tài liệu luyện thi vào lớp 10 môn toán

đề thi vào lớp 10

Trang 1

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10

Gv : Lưu Văn Chung 1

Trang 2

BÀI TẬP CĂN THỨC

a Tìm điều kiện có nghĩa của A

b Rút gọn A c Chứng minh A  2

a Rút gọn A b Tìm a để A < 1

c Tính giá trị của A khi a = 19 8 3

Trang 3

a Rút gọn A

b Tính giá trị của A khi x = 7 3

4

 và y = 6 24

25



Bài 13 Cho A =

2 3

1

a a

a Rút gọn A b Tìm các giá trị của a để A < 1

c Tìm a  Z để A nhận giá trị nguyên

a Rút gọn A b Tìm x để A = 6

Bài 20 Cho biểu thức :

ab

baaab

bbab

d Chứng minh nếu ab5ba1 thì A không đổi

Bài 21 Tính giá trị của biểu thức :

82xx

22x8

2xx

22xA

3x



a Rút gọn D b Tính giá trị của D khi x = 4(2 – 3 )

c Tìm giá trị nhỏ nhất của D

Bài 23 Cho biểu thức : A = x x2 x 1 ( x  0 )

a Rút gọn biểu thức A

b Tính giá trị biểu thức A khi x = 6 – 2 5 và x = 3 – 2 7

Bài 24 Cho biểu thức : M = 3

x x



  ( x  1 ; x  3 )

a Rút gọn M b Tính giá trị M khi x = 2(6 2 3)

c Tìm giá trị nhỏ nhất của M

Bài 25 Cho 2  a  6 Chứng minh :

Trang 4

Bài 27 Rút gọn các biểu thức :

a Rút gọn A b Chứng minh A  0

Bài 30 Cho biểu thức :

a Rút gọn P b Chứng minh P 1 a < 0

Bài 34 Cho biểu thức : A = 1 1 : 1 2

a Rút gọn M b Tìm các giá trị x  Z để y = 625 và M < 0,2

PHUƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Trang 5

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

Bài 1 Giải các phương trình sau :

Bài 3 Giải các phương trình sau :

9

27( 3)

x

x  b

2 2

485

Trang 6

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI và ĐỊNH LÝ VI-ET

Bài 1

Cho phương trình bậc hai : x2 – 2(m – 1)x – 3 = 0

a Chứng tỏ phương trình có nghiệm với mọi m

b Tìm m sao cho hai nghiệm x1 , x2 thõa mãn : x12 + x22 = 10

Bài 2

Cho phương trình : (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0

1 Định m để phương trình có nghiệm kép.Tính nghiệm kép đó

2 Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

Bài 3

Cho phương trình : x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0

1 Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

2 Định m để ph/ trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thõa : 1 < x1 < x2 < 6

Bài 4

Cho phương trình : x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0

1 Tìm a để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

2 Xác định a để phương trình có hai nghiệm lớn hơn – 1

Bài 5

Cho phương trình : (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0

1 Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

2 Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao

cho nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia

Bài 6

Cho phương trình : x2 – 2mx + m + 2 = 0

1 Tìm m để phương trình có hai nghiệm không âm

2 Khi đó hãy tính giá trị biểu thức E = x1 x2

Bài 7

Cho phương trình : 3x2 – mx + 2 = 0 Tìm m để phương trình có hai

nghiệm thõa mãn : 3x1x2 = 2x2 – 2

Bài 8

Cho phương trình : 3x2 – 5x + m = 0 Tìm m để phương trình có hai

nghiệm thõa mãn : x1 – x2 = 5

9

Bài 9

Cho phương trình : x2 – 2(m + 4)x + m2 – 8 = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thõa mãn :

1 A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất

2 B = x12 – x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất

3 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m

2 Lập một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

3 Lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là :

X1 = 1

1

11

x x



 và X2 = 2

2

11

x x





Bài 12

Cho phương trình : x2 – (2m – 1)x + m – 1 = 0

2 Định m để phương trình có nghiệm kép.Tính nghiệm kép đó

3 Định m để ph/ trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thõa : –1 < x1 < x2 < 1

4 Lập một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

Bài 13

Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0

2 Định m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau

Bài 14

Cho phương trình : x2 + ax + b = 0

Trang 7

1 Xác định a và b để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thõa

1 Giải phương trình khi m = 9

2 Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

3 Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt mà

nghiệm này gấp đôi nghiệm kia Tìm các nghiệm đó

Bài 17

Cho f(x) = (4m – 3)x2 – 3(m + 1)x + 2(m + 1) = 0

1 Khi m = 1, tìm x để f(x) = 0

2 Xác định m để f(x) viết được dưới dạng một bình phương

3 Giả sử phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2

Lập một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

Bài 18

Cho phương trình : x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0

1 Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

2 Xác định m để biểu thức E = x12 + x22 + 10x1x2 đạt giá trị

nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

Bài 19

Cho phương trình : x2 – (a – 1)x + 1 = 0

1 Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 sao cho biểu thức

M = 3x12 + 5x1x2 + 3x22 đạt giá trị nhỏ nhất

2 Hãy tìm nghiệm của phương trình trong trường hợp trên

Bài 20

Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 , x2 thõa mãn các hệ thức : 4x1x2 = 5(x1 + x2) và (x1 – 1)(x2 – 1) = 1

1

a 

( với a  – 1) Bài 21

Cho phương trình : x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 (1)

1 Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2

2 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

3 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thõa mãn :

1 2

2 1

52

x x

x  x  

Bài 22

Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1)

1 Giải và biện luận phương trình (1) theo m

2 Khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

3 Tìm m sao cho | x1 – x2 |  2

Bài 23

Cho phương trình : x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 (1)

1 Tìm m để phương trình có hai nghiệm không âm

2 Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình Xác định m để biểu thức E = (x1 + 1)x2 đạt giá trị lớn nhất

Trang 8

GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Bài 1

Hai đội công nhân cùng làm một con đường thì xong trong 4 ngày

Nếu mỗi đội làm một mình thì đội I cần ít thời gian hơn đội II là 6

ngày để làm xong con đường Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu

xong con đường ?

Bài 2

Lấy một số tự nhiêncó hai chữ số chia cho số tự nhiên có thứ tự ngược

lại thì được thương là 4 và dư 15 Nếu lấy số đó trừ đi 9 thì được một

số bằng tổng bình phương của mỗi chữ số đó Tìm số tự nhiên ấy ?

