Tối ưu hóa với các hàm Lipschitz

MỞ ĐẦU Lớp các bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương là một bộ phận quan trọng của lớp các bài toán tối ưu không trơn.. Clarke  5 đã xây dựng lí thuyết đạo hàm suy rộng theo

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

MỞ ĐẦU

Lớp các bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương là một bộ phận quan trọng của lớp các bài toán tối ưu không trơn Bởi vì các hàm Lipschitz địa phương xác định trên các không gian hữu hạn chiều là khả vi hầu khắp nơi nên ta có thể xem các bài toán Lipschitz địa phương là lớp trung gian giữa các lớp bài toán với các hàm khả vi và không khả vi

Năm 1983 cuốn sách chuyên khảo “Optimization and Nonsmooth Analysis” của F.H Clarke  5 ra đời đánh dấu một bước tiến quan trọng của lí thuyết tối ưu không trơn F.H Clarke  5 đã xây dựng lí thuyết đạo hàm suy rộng theo phương

và gradient suy rộng cho hàm Lipschitz địa phương giá trị thực và jacobian suy rộng cho hàm giá trị véc tơ và thiết lập các điều kiện cần tối ưu cho bài toán với hàm theo phương và dưới vi phân cho hàm Lipschitz địa phương mà ta gọi là đạo hàm theo phương Michel-Penot và dưới vi phân Michel-Penot Chú ý rằng một hàm khả vi Gâteaux thì dưới vi phân Michel-Penot là đạo hàm Gâteaux, trong khi

đó nếu hàm khả vi chặt thì đạo hàm chặt mới là gradient suy rộng Clarke Mới đây Đ.V.Lưu  12 đã thiết lập các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối

ưu đa mục tiêu Lipschitz địa phương với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel-Penot Đây là vấn đề đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính vì thế mà em chọn đề tài luận văn:

“Tối ưu hóa với các hàm Lipschitz địa phương”

Luận văn trình bày các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán với các hàm Lipschitz địa phương đơn và đa mục tiêu dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke và dưới vi phân Michel-Penot

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1: điều kiện cần dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke

Chương một trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích Lipschitz, điều kiện cần tối ưu cho bài toán đơn mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của

F.H.Clarke và điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của B.D Craven

Chương 2: Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel-Penot

Chương 2 trình bày các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của Đ.V.Lưu  12 cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và ràng buộc tập

Bài toán tối ưu đa mục tiêu ở đây bao gồm các hàm Lipschitz địa phương hoặc có đạo hàm Fréchet (không nhất thiết lớp 1

C ) Với một trong sáu điều kiện chính qui (CQ1) –(CQ6), các điều kiện cần Kuhn-Tucker được trình bày dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel-Penot

Ngày 26 tháng 09 năm 2012

Bùi Văn Dũng

Chương 1

ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU DƯỚI

NGÔN NGỮ GRADIENT SUY RỘNG CLARKE

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích Lipschitz, điều kiện cần

tối ưu cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu có ràng buộc với các hàm Lípschitz địa

phương của F.H.Clarke  5 và điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương của bài

toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của B.D.Craven  4

Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo từ các tài liệu   1 , 2

1.1 Một số kiến thức về giải tích Lipschitz

Giả sử X là không gian Banach, *

X là không gian đối ngẫu tôpô của X và f là hàm Lipschitz địa phương tại xX.

Định nghĩa 1.1.1

Đạo hàm suy rộng của hàm f theo phương vX tại x , kí hiệu là f0 x v;

được xác định như sau:

Đây là khái niệm đạo hàm suy rộng theo phương của F.H Clarke

(ii) Lấy các dãy  x i và  v i hội tụ đến x và v tương ứng Theo định nghĩa

limsup, với   i, y i X,  t i 0 sao cho

f y t v f y t v

K v v t

f y tv   f y  f y t   f y K v t

(với y gần x, t dương gần 0)

trong đó 0 

; 0

c f x

 là dưới vi phân của hàm lồi f o x;. tại 0

Bây giờ ta lấy *

Gỉả sử f là hàm Lipshitz địa phương với hằng số K tại x Khi đó

a) f x , lồi compact *yếu trong *

X và  * K

Ta chứng minh f x  lồi: lấy  1 , 2 f x , 0   1. Khi đó

Bây giờ ta chứng minh f x  compắc *yếu: với

f x ,  *  K f x B*0,K, trong đó

B*0,K là hình cầu đóng tâm tại 0 với bán kính K.

