Một số kết quả dạng Farkas cho các hệ không lồi và áp dụng vào lý thuyết tối ưu NCS. Trần Hồng Mơ

Chú ý rằng những dạng mở rộng của Bổ đề Farkas trong không gian vô hạnchiều hoặc cho hệ phi tuyến chỉ xảy ra khi có điều kiện chính quy nào đó nhưđiều kiện Slater hoặc các dạng tổng quát

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN HỒNG MƠ

MỘT SỐ KẾT QUẢ DẠNG FARKAS CHO CÁC HỆ KHÔNG LỒI VÀ

ÁP DỤNG VÀO LÝ THUYẾT TỐI ƯU

Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu

Mã số: 62 46 20 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tp Hồ Chí Minh-2015

Công trình này được hoàn thành tại:

• Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQG Tp HCM

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TSKH Nguyễn Định

Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Phản biện 2: PGS.TS Đinh Ngọc Thanh

Phản biện 3: PGS.TS Phạm Hoàng Quân

Phản biện độc lập 1: TS Bùi Trọng Kiên

Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Xuân Hải

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại Trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên-ĐHQG Tp HCM vào lúc giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM

- Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

đề này vào quy hoạch tuyến tính và quy hoạch phi tuyến, Bổ đề Farkas đã trởthành một trong những công cụ nổi tiếng trong tối ưu và trong toán ứng dụng.

Kể từ đó, có nhiều nỗ lực mở rộng bổ đề này, và các kết quả này đã có nhiềuứng dụng không chỉ trong toán ứng dụng mà còn trong các lĩnh vực khác nhưtài chính và kinh tế

Về lý thuyết, dạng mở rộng cho hệ lồi của Bổ đề Farkas, gọi là Bổ đề Minkowski, đã được chứng minh tương đương với Định lý Hahn-Banach Hơnnữa, bổ đề này là “dạng toán" của nguyên lý cơ bản thứ nhất của toán tài chính.Bởi tầm quan trọng, trong những thập kỷ cuối của thế kỷ 20, nó liên tục đượcphát triển bởi nhiều nhà toán học từ hệ tuyến tính đến hệ lồi, không lồi; từkhông gian hữu hạn chiều đến không gian vô hạn chiều; từ hàm đơn trị đến hàm

Farkas-đa trị

Chú ý rằng những dạng mở rộng của Bổ đề Farkas trong không gian vô hạnchiều hoặc cho hệ phi tuyến chỉ xảy ra khi có điều kiện chính quy nào đó nhưđiều kiện Slater hoặc các dạng tổng quát của nó (được gọi là điều kiện về điểmtrong) Gần đây, các tác giả V Jeyakumar, N Dinh, R Burachik, R I Bot, G.Wanka đã giới thiệu một số điều kiện chính quy gọi là điều kiện về tính đóng,điều kiện này yếu hơn điều kiện về điểm trong Hơn nữa, điều kiện về tính đóngnày được chứng minh là điều kiện cần và đủ để đảm bảo tồn tại Bổ đề Farkas

mở rộng Tất cả các dạng mở rộng của Bổ đề Farkas được gọi là “các kết quảdạng Farkas" và chúng có nhiều áp dụng trong tối ưu

Tuy nhiên, vẫn còn nhiều vấn đề, câu hỏi mở chưa được giải chẳng hạn như

Bổ đề Farkas có thể được thiết lập cho hệ liên quan hàm hợp? cho hệ liên quanhàm vectơ? Các kết quả này nếu thiết lập được thì giúp ích gì trong việc nghiêncứu lớp bài toán liên quan hàm hợp hoặc bài toán tối ưu vectơ? Mặt khác, trongnhững năm gần đây đã xuất hiện một số dạng mở rộng Bổ đề Farkas không cóđiều kiện chính quy Câu hỏi quan trọng sau cùng, có hay không mối quan hệgiữa các dạng mở rộng của Bổ đề Farkas và các định lý cơ bản trong giải tíchtoán học? Từ những vấn đề vừa nêu, trong luận án này chúng tôi đặt kế hoạchnghiên cứu các vấn đề sau:

Vấn đề 1 Bổ đề Farkas cho hệ liên quan hàm hợp: Nghiên cứu và thiếtlập một số dạng tổng quát Bổ đề Farkas cho hệ liên quan hàm hợp có/không cótính lồi và nửa liên tục dưới Áp dụng các kết quả nhận được vào bài toán tối

ưu liên quan hàm hợp với lồi/không lồi

Vấn đề 2 Bổ đề Farkas mở rộng và các định lý cơ bản trong toánhọc: Như đã đề cập ở trên, Bổ đề Farkas tương đương Định lý Hahn-Banach