Bài 3

Một canô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B rồi chạy ngược lại

A mất tổng thời gian là 4 giờ.Tính vận tốc canô khi nước yên lặng biết

quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là 4 km / h

Bài 4

Có hai thửa đất hình chữ nhật : thửa thứ nhất có chu vi 240 m, thửa

thứ hai có chiều dài và chiều rộng hơn chiều dài và chiều rộng của

thửa thứ nhất là 15 m Tính chiều dài và chiều rộng của mỗi thửa đất

biết tỉ số diện tích giữa hai thử đất là 5/ 8

Bài 5

Người ta hòa 8 kg chất lỏng loại I với 6 kg chất lỏng loại II thì được

một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700 kg / m 3 Biết khối lượng riêng

của chất lỏng loại I hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là 200

kg / m 3 Tính khối lượng riêng của mỗi chất /

Bài 6

Trong giải “Hội khỏe Phù đổng” ở môn bóng đá các đội đấu với nhau

theo thể thức “vòng tròn một lượt” tức là mỗi đội sẽ đá với tất cả các

đội còn lại Có tất cả 15 trận đấu Hỏi có bao nhiêu đội bóng tham dự giải ?

Bài 7

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút Nếu chảy riêng thì vòi thứ II chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ I là 4 giờ Hỏi nếu để chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?

Bài 8

Một phòng họp có 360 ghế ngồi đước xếp thành nhiều dãy và mỗi dãy có số ghế bằng nhau.Nhưng do số người họp là 400 người nên phải xếp thêm mỗi dãy 1 ghế nữa và phải tăng thêm 1 dãy nữa mới dủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãûy có bao nhiêu ghế ?

Bài 9

Tìm một số có hai chữ số , biết rằng chữ số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị và nếu đem số đó chia cho tổng hai chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3

Bài 10

Tìm một số có hai chữ số biết rằng nếu chia chữ số đó cho tổng hai chữ số của chúng thì được thương là 4 và dư 3 Còn nếu chia số đó cho tích hai chữ số của chúng thì được thương là 3 và dư 5

Bài 11

Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một công việc Nếu cùng làm thì hai tổ hoàn thành 2/3 công việc trong 4 giờ Nếu làm riêng thì tổ này sẽ làm xong công việc trước tổ kia 5 giờ Hỏi để làm xong việc thì mổi tổ phải mất thời gian là bao lâu ?

Bài 12

Hai vật A và B chuyển động cùng một lúc trên hai cạnh của một góc vuông và hướng về đỉnh góc vuông Khi chưa chuyển động , vật A và B cách đỉnh góc vuông lần lượt là 60 cm và 70 cm Sau 3 giây thì khoảng cách hai vật là 70 m; sau 2 giây tiếp theo thì khoảng

cách giữa hai vật là 50 cm Tính vận tốc mỗi vật theo m / s

Bài 13

Trang 9

Một canô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc là 30

km / h rồi chạy ngược lại A Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngựoc là 1

giờ 20 phút Tính quãng đường sông AB biết vận tốc dòng nước là 5

km / h và vận tốc riêng của canô khi xuôi và ngựoc đều bằng nhau

Bài 14

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m, nếu tăng chiều dài thên

3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 45 m 2 Tính

chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ?

Bài 15

Dân số xã X hiện có 10.000 người Người ta dự đoán 2 năm sau dân

số xã X là 10.404 người Hỏi trung bình hằng năm dân số xã X tăng

thêm bao nhiêu người ?

Bài 16

Một đội xe chỏ 36 tấn hàng Do được tăng cường thêm 3 xe nữa nên

mỗi xe chở ít đi 1 tấn hàngso với dự định Hỏi lúc đầu đội có bao

nhiêu xe biết rằng số tấn hàng mỗi xe chở là bằng nhau

Bài 17

Một tam giác vuông có cạnh huyền là 15 cm và hai cạnh góc vuông

hơn kém nhau 3 cm.Tính chu vi tam giác vuông đó ?

Bài 18

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và làm đầy bể

trong 1 giờ 48 phút Nếu chảy riêng thì vòi thứ I chảy đầy bể nhanh

hơn vòi thứ I là 1 giờ 30 phút Hỏi nếu để chảy riêng thì mỗi vòi chảy

đầy bể trong bao lâu ?

Bài 19

Một người đi xe đạp từ A đến B ,rồi trở về A ngay với vận tốc như lúc

đi Nhưng sau khi từ B đi được 1 giờ thì nghỉ mệt 20 phút và đi tiếp về

A với vận tốc tăng thêm 4 km / h Biết thời gian đi và về bằng nhau và

quãng đướng AB dài 60 km Tính vận tốc lúc đi ?

Bài 20

Tính ba cạnh của một tam giác vuông biết chu vi là 12 cm và tổng

bình phương ba cạnh là 50cm 2

Bài 21

Hai người thợ cùng làm một công việc thì xong trong 3 giờ 36 phút Nếu người thứ I làm 1

3 công việc rồi để cho người thứ II làm tiếp thì xong công việc trong 7 giờ.Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm xong công việc trong bao lâu ?

Bài 26

Một hình chữ nhật có chu vi 34 m Nếu tăng chiều rộng thêm 2 m và tăng chiều dài thêm 3 m thì diện tích tăng thêm 45 m 2 Tính kích thước hình chữ nhật đó ?

Trang 10

cây dự định trồng.Hỏi tổ có bao nhiêu học sinh , biết số cây mỗi bạn

trồng đều bằng nhau

Bài 29

Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1 m Nếu tăng

thêm chiều dài ¼ của nó thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 3 m 2

Tính diện tích hình chữ nhật lúc đầu ?

Bài 30

Mỗi thợ may được giao phải may 30 cái áo Mỗi ngày thợ A may

nhiều hơn thợ B 2 áo nên hoàn thành số áo được giao sớm hơn thợ B

nửa ngày.Hỏi mỗi thợ may hoàn thành công việc được giao trong bao

nhiêu ngày ?

Bài 31

Cùng một số tiền là 60000đ nếu mua vở giấy tốt thì được ít hơn mua

vở giấy xấu 3 cuốn Biết giá một cuốn vở tốt nhiều hơn một cuốn vở

xấu 1000đ Hỏi giá tiền một cuốn vở tốt là bao nhiêu ?

Bài 32

Một người dự định đi từ A đến B cách nhau 20 km với vận tốc không

đổi Nhưng sau khi đi được 1 giờ, người đó giảm vận tốc 2 km / h nên

đến B muộn hơn dự định 15 phút.Tính vận tốc dự định của người đó ?

Bài 33

Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 6 giờ Nếu

làm riêng mỗi người nửa công việc thì tổng số giờ phải làm là 12 giờ

30phút.Hỏi mỗi người làm riêng thì bao lâu xong công việc đó ?

Bài 34

Một người đi từ A đến B cách nhau 375 km và trở về A Sau khi đi

từ B về được 2 giờ thì người đó nghỉ 45 phút.Do đó để về A đúng thời

gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 25 km/h Tính vận tốc

khi đi ?