Mà hình cầu B*0,K là compact *yếu trong *

X (định lí Alaoglu), f x  là đóng *yếu  f x  compact*yếu

x  X  X thỏa mãn

if x i ;  x i hội tụ đến x , là điểm giới hạn của  i

theo tô pô *yếu Khi đó,

 f x  (tức là ánh xạ đa trị f x  đóng *yếu );

(iii) f x  0 y x Bf y ;

(iiii) Nếu X hữu hạn chiều thì f là nửa liên tục trên tại x.

Nhắc lại  3 : cho hàm lối f trên tập lồi mở U , f U: R dưới vi phân của hàm lồi f tại xU được định nghĩa như sau

giả sử f là hàm Lipschitz trên tập con mở U trong n

R Khi đó, f khả hầu khắp nơi (theo độ đo Lebesgue) trên U.

Ký hiệu f là tập tất cả các điểm mà tại đó hàm f không khả v ( f R: n R)

Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x; S là tập tùy ý trong n

R có độ đo Lebesgue bằng 0 Khi đó

f x colim f x i :x i x x, iS x, if, (1.5)

trong đó co kí hiệu bao lồi

1.1.3 Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến

Cho tập C X C,   Ta xét hàm khoảng cách d C :X R được định nghĩa như sau:

d C x : inf   x c c : C.

T x được gọi là nón tiếp tuyến Clarke (tangent cone) của tập C tại x

Nón pháp tuyến Clarke (normal cone) của tập C tại x được định nghĩa như sau:

Chú ý rằng nếu C là một tập lồi thì N C x trùng với nón pháp tuyến theo định nghĩa giải tích lồi

Khi Clà một tập lồi, ta có d C . là một hàm lồi

a) Từ định nghĩa của K C x suy ra : xclC ;

b) Định nghĩa 1.1.7 có thể viết dưới dạng:

Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x Khi đó

f chính qui tại x epif chính quy tạix f x,   

1.2 Điều kiện cần tối ưu cho bài toán đơn mục tiêu

Giả sử X là không gian Banach,

0 1, , ,

i i

( Qui tắc nhân tử Lagrange của F.H.Clarke)

Giả sử x là nghiệm của bài toán (P.1); tập C đóng và các hàm

r g x,    0, (1.7)

trong đó x L là gradient suy rộng Clarke của hàm L theo biến x

Vec tơ , ,r s thỏa mãn (1.6), (1.7) được gọi là nhân tử Lagrange của bài toán

Khẳng định của định lý 1.2.1 vẫn đúng, nếu ta lấy  , ,r s  1.

Thật vậy, nếu , ,r s là nhân tử Lagrange, tức là thỏa mãn (1.6),(1.7) (với số k

nào đó ), thì với  t 0, véc tơ t, ,tr ts cũng là nhân tử Lagrange

Chú ý rằng F là hàm Lipschitz địa phương tại x và F x  .

Nếu ta làm cho một chuỗi dãy i  0,

thì có dãy tương ứng u i x,còn dãy con t u i

Hệ quả 1.2.2

Giả sử x là nghiệm của bài toán (P1); các giả thiết của định lí 1.2.1 thỏa mãn,

khi đó, tồn tại R r, R s n, R m không đồng thời bằng 0,   0,r 0 sao cho

1.3 Điều kiện cần tối ưu cho bài toán qui hoạch đa mục tiêu

Giả sử F R: n R p, :g R n R m, :h R n R r là các hàm Lipschitz địa phương tại

trong đó WMIN kí hiệu cực tiểu yếu địa phương mà ta sẽ định nghĩa dưới đây

Kí hiệu  là tập chấp nhận được của bài toán (P2):

  : xR n: g x  S, h x T

Định nghĩa 1.3.1

(i) Điểm x được gọi là nghiệm pareto địa phương

(local Pareto solution) hay nghiệm hữu hiệu địa phương (local efficient solution ) của bài toán (P2), nếu tồn tại số   0 sao cho:

 , 

 

F x F x Q\ 0 ,  (1.11)

trong đó B x , là hình cầu mở tâm x , bán kính  ,

(ii) Điểm x được gọi là cực tiểu yếu địa phương

(local weak minimum) hay nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (local weak- efficient solution) của bài toán (P2) nếu tồn tại số   0 sao cho F x F x  int (Q x B x ,);

( ( 1.12)

(iii) Điểm x được gọi là cực tiểu mạnh địa phương

(local strong minimum)của bài toán (P2) nếu tồn tại số   0 sao cho:

Trở lại với bài toán (P2), nón Qcó int Q  Khi đó, nón liên hợp *

Chứng minh

Giả sử x x1, 2, ,x j là các vectơ độc lập tuyến tính trong T L x,  1 , x j là không gian con tuyến tính sinh bởi x1, x j

Nếu T L x 1 , x j thì x j1 T L x\  1 , ,x j Khi đó, ta thêm x j1 vào x1, ,x j.

