6 ; 2; 8 ; 4; 4
4 0
12
12 8
5 ; ( ; )
5
x
H y
Câu19 (Mức độ: C ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút )
Giải các phương trình sau :
a) (Mức độ: C - 1 điểm) 3x 4 2x 1
b) (Mức độ: C -1 điểm) 2 2 6 2 1
x
HD: a) Tùy theo cách cách giải khác nhau để cho điểm sau đây là một cách cụ thể
Đặt đk:
2
1 0
1
2x x
Pt 3x 4 2x 1 x 3
So sánh điều kiện kết luận pt có nghiệm x = 3 và x =1
Đặt đk:
2
2x 1 0
b) { Không nhất thiết phải giải điều kiện}
x 2x 6 4x 4x 1 5
x 3
So sánh điềm kiện kết luận: Pt có nghiệm x =
3
5
Câu20.(Mức độ: C ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Trang 8Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng :
c b a ab
c ac
b bc
HD: Dùng bất đẳng thức cô si ta có:
b bc
a ab c
a ab
c ac b
c ac
b bc a
2 2 2
a ab
c ac
b bc
c b
1 1
( đpcm)