BÀI TẬP HÌNH HỌC BÀI TẬP HÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10

Bài 1

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A và B Vẽ đường kính AC và AD của (O) và (O’) Tia CA cắt đường tròn (O’) tại F , tia

DA cắt đường tròn (O) tại E

1 Chứng minh tứ giác EOO’F nội tiếp

2 Qua A kẻ cát tuyến cắt(O) và (O’) lần lượt tại M và N Chứng minh tỉ số MC

NF không đổi khi đường thẳng MN quay quanh A

3 Tìm quỹ tích trung điểm I của MN

4 Gọi K là giao điểm của NF và ME Chứng minh đường thẳng KI luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng MN quay quanh A

5 Khi MN // EF Chứng minh MN = BE + BF

Bài 2

Cho hình vuông ABCD cố định E là điểm di động trên cạnh CD (E  C và D ) Tia AE cắt đường thẳng BC tại F Tia Ax vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng DC tại K

1 Chứng minh CAFCKF

3 Chứng minh  KAF vuông cân

4 Chứng minh đường thẳng BD đi qua trung điểm I của KF

5 Gọi M là giao điểm của BD và AE Chứng minh IMCF nội tiếp

6 Chứng minh khi điểm E thay đổi vị trí trên cạnh CD thì tỉ số ID

CF không đổi Tính tỉ số đó?

Bài 3

Trang 11

Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) M là điểm thuộc

cung nhỏ AC Vẽ MH  BC tại H , vẽ MI  AC tại I

1 Chứng minh  IHM ICM

2 Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB tại K.Ch/ minh MK  BK

3 DF cắt EB tại M, HF cắt EC tại N.Chứng minh  MIH ~  MAB

4 Gọi E là trung điểm IH và F là trung điểm AB Chứng minh tứ

giác KMEF nội tiếp Suy ra ME  EF

Bài 4

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với

đường tròn ( B và C là hai tiếp điểm ).Vẽ CD  AB tại D cắt (O) tại

E Vẽ EF  BC tại F; EH  AC tại H

1 Chứng minh các tứ giác EFCH , EFBD nội tiếp

2 Chứng minh EF 2 = ED EH

3 Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp

4 Chứng minh MN  EF

Bài 5

Cho đường tròn (O) và điểm A ở ngoài đường tròn Vẽ tiếp tuyến AM

và cát tuyến ACD ( tia AO nằm giữa hai tia AM và AD) Gọi I là trung

điểm CD

1 Chứng minh tứ giác AMOI nội tiếp đường tròn Xác định tâm K

2 Gọi H là giao điểm của MN và OA Chứng minh CHOD nội tiếp

3 Đường tròn đường kính OA cắt (O) tại N Vẽ dây CB  MO cắt

MN tại F Chứng minh CFIN nội tiếp

4 Tia DF cắt AM tại K Chứng minh KE  AM

Bài 6

Cho OM = 3R , MA , MB là hai tiếp tuyến , AD // MB , MD cắt (O) tại

C , BC cắt MA tại F , AC cắt MB tại E

1 Chứng minh MAOB nội tiếp

1 Chứng minh MIHF và OHEI là các tứ giác nội tiếp

1 Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE nội tiếp

2 Chứng minh OC vuông góc với DE

3 CH cắt AB tại F Chứng minh : AH.AD + BH.BE + CH.CF =

Trang 12

Bài 10

Cho (O;R) và dây BC = 2a cố định M  tia đối tia BC Vẽ đường tròn

đường kính MO cắt BC tại E , cắt (O) tại A và D (A  cung lớn  BC )

AD cắt MO tại H , cắt OE tại N

1 Chứng minh MA là tiếp tuyến của (O) và MA 2 = MB.MC

2 Chứng minh tứ giác MHEN nội tiếp

3 Tính ON theo a và R

4 Tia DE cắt (O) tại F Chứng minh ABCF là hình thang cân

Bài 11

Cho nửa đường tròn (O;R) , đường kính AB C là điểm chính giữa AB

, K là trung điểm BC AK cắt (O) tại M Vẽ CI vuông góc với AM tại

I cắt AB tại D

1 Chứng minh tứ giác ACIO nội tiếp Suy ra số đo góc OID

2 Chứng minh OI là tia phân giác của COM

3 Chứng minh  CIO ~  CMB Tính tỉ số IO

Cho  ABC (AC > AB và  BAC  900) Gọi I , K lần lượt là trung

điểm AB và AC Các đường tròn (I ) đường kính AB và (K ) đường kính

AC cắt nhau tại điểm thứ hai là D Tia BA cắt (K) tại E ; tia CA cắt

(I) tại F

1 Chứng minh B,C, D thẳng hàng

2 Chứng minh BFEC nội tiếp

3 Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với với đường tròn ngoại

tiếp  AEF So sánh DH và DE

Bài 13

Cho đường tròn (O) và dây AB Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài

đường tròn Từ điểm E chính giữa cung lớn AB kẻ đường kính EF cắt

dây AB tại D Tia CE cắt (O) tại điêm I Các tia AB và FI cắt nhau tại

K

1 Chứng minh EDKI nội tiếp

2 Chứng minh CI.CE =CK.CD

3 Chứng minh IC là tia phân giác ngoài đỉnh I của  AIB

4 Cho A , B , C cố định Chứng minh khi đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A , B thì đường thẳng FI luôn đi qua một điểm cố định

Bài 14

Cho  ABC vuông tại A Trên cạnh AC lấy điểm D Vẽ đường tròn (O) đường kính CD.Đường tròn (I ) đường kính BC cắt (O) tại E AE cắt (O) tại F

1 Chứng minh ABCE nội tiếp

2 Chứng minh  BCA = ACF

3 Lấy điểm M đối xứng với D qua A ; N đối xứng với D qua đường thẳng BC Chứng minh BMCN nội tiếp

4 Xác định vị trí của D để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kính nhỏ nhất

Bài 15

Cho  ABC có B và  C nhọn các đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại H Một đường thẳng d tùy ý đi qua A lần lượt cắt hai đường tròn tại M và N