Xuất phát từ x1 T\ 0 , ta xây dựng được cơ sở x1, ,x kcho L T  Nếu   r

L T R ,

cơ sở này được mở rộng thành cơ sở x1, ,x k, ,x r của r

R

Ký hiệu E là đơn hình có các đỉnh là 0, , ,x1 x k Khi đó, int E trong L T , và

ET , cho nên int T   trong L T 

Bây giờ giả sử V là ánh xạ cơ sở x1, ,x r thành các vectơ đon vị (1,0,…,0),

Giả sử X Y, là các không gian định chuẩn; tập   X khác; DY compắc,

0 D P;   d:  0,dD : f : Y R liên tục, f  .,v lồi  v Y  ,f u,. lõm và thuần nhất dương  u  Khi đó, có đúng một trong các hệ sau là tương thích:

    0 

d X  B F x d

Theo định lý Fubini, một phương d như vậy có thể chọn để sao cho với  1  0

nào đó, F x d tồn tại với     0,   1  trừ ra một tập có độ đo 0

Đặt   : F x d. Bởi vì   F x   F x , cho nên

h x dO1   0, (1.15) bởi vì F g, Lipschitz địa phương tại x, và  p bằng    không phụ thuộc

C

  do C compact , trong đó O1  là đại lượng cùng bặc với 

Giả sử H là orthant (góc phần tư)bất kỳ trong R e r,  intH Với C H,e0, , cho nên O1  O2  e.Vì vậy, từ (1.15) ta nhận được:

trong đó o4  là vô cùng bé của 

Nếu h x  có hang cực đại: định lý hàm ẩn của Clarke ( 5 hệ quả 7.1.1) chỉ ra rằng: Nếu

h xd  với  đủ nhỏ, thì h x  0 với x x dO  nào đó

Với  o4  , ta nhận được

h x d    0 trong đó     o  .

b)Nếu ta lấy    , , với Bvà  Ccố định A thì

    0,      g x  dg x   0,

trong đó   không phụ thuộc vào trong tập compắc A.

Từ mệnh đề 1.3.1 suy ra

Với  đủ nhỏ, trừ ra một tập có đô đo 0.

Vì vậy, x x d   x x d   là điểm chấp nhận được c) Ta lấy p  , , , bằng một lí luận tương tự, ta nhận được:

F xd F x  Q

F x d   F x  intQ   0

Điều này mâu thuẫn với x là cực tiểu yếu địa phương (!)

Có mâu thuẫn trên là do đã giả sử có (1.14) Vì vậy (1.14) không đúng, tức là:

Vì vậy, với     , ,   , thích hợp không đồng thời bằng 0

Chương 2

ĐIỀU KIỆN CẦN CHO NGHIỆM

HỮU HIỆU DƯỚI NGÔN NGỮ

DƯỚI VI PHÂN MICHEL –PENOT

Chương 2 trình bày các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và ràng buộc tập của Đ.V.Lưu

 12 Các dữ liệu của bài toán gồm các hàm Lipschitz địa phương hoặc khả vi Fréchet (không nhất thiết lớp 1

C ) Với các điều kiện chính quy (CQ1)-(CQ6), các điều kiện cần Kuhn-Tucker được trình bày dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel-Penot

2.1 Môt số kiến thức chuẩn bị

Giả sử X là 1 không gian Banach , *

X là một không gian tôpô đối ngẫu của

X ,xXvà f là một hàm giá trị thực xác định trên X

Theo(14) đạo hàm theo phương Michel-Penot của f tại xtheo phương vX

được xác định như sau:

0

t X

trong đó G f x  là đạo hàm Gâteaux của f tại x Nếu f khả vi Fréchet tại

xvới đạo hàm Fréchet

f x  thì

MP f x   f x  .

Trong trường hợp f là hàm Lipschitz địa phương với (hằng số L), hàm số f  x;.

thuần nhất dương, dưới cộng tính trên X , Lipschitz với hằng số L trên X ,

T C x  K C x ;  ta nói Clà chính qui tại x

Ta nhắc lại nón tiếp tuyến Ursescu của Ctại xCđược xác định như sau:

IT C x ;   intT C x ; .