1 Chứng minh H  BC

2 Tứ giác BCNM là hình gì ? Tại sao?

3 Gọi I và K là trung điểm của BC và MN Chứng minh bốn điểm A ,

H, I , K một đường tròn Từ đó suy ra quỹ tích của I khi d quay quanh A

1 Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất

Bài 16

Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại

A và B Vẽ cát tuyến qua B cắt (O) tại E , cắt (O’) tại F

1 Chứng minh AE = AF

Trang 13

2 Vẽ cát tuyến BCD vuông góc với AB (C  (O) ; D  (O’) ), Gọi K

là giao điểm của CE và FD Chứng minh AEKF và ACKD là các

tứ giác nội tiếp

3 Chứng minh  EKF cân

4 Gọi I là trung điểm EF Chứng minh I , A , K thẳng hàng

5 Khi EF quay quanh B thì I và K di chuyển trên đường nào?

Bài 17

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với

(O) Vẽ dây BD // AC AD cắt (O) tại K Tia BK cắt AC tại I

1 Chứng minh IC 2 = IK.IB

2 Chứng minh  BAI ~  AKI

3 Chứng minh I là trung điểm AC

4 Tìm vị trí điểm A để CK  AB

Bài 18

Cho đường tròn (O;R)và điểm A cố định với OA = 2R BC là đường

kính quay quanh O Đường tròn ngoại tiếp  ABC cắt đường thẳng AO

tại I

1 Chứng minh OI.OA = OB.OC Suy ra I là điểm cố định

2 Trường hợp AB , AC cắt (O) tại D và E DE cắt OA tại K

a Chứng minh tứ giác KECI nội tiếp

b Tính AK theo R

c Gọi N là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp  ADE

với OA Chứng minh tứ giác BOND nội tiếp Suy ra N

là điểm cố định

3 Tìm vị trí của BC để diện tích  ABC lớn nhất

4 Tìm vị trí BC để bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC nhỏ nhất

Bài 19

Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định M là điểm di chuyển trên

cung lớn AB Vẽ hình bình hành MABC Vẽ MH  BC tại H cắt (O)

tại K BK cắt MC tại F

1 Chứng minh tứ giác FKHC nội tiếp Suy ra K là trực tâm của

MBC

2 Tia phân giác của  AMB cắt (O) tại E và cắt tia CB tại N.Chứng minh  MBN cân Suy ra N thuộc một cung tròn cố định tâm O’ khi M di chuyển trên cung lớn AB

3 Chứng minh AB là tiếp tuyến của (O’)

4 Khi AB = R 3 Tính diện tích tứ giác OEO’B theo R

Bài 20 Cho đường tròn (O; R) và một dây AB cố định ( AB < 2R ) Một điểm M tùy ý trên cung lớn AB ( M  A , B ) Gọi I là trung điểm

của dây AB và (O’) là đường tròn qua M và tiếp xúc với AB tại A Đường thẳng MI cắt (O) ; (O’) lần lượt tại các giao điểm thứ hai là N ,

P

1 Chứng minh IA 2 = IP.IM

2 Chứng minh tứ giác ANBP là hình bình hành

3 Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn (MBP)

4 Chứng minh khi M di chuyển thì P chạy trên một cung tròn cố định

Bài 21

Cho  ABC có góc A tù , đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đường kính AC tại giao điểm thứ hai là H Một đường thẳng

d quay quanh A cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại M và N sao cho

A nằm giữa M và N

1 Chứng minh H  BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông

2 Chứng minh tỉ số HM

HN không đổi

3 Gọi I là trung điểm MN , K là trung điểm BC Chứng minh 4 điểm A , H , I , K cùng thuộc một đường tròn và I di chuyển trên một cung tròn cố định

4 Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích  MHN lớn nhất

Trang 14

1 Chứng minh  AOM ~  BON và  MON vuông

2 Gọi H là hình chiếu của O trên MN Chứng minh đường thẳng d

luôn tiếp xúc với một nửa đường tròn cố định tại H

3 Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp  MON chạy trên

một tia cố định

4 Tìm vị trí của đường thẳng d sao cho chu vi  AHB đạt giá trị lớn

nhất , tính giá trị lớn nhất đó theo a

Bài 23

Cho  ABC có ba góc nhọn với trực tâm H Vẽ hình bình hành

BHCD Đường thẳng qua D và // BC cắt đường thẳng AH tại E

1 Chứng minh A , B , C , D , E cùng thuộc một đường tròn

2 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC , chứng minh

BAEOAC và BE = CD

3 Gọi M là trung điểm của BC , đường thẳng AM cắt OH tại G

Chứng minh G là trọng tâm của  ABC

Bài 24

Cho ba điểm cố định A , B , C thẳng hàng ( theo thứ tự đó ) Một

đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua B, C Từ điểm A kẻ các

tiếp tuyến AM , AN đến đường tròn (O) Đường thẳng MN cắt AO và

AC lần lượt tại H và K

1 Chứng minh M , N di động trên một đường tròn cố định

2 Gọi I là trung điểm BC Vẽ dây MD // BC Chứng minh DN đi qua

điểm cố định

3 Chứng minh đường tròn (OHI) luôn đi qua 2 điểm cố định

Bài 25

Cho  ABC có A 450, BC = a O là tâm đường tròn ngoại tiếp

 ABC B’ và C’ là chân các đường cao hạ từ B và C xuống các cạnh

tương ứng Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua đường thẳng B’C’

1 Chứng minh A , B’ , O’ , C’ cùng thuộc một đường tròn tâm I

2 Tính B’C’ theo a

3 Tính bán kính đường tròn (I) theo a

Bài 26

Cho đường tròn (O;R) và điểm M sao cho OM = 2R Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với (O)

1 Chứng minh  AMB đều và tính MA theo R

2 Qua điểm C thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA tại

E và cắt MB tại F Chứng minh chu vi  MEF không đổi khi C chạy trên cung nhỏ AB

3 OF cắt AB tại K , OE cắt AB tại H Chứng minh EK  OF

4 Khi sđ BC = 90 0

Tính EF và diện tích  OHK theo R

Bài 27 Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định Điểm A di chuyển trên

cung lớn  BC Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H

1 Chứng minh BEDC nội tiếp đường tròn

2 Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC lần lượt tại M và N Chứng minh MN // ED và 4 điểm B, C , M , N cùng thuộc một đường tròn

3 Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ A đi qua một điểm cố định

4 Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ H cũng đi qua một điểm cố định O’

5 Tìm độ dài BC để O’ thuộc đường tròn (O)

Bài 28

Cho đường tròn (O ; R) có dây BC = R 3.Vẽ đường tròn (M) đường kính BC Lấy điểm A (M) (A ở ngoài (O) ) AB , AC cắt (O) tại D và

E Đường cao AH củaABC cắt DE tại I

1 Chứng minh AD.AB = AE.AC

2 Chứng minh I là trung điểm DE

3 AM cắt ED tại K Chứng minh IKMH nội tiếp

Trang 15

B Tiếp tuyến cỏa (O) tại P cắt (O’) tại điểm thứ hai là D (D  P),

đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại K Chứng minh :

1 Bốn điểm A , B , Q , K cùng thuộc một đường tròn

2  BPK cân

3 Đường tròn ngoại tiếp  PQK tiếp xúc với PB và KB

Bài 30

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến chung

gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O) và (O’) tại C và D

Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (O) và (O’) tại M

và N Các đường thẳng BC và BD lần lượt cắt đường thẳng MN tại P

và Q; các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E Chứng minh :

1 Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD

2  EPQ cân

Bài 31

Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC )

Đường tròn tâm (O’) tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với hai cạnh

AB và AC tại I và K Gọi E là giao điểm thứ hai của MK với (O)

1 Chứng minh ME là tia phân giác AMC

2 Tia phân giác Mx của  BMC cắt IK tại F Chứng minh tứ giác

FKCM và FIBM nội tiếp

3 Chứng minh  BIF ~  FKC

4 Chứng minh FM 2 = MB.MC

5 Chứng minh tia CF là phân giác  BCA

Bài 32

Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính AB và CD vuông góc với

nhau I là điểm di động trên bán kính OB ( I  B và O ).Tia CI cắt

đường tròn tại E

1 Chứng minh OIED nội tiếp

2 Chứng minh CI.CE = 2R 2

3 DB cắt CE tại H AE cắt CD tại K Chứng minh HK // AB

4 Chứng minh diện tích tứ giác ACIK không đổi khi I di động trên

OB ( I  O và B )

Bài 33

Cho đường tròn (O;R) và một dây cung AB cố định Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB Lấy điểm C tùy ý trên trên cung nhỏ MB,

kẻ tia Ax vuông góc với tia CM tại H , cắt đường thẳng BC tại K

1 Chứng minh CM là tia phân giác của  ACK

2 Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp  ABK và sđAKB

không phụ thuộc vào vị trí điểm C

3 Tia KM cắt tia AB tại E và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F Chứng minh tích ME.MF không đổi khi C di động và tính tích đó theo R và MAB

Bài 34

Cho đường tròn (O;R) và điểm M sao cho OM = 2R Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với (O)

1 Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp và MO  AB

2 Chứng minh  AMB đều và tính MA theo R

3 Qua điểm C thuộc cung nhỏ  AB vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA tại E và cắt MB tại F OF cắt AB tại K OE cắt AB tại H Chứng minh EK  OF

4 Chứng minh EF = 2HK

Bài 35

Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ) Đường cao BE của tam giác kéo dài cắt đường tròn (O) tại K Kẻ KD vuông góc với BC tại D

1 Chứng minh 4 điểm K ; E ; D ; C cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm của đường tròn này

2 Chứng minh KB là phân giác của  AKD

3 Tia DE cắt đường thẳng AB tại I Chứng minh KI  AB

4 Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OA , cắt AB tại H Chứng minh CH // KI

Trang 16

1 Chứng minh NE  BM

2 Gọi H là giao điểm của ME và NF Chứng minh

HF.HM =HE.HN

3 Tia BH cắt MN tại I Tính BI theo a Suy ra đường thẳng MN

luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

4 Cho a = 5, AM = 2 Tính EF

Bài 37

Cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố định trên đường tròn Một

góc nhọn  xAy có số đo không đổi quay quanh A cắt đường tròn tại B

và C.Vẽ hình bình hành ABDC Gọi E là trực tâm  BDC

1 Chứng minh E thuộc đường tròn (O;R)

2 Gọi H là trực tâm của  ABC Chứng minh EH , BC và AD

đồng quy tại một điểm I

3 Khi góc  xAy quay quanh A sao cho Ax và Ay vẫn cắt (O;R) thì H

di chuyển trên đường cố định nào ?

Bài 38

Cho hình vuông ABCD cạnh a Một đường thẳng d qua tâm O của hình

vuông cắt AD và BC tại E và F Từ E kẻ đường thẳng song song với

BD , từ F kẻ đường thẳng song song với AC , chúng cắt nhau tại I

1 Chứng minh A , I , B thẳng hàng

2 Kẻ IH  EF tại H Chứng minh H luôn thuộc một đường tròn

cố định khi d quay quanh O

3 Đường thẳng IH cắt đường trung trực của AB tại K Chứng

minh AKBH nội tiếp Suy ra K cố định

4 Tìm vị trí của đường thẳng d để diện tích tứ giác AKHB lớn

nhất

Bài 39

Cho đường tròn (O;R) và dây AB cố định I là điểm chính giữa cung

lớn  AB M là điểm di động trên cung lớn  AB K là trung điểm AB Vẽ

tia Ax vuông góc với đường thẳng MI tại H cắt đường thẳng MB tại C

1 Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp

2 Chứng minh  AMC là các tam giác cân

3 Chứng minh khi M di động thì C luôn thuộc một đường cố định

4 Gọi E là điểm đối xứng với A qua I và F là điểm đối xứng với B qua đường thẳng MI Chứng minh tứ giác AFEB nội tiếp

5 Tìm vị trí M để chu vi  ABM lớn nhất

6 Tìm vị trí M để chu vi  ACM lớn nhất

Bài 40

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R C là trung điểm AO Vẽ đường thẳng Cx  AB tại C cắt đường tròn tại I, K là điểm di động trên đoạn CI ( K  C và I), Tia AK cắt (O) tại M Đường thẳng Cx cắt đường thẳng BM tại D, cắt tiếp tuyến tại M của (O) tại N

1 Chứng minh AK.AM = R 2

2 Chứng minh  NMK cân

3 Khi K là trung điểm CI Tính diện tích  ABD theo R

4 Chứng minh khi K di động trên đoạn CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp  ADK thuộc một đường thẳng cố định

Bài 41

Cho đường tròn (O ;R) đường kính AB I là điểm thuộc AO sao cho

AO = 3IO Qua I vẽ dây CD  AB Trên CD lấy K tùy ý Tia AK cắt (O) tại M

1 Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp

2 Chứng minh đường thẳng AM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp

Trang 17

d Lấy E là điểm thuộc tia đối của tia MB sao cho ME = MC

Chứng minh ABDE nội tiếp

e Chứng minh C luôn thuộc một cung tròn cố định Xác định

tâm của cung tròn này

Bài 43

Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng d không cắt đường tròn

Vẽ OH  d tại H M là điểm thuộc d Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và

MB với (O) ( A , B là các tiếp điểm )

1 Chứng minh tứ giác MAOH nội tiếp

2 Đường thẳng AB cắt OH tại I Chứng minh IH.IO = IA.IB

3 Chứng minh I cố định khi M chạy trên đường thẳng d

4 Cho OM = 2R , OH = a Tính diện tích  MAI theo a và R

Bài 44

Cho đường tròn (O;R) và điểm A ở ngoài đường tròn Vẽ đường thẳng

d  OA tại A Lấy điểm M  d Vẽ tiếp tuyến MC với (O) C là tiếp

điểm )