Với tập A bất kì trong X , nón cực của A được xác định như sau:

R  và Clà tập con đóng của X Khi đó, f g h, , có thể viết như sau:

Nhắc lại điểm xM là cực tiểu Pareto địa phương của (MP)

nếu tồn tại số   0sao cho không X nào thuộc MB x ; thỏa mãn

trong đó B x ;  là hình cầu mở tâm x bán kính  Tập S2là nón đa diện nên S2là giao của hữu hạn các nửa không gian:

2 1

,

r i i

: 0, 1, ,

r

i i i i

   là các hàm Lipschitz địa phương tại x Khi

đó, g i x i I x  cũng là hàm Lipschitz địa phương tại x chú ý rằng

Đặt S1 cone S 1 g I x , trong đó cone S 1 g I x  là bao đóng của nón lồi sinh bởi

trong đó S1*là nón đối ngẫu của S1

Để dẫn các điều kiện cần Kuhn-Tucker cho bài toán (MP) ta xét điều kiện chính qui sau:

C Q x s; T Q x s;  với s nào đó thuộc J (2.4)

Ta gọi (2.4) là điều kiện chính qui (CQ1) Với điều kiện chính quy (CQ1) ta có điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu sau:

Định lí 2.2.1

Giả sử x là cực tiểu pareto địa phương của bài toán (MP) Giả sử điều kiện chính qui (CQ1)đúng với s nào đó thuộc J và H s x là tập đóng * yếu Khi đó, tồn tại   *      

Chứng minh

Vì x là một cực tiểu pareto địa phương của bài toán (MP), do vậy nó cũng là cực tiểu pareto địa phương của bài toán (MP1) Do đó với mọi s J, x là cực tiểu địa phương của bài toán sau:

s

I i j

Nếu điều này không đúng thì phải tồn tại 0 

H x là tập lồi đóng *yếu, từ định lí 3.6  6 ta có thể áp dụng để tách các tập lồi

  và H s x Vì vậy tồn tại của u0X u, 0  sao cho

2 2 2 2

1 2 1 2 1

2 2

1 2

1 sin , ê u 0,

C Q x ,  v T C x , : f k   x v,    0 k Jg I x vS1,

g i x v,    0 i I x  , h x j ,v    0 j L.

Nếu (CQ1)đúng với tất cảsJthì (CQ2) đúng bởi vì

Sau đây ta sẽ trình bày một điều kiện cần Kuhn-Tucke cho nghiệm hữu hiệu với

các nhân tử Lagrange tương ứng với các thành phần của hàm mục tiêu là dương

Định lí 2.2.2

Giả sử x là cực tiểu pareto địa phương của (MP), giả sử các điều kiện chính qui

đúng và H x là tập đóng *yếu Khi đó tồn tại

 

* 1

Bởi vì T Q x s;  lồi, nên cũng đóng *yếu Do đó, chúng ta có thể áp dụng bổ đề 5.8

Thì H s x và (H s x là đóng tương ứng ), trong đó Cokí hiệu bao tuyến tính

2.3 Các điều kiện chính qui (CQ3)-(CQ6)

Kết quả sau đây chỉ ra rằng (CQ3) kéo theo(CQ1)

Mệnh đề 2.3.2

Giả sử x là một điểm, chấp nhận được của bài toán (MP), trong đó không có ràng buộc g I và C là một tập lồi f g k, i là các hàm khả vi Dini tại x với các đạo hàm lồi f   x; ,g x i ; ,    j J, i I2 điều kiệnchính qui (CQ3) đúng tại x với s nào

đó và Q s là chính qui tại x khi đó (CQ1) đúng tại x với cùng chỉ số s

Chứng minh

Bởi vì các hàm f kkJvà g iiI2 khả vi Dini và Lipschitz địa phương tại

x,các hàm f kkJ và g i i I x   khả vi Hadamard tại x Do (CQ3) ta suy ra với s nào đó thuộc J ,

k  i  j    0 k J k,   s, i I x ,  j L, (2.26)

bởi vì 0 N C x ,  Từ (2.26), ta áp dụng định lí 2 (15) ta suy ra

K P x s;   {v X: f k  x v,    0 k J k, s,

,         

g x v   i I x h x v   j L

(2.27) Bởi vì các hàm f k x;  k J k, s và g x i ;. iI x  là lồi và thuần nhất dương

 s; 

K P x là một nón lồi

Hơn nữa theo định lí 3.3 9 ta có

K Q x s; K P x s;  K C x ; . (2.28)

Bởi vì C là lồi K C x ; T C x ;  Do đó K C x ;  và K Q x s; là các nón lồi

Mặt khác, do tính chính qui của Q stại x từ (2.27) và (2.28) ta suy ra