1 Chứng minh 4 điểm M , A , O , C cùng thuộc một đường tròn

2 AC cắt (O) tại B, Tiếp tuyến tại B của (O) cắt MC tại E , cắt

đường thẳng d tại D Chứng minh M, E, O, D cùng thuộc một

đường tròn

3 Chứng minh A là trung điểm MD

4 Chứng minh  EOD ~  COA

5 Cho OM = 2R và OA = a Tính DE theo a và R

Bài 45

Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)( AB < AC ) Kẻ

đường cao AH và đường kính AD của đường tròn (O) Phân giác của



BAC cắt (O) tại E

1 Chứng minh AE là phân giác của HAD

2 Chứng minh AB.AC = AH.AD

3 Chứng minh  HAD ABCACB

4 EO cắt AC tại F , BF cắt AH tại M Chứng minh  AFM cân

5 Cho AB = 4 , AC = 5 , R = 3 Tính BC (lấy 1 chữ số thập phân )

Bài 46

Cho  ABC đều nội tiếp (O;R) M là điểm trên cung nhỏ  BC Trên dây AM lấy điểm E sao cho ME = MB

1 Chứng minh  MBE đều

2 Chứng minh  CBM =  ABE

3 Tìm vị trí điểm M sao cho tổng MA + MB + MC lớn nhất

4 Khi M chạy trên  BC nhỏ thì E chạy trên đường cố định nào

5 Gọi F là giao điểm của AM và BC Chứng minh

Cho đường tròn (O;R) và dây AB Vẽ đường kính CD vuông góc với

AB tại K.( D thuộc cung nhỏ AB ) M là điểm thuộc cung nhỏ  BC

3 HO cắt BC tại K Chứng minh K là trung điểm NC

4 Cho AB = 5 cm , HC = 3 2 cm Tính độ dài cạnh BC

Bài 49

Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau E là điểm thuộc DB nhỏ AE cắt DC tại N , CE cắt AB tại M

Trang 18

1 Chứng minh tứ giác NOBE nội tiếp

2 Chứng minh AN AE = 2R 2

3 Chứng minh  ANC ~  MAC Tìm vị trí của E để diện tích

 NEN lớn nhất

4 Biết AM = 3BM Tính DN và EB theo R

Bài 50

Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) với AB < AC

Phân giác của  BAC cắt BC tại E và cắt (O) tại D Tia OD cắt BC tại

K.Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M

1 Chứng minh tứ giác MAOK nội tiếp

2 Chứng minh MA 2 = MB.MC

3 Chứng minh MA = ME

4 Kẻ tiếp tuyến MF của (O) ( F là tiếp điểm ) Chứng minh tia

FE v đường thẳng DO cắt nhau tại điểm thuộc (O)

5 Biết BE = a và EC = b Tính AM theo a và b

Bài 51

Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Phân giác của

góc  BAC cắt BC tại D và cắt đường tròn tại E

Vẽ DK  AB và DM  AC tại K và M

1 Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp và KM  AE

2 Chứng minh AD.AE = AB.AC

3 Chứng minh MK = AD sin  BAC

4 So sánh diện tích tứ giác AKEM và diện tích  ABC

Bài 52

Cho điểm A  đoạn BC sao cho AB = 2AC Vẽ đường tròn (O;R)

đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AC

1 Chứng minh (O) và (O’) tiếp xúc nhau

2 Lấy điểm H  đoạn OB sao cho OH = 1

5OB Vẽ tia Hx vuông góc AB cắt (O) tại D Tia DA cắt (O’) tại M Vẽ đường kính

MN của (O’) OD cắt BN tại K Chứng minh OD // MN và tính

OK theo R

3 Chứng minh BN là tiếp tuyến của (O’)

4 DA cắt BN tại E Tính diện tích  BEA theo R

Bài 53

Cho  AOB cân tại O (  AOB 900 ) Trên cạnh AB lấy điểm M , vẽ

MC // OB và MD // OA Vẽ đường tròn (C;CM) và đường tròn (D;DM) cắt nhau tại điểm thứ hai là N

1 Chứng minh A  (C ; CM) và B  (D;DM)

2 Chứng minh  ANB ~  CMD

3 Chứng minh N thuộc một đường cố định khi M chạy trên AB

4 Chứng minh  ONM vuông

Bài 54

Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Vẽ đường cao

AH của  ABC , đường kính AD Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của C và B lên AD M là trung điểm BC

1 Chứng minh các tứ giác ABHF và BFOM nội tiếp

2 Chứng minh HE // BD

3 Chứng minh S  ABC = . .

4

AB AC BC R

4 Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp  EFH

Bài 55

Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định , A là điểm di chuyển trên cung lớn  BC Vẽ 2 đường cao BE và CF của  ABC cắt nhau tại H

1 Chứng minh AFEACB

2 Vẽ bán kính ON  BC tại M ( N  cung nhỏ  BC ) AN cắt BC tại D Chứng minh AB.NC = AN.BD

3 AH cắt (O) tại K Chứng minh : BC AK = AB.CK + AC.BK

4 Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp  ADC luôn thuộc một đường cố định khi A di chuyển trên cung lớn BC

Bài 56

Cho hai đường tròn (O;R) và (O’: r) (R > r) cắt nhau tại Avà B Vẽ đường kính AC của (O) và đường kính AD của (O’) M là điểm thuộc cung nhỏ BC MB cắt (O’) tại N

Trang 19

1 Chứng minh C , B , D thẳng hàng Tính tỉ số AN

AM theo R và r

2 CM và DN cắt nhau tại E Ch minh tứ giác AMEN nội tiếp

3 Chứng minh điểm E thuộc một đường cố định khi M thay đổi

4 Chứng minh  AMB ~  AED

Bài 57

Cho  ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ đường tròn (O) đường

kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và D

1 Chứng minh AD.AC = AE.AB

2 Gọi H là giao điểm của BD và CE , K là giao điểm của AH và

BC Chứng minh BHKAED

3 Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với (O) với M , N là các tiếp

điểm Chứng minh KA là phân giác của  NKM

4 Chứng minh ba điểm M, N , H thẳng hàng

Bài 58

Cho (O;R) và điểm P trên đường tròn Từ P vẽ hai tia Px , Py cắt

đường tròn tại A và B sao cho  xPy là góc nhọn

1 Vẽ hình bình hành APBM Gọi K là trực tâm của  ABM

Chứng minh K thuộc đường tròn (O)

2 Gọi H là trực tâm của  APB , I là trung điểm AB Chứng minh

H , I , K thẳng hàng

3 Khi hai tia Px và Py quay quanh P sao cho Px và Py vẫn cắt

đường tròn và  xPy không đổi thì H chạy trên đường cố định

nào

Bài 59

Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Điểm M di

động trên trên cung nhỏ BC Từ M kẻ MH  AB và MK  AC

1 Chứng minh  MBC ~  MHK

2 Gọi D là giao điểm của HK và BC Chứng minh MD  BC

3 Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK lớn nhất

Bài 60

Cho hai điểm A và B thuộc đường tròn (O) ( AB không đi qua O ) và có hai điểm C và D lưu động trên cung lớn AB sao cho AD // BC ( C và D khác A và B ; AD > BC ) Gọi M là giao điểm của BD và AC Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại I

1 Chứng minh ba điểm I , O , M thẳng hàng

2 Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp  MCD không đổi

Bài 61

Cho (O;R) và dây MN cố định P là điểm chính giữa cung lớn  MN Lấy điểm I thuộc PN nhỏ, kẻ tia Mx  PI tại K cắt tia NI tại E

1 Chứng minh IP là tia phân giác của  MIE

2 Chứng minh E luôn chạy trên một cung tròn cố định khi I di chuyển trên cung nhỏ PN Xác định tâm của cung tròn này

3 Tia EP cắt MN tại F, cắt đường tròn (O) tại G Chứng minh

PM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp  MFG

4 Tính tích PF.PG theo R và   PMN

Bài 62

Cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố định thuộc (O) Vẽ tiếp tuyến

Ax, trên tia Ax lấy điểm Q Vẽ tiếp tuyến QB với đường tròn (O) ( B là tiếp điểm )

1 Chứng minh QBOA nội tiếp và OQ  AB

2 Gọi E là trung điểm OQ Tìm quỹ tích của E khi Q di chuyển trên tia Ax

3 Vẽ BK  Ax tại K cắt OQ tại H Tìm quỹ tích của H

4 Cho AQ = 2R Tính HK theo R

Bài 63

Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Ba đường cao

AD , BE , CF cắt nhau tại H AH cắt (O) tại K Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M

1 Chứng minh MK // BC và DH = DK

2 Chứng minh HM đi qua trung điểm I của BC

3 Chứng minh : HD HE HF 1

AD BE CF 

Trang 20

4 Chứng minh AD BE CF 9

HDHE HF 

Bài 64

Cho  ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R) Một đường thẳng d thay

đổi qua A cắt hai tiếp tuyến tại B và C của (O) ở M và N Giả sử d cắt

đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E Gọi F là giao điểm của MC và

NB

1 Chứng minh  MBA ~  CAN

2 Chứng minh tích MB.CN không đổi

3 Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp

4 Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua điểm cố định

Bài 65

Cho đường tròn (O;R) và đường kính AB cố định MN là đường kính

thay đổi của (O) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BM và BN lần lượt tại E

và F Gọi I là trung điểm EA và K là trung điểm AF

1 Chứng minh tứ giác EMNF nội tiếp

2 Chứng minh IMNK là hình thang vuông Tính EF theo R để

IMNK là hình chữ nhật

3 Chứng minh tích AI.AK không đổi khi MN thay đổi

4 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp  IBK luôn đi qua điểm cố

định ( khác điểm B )

Bài 66

Cho đường tròn (O;R) đường kính BC Điểm M tùy ý thuộc bán kính

OC Qua M vẽ dây AE vuông góc với BC Từ A vẽ tiếp tuyến của (O)

cắt đường thẳng BC tại D

1 Chứng minh EC là phân giác của AED

2 Vẽ đường cao AK của  BAE Gọi I là trung điểm của AK Tia

BI cắt đường tròn (O) tại H Chứng minh MH  AH

3 Chứng minh tứ giác EMHD nội tiếp

4 Chứng minh đường thẳng BD là tiếp tuyến của đường tròn

ngoại tiếp  AHD

5 Khi M là trung điểm OC Tính diện tích  MHC theo R

Bài 67

Từ điểm A ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là hai tiếp điểm ) Vẽ cát tuyến AEF với đường tròn (O) Vẽ dây ED  OB cắt BC tại M và cắt BF tại N Gọi K là trung điểm EF

1 Chứng minh tứ giác KMEC nội tiếp và KCEBNE

2 Chứng minh tứ giác EHOF nội tiếp

3 Chứng minh tia FM đi qua trung điểm của AB

Bài 68

Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) (AB < AC ) Ba đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H

1 Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp Xác định tâm I

2 Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại K Chứng minh KF.KE

= KB.KC

3 AK cắt đường tròn (O) tại M Chứng minh MFEA nội tiếp

4 Chứng minh M , H , I thẳng hàng

2 Chứng minh CA.CD = CB.CE

3 Chứng minh ABED nội tiếp

4 CF cắt AB tại Q Hỏi K là điểm đặc biệt gì của  OCQ

5 Chứng tỏ Q là một giao điểm của DE và đường tròn ngoại tiếp

BAC  Kẻ đường cao AH, BE , CF của  ABC

1 Chứng minh BEFC nội tiếp đường tròn Xác định tâm I

2 Chứng minh đường thẳng kẻ từ A và vuông góc với EF đi qua một điểm cố định khi A chạy trên  AB

Trang 21

3 Gọi M và N lần lượt là trung điểm EB và FC Chứng minh

M , H, I , N cùng thuộc một đường tròn

4 Nếu IA là phân giác của EIF Tính số đo  BCE

Bài 71

Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) M là điểm chạy

trên cung nhỏ  BC Gọi E và F là hình chiếu của A lên đường thẳng

MB và MC AH là đường cao của  ABC

1 Chứng minh 4 điểm A , E , M , F cùng thuộc một đường tròn

2 Chứng minh khi M thay đổi thì tỉ số AE

AF không đổi

3 Chứng minh E , H , F thẳng hàng

4 Tìm vị trí M trên cung nhỏ  BC để tổng AE.MB + AF.MC

lớn nhất

Bài 72

Cho  ABC nội tiếp đường tròn (O) D là điểm tùy ý trên  BC không

chứa điểm A Gọi (O’) là đường tròn tiếp xúc ngoài với (O) tại D

Các tia AD , BD , CD lần lượt cắt đường tròn (O’) tại A’ ; B’ ; C’

a Chứng minh AA' BB' CC'

AD  BD  CD

b Chứng minh AD.BC = AC.BD + AB.CD

c Gọi AA 1 , BB 1 , CC 1 là các tiếp tuyến của (O’) lần lượt vẽ từ

A , B , C ( A 1 , B 1 , C 1 là các tiếp điểm ) Chứng minh :

AA 1 BC = BB 1 AC = CC 1 AB

Bài 73

Cho đuờng tròn tâm O đường kính AB = 2R Lấy điểm M  (O; R) sao

cho MA < MB Phân giác góc AMB cắt đuờng tròn tại D , cắt AB tại

K

a Chứng minh OD  AB và  ADB cân

b Trên cạnh MB lấy điểm C sao cho MC = MA Chứng minh tứ

giác DKCB nội tiếp

c Vẽ phân giác BI của  MKB Chứng minh D là tâm đuờng tròn

ngoại tiếp tứ giác AICB

d Vẽ đường kính DF của đuờng tròn (O;R), MF cắt AI tại N Biết

AM = R tính khoảng cách từ N đến đường thẳng AM

Bài 74

Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đuờng tròn (O;R) (AC < AC) Tiếp tuyến tại B và tiếp tuyến tại C của đuờng tròn (O) cắt nhau tại D Tia OD cắt BC tại H

a Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp và OD  BC tại H

b Chứng minh HO.HD =

24

b Tiếp tuyến tại A cắt BC tại S Chứng minh SA = SD

c Vẽ đường kính MN của (O;R) cắt AC tại F , BN cắt AM tại E Chứng minh EF // BC

d Vẽ tiếp tuyến SK của (O) (K là tiếp điểm , K  A) Chứng minh K ,

N , D thẳng hàng

e Cho AB = 3 , BC = 5 , AC = 6 Chứng minh SAB cân

Trang 22

MỘT SỐ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10

Bài 1 Giải các pt và hệ phương trình :

a Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thõa mãn :

x1x25x x1 224

Bài 4

Một canô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km

Cùng lúc đó một bè nứa cũng trôi từ A về B với vận tốc dòng nước là

4 km/h Khi đến B canô quay về ngay và gặp bè nứa tại điểm cách A

là 8 km.Tính vận tốc thực của canô (vận tốc canô khi nước yên lặng )

Bài 5

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R C là trung điểm AO

Vẽ đường thẳng Cx  AB tại C cắt đường tròn tại I, K là điểm di

động trên đoạn CI ( K  C và I), Tia AK cắt (O) tại M.Đường thẳng

Cx cắt đường thẳng BM tại D, cắt tiếp tuyến tại M của (O) tại N

a Chứng minh AK.AM = R2

b Chứng minh  NMK cân

1

c Khi K là trung điểm CI Tính diện tích  ABD theo R

d Chứng minh khi K di động trên đoạn CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp  ADK thuộc một đường thẳng cố định

62

xy

y x

Bài 3

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và làm đầy bể trong 1 giờ 48 phút Nếu chảy riêng thì vòi thứ I chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ I là 1 giờ 30 phút Hỏi nếu để chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?

Bài 4

Cho (P) y = 1

4

 x2 và (Dm) : y = mx + m2 – 1

a Vẽ (P) và (D1) khi m = 1

b Chứng tỏ (Dm) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m

Bài 5

Cho đường tròn (O ;R) đường kính AB I là điểm thuộc AO sao cho

AO = 3IO Qua I vẽ dây CD  AB Trên CD lấy K tùy ý Tia AK cắt (O) tại M

a Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp

b Chứng minh đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp  MKC

2

Trang 23

c Chứng minh tâm P của đường tròn ngoại tiếp  CMK thuộc

một đường cố định

d Tính khoảng cách nhỏ nhất của DP

a Rút gọn B b Tìm x để B = – 2

Bài 2 Giải các phương trình

a Giải hệ phương trình khi m = 3

b Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

Bài 4

Một xe lửa đi từ ga A đến ga B Sau đó một giờ một xe lửa khác đi từ

ga B đến ga A với vận tốc lớn hơn vận tốc xe thứ nhất 5 km /h Hai

xe lửa cùng đến ga C ở chính giữa hai ga A và B Tính vận tốc mỗi

xe lửa biết quãng đường AB là 900km

Bài 5

Tìm k để phương trình : x2 – (k + 1)x + k = 0 có tổng bình phương các

nghiệm là 10

Bài 6

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) ; hai

đường cao AD và BE cắt nhau tại H (DBC ; E AC ; AB < AC )

a Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE nội tiếp

b Chứng minh OC vuông góc với DE

c AH cắt (O) tại F Chứng minh : AB.CF + AC.BF = BC.AF

3

d Đường phân giác trong AN của BAC cắt BC tại N , cắt đường

tròn (O) tại K.(K khác A) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

CAN Chứng minh KO và CI cắt nhau tại điểm thuộc đường tròn (O)

Bài 2 Cho phương trình : x2 – 2(m + 2)x + m + 1 = 0 ( x là ẩn )

a Giải phương trình khi m = – 1, 5

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) : y = 2x2 và đường thẳng (dm) : y = 1

2

m

mx 

a Vẽ (P) và (dm) khi m = 2

b Tìm điều kiện của m để (P) và (dm) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

Bài 5

Cho đường tròn (O; R) và một dây AB cố định ( AB < 2R ) Một điểm

M di động trên cung lớn AB ( M  A , B ) Gọi I là trung điểm của dây AB và (O’) là đường tròn qua M và tiếp xúc với AB tại A Đường thẳng MI cắt (O) ; (O’) lần lượt tại các giao điểm thứ hai là N

và P

4

Trang 24

a Chứng minh IA2 = IP.IM

b Chứng minh tứ giác ANBP là hình bình hành

c Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn (MBP)

d Chứng minh P luôn chạy trên một cung tròn cố định

20 14 2  20 14 2 Tính giá trị của biểu thức : B = x3 – 6x

Có hai thửa đất hình chữ nhật : thửa thứ nhất có chu vi 240 m, thửa

thứ hai có chiều dài và chiều rộng hơn chiều dài và chiều rộng của

thửa thứ nhất là 15 m Tính chiều dài và chiều rộng của mỗi thửa đất

biết tỉ số diện tích giữa hai thửa đất là 5

8

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) : y = – x2 và đường

thẳng (dm) : y = mx + m – 1

a Xác định m để (dm) tiếp xúc với (P)

b Vẽ (P) và (d) với m vừa tìm được ở câu a

c Viết phương trình đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) và đi qua

b MF và NE cắt nhau tại H Chứng minh HF.HM =HE.HN

c Tia BH cắt MN tại I Tính BI theo a Suy ra đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

a Khi m = 5 vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b Tìm m để (P) và (d) không có điểm chung

Tiêu đề	Tài Liệu Luyện thi vào lớp 10 môn Toán
Tác giả	Lưu Văn Chung
Người hướng dẫn	Lưu Văn Chung
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông (các trường phù hợp)
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Tài liệu luyện thi
Năm xuất bản	2008 - 2009
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	48
Dung lượng	3,06 MB