Vì thế, một câu hỏi tự nhiên: Có tồn tại hay không các dạng mở rộng của Định

lý Hahn-Banach tương đương với các dạng mở rộng gần đây hoặc dạng mới của

Trong thời gian nghiên cứu thực hiện luận án, chúng tôi đã phần nào trả lờiđược các vấn đề đã nêu ở trên Cụ thể, chúng tôi nhận được các kết quả sau đâyliên quan đến các Vấn đề 1, 2 và 3:

Các kết quả dạng Farkas cho hệ liên quan hàm hợp (Chương 2).Xét bất đẳng thức liên quan hàm hợp có dạng:

f (x) + g(x) + (k ◦ H)(x) ≥ h(x) ∀x ∈ X (1)Chúng tôi nhận được các kết quả sau:

• Sáu loại điều kiện chính quy dùng để thiết lập các kết quả dạng Farkas liênquan bất đẳng thức (1) mà không đòi hỏi tính lồi cũng như tính nửa liên tụcdưới

• Các kết quả dạng Farkas được thiết lập dưới điều kiện yếu nhất

• Thiết lập được các kết quả Moreau-Rockafellar tổng quát liên quan hàmhợp Các kết quả này mở rộng các kết quả trước đây theo ba mặt: các hàm khôngcần lồi, giả thiết yếu hơn, và các điều kiện là cần và đủ

• Nhiều định lý thay thế, các đặc trưng của tập bao hàm của một tập lồitrong tập DC hoặc tập lồi ngược, và các kết quả đối ngẫu Fenchel-Rockafellarđược suy ra

Các dạng mới của Bổ đề Farkas và Định lý Hahn-Banach dưới điềukiện dạng Slater (Chương 3)

• Thiết lập được các dạng mới của Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo nón K (K-lồi)

và hệ lồi theo hàm dưới tuyến tính (S-lồi) dưới điều kiện dạng Slater không cótính nửa liên tục dưới và tính đóng

• Mở rộng Định lý Hahn-Banach-Lagrange và dạng mở rộng này tương đươngvới các dạng mới của Bổ đề Farkas vừa đề cập ở trên

• Các kết quả này mở rộng các định lý cơ bản khác như Định lý sandwich,Định lý Mazur-Orlicz, và Định lý Hahn-Banach cho hàm dưới tuyến tính mởrộng.

• Các kết quả trên cũng được áp dụng để nhận các kết quả về đối ngẫu vàđiều kiện tối ưu cho lớp bài toán tối ưu liên quan ánh xạ S-lồi

• Như các ví dụ minh họa, chúng tôi xét bài toán penalty, công thức đối ngẫucủa supremum một họ các hàm lồi (vô hạn, không nửa liên tục dưới), và bài toánliên quan đến định lý đối ngẫu Fenchel tổng quát và định lý tách tập lồi

Từ Bổ đề Farkas đến Định lý Hahn-Banach (Chương 4)

Các kết quả trong chương này là mở rộng và phát triển các kết quả trongChương 3 Các kết quả này được thiết lập với điều kiện yếu nhất (điều kiện cần

• Các dạng xấp xỉ của định lý Hahn-Banach-Lagrange được suy ra

• Các dạng mới của bổ đề Farkas theo dãy và định lý Hahn-Banach-Lagrangexấp xỉ tương đương nhau Chúng có thể suy ra được các dạng xấp xỉ của định

lý Hahn-Banach, định lý sandwich cho hàm dưới tuyến tính mở rộng

• Các kết quả này được áp dụng vào lớp bài toán tối ưu liên quan ánh xạS-lồi Chúng tôi giới thiệu một công thức đối ngẫu xấp xỉ của supremum của

họ (vô hạn) các hàm lồi

Nội dung chính của luận án được trích từ các bài báo được đăng trên tạpchí chuyên ngành quốc tế Trong bản tóm tắt này, tên của các chương, mục,mệnh đề, định lí, v.v được giữ nguyên như trong luận án Vì giới hạn số trangcủa bản tóm tắt nên chúng tôi chỉ trình bày những kết quả chính

Chương 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊChúng tôi giới thiệu một số định nghĩa và kiến thức cơ bản sẽ được sử dụngtrong luận án này Vì sự giới hạn về số trang của bản tóm tắt nên chúng tôi chỉtrình bày ngắn gọn Người đọc có thể tra cứu trong các quyển sách về giải tíchlồi của Zalinescu, R I Bot, D T Luc, H.H Bauschke và P.L Combettes Cho X và Y là các không gian tôpô lồi địa phương X∗ và Y∗ là không gianđối ngẫu (tương ứng), được trang bị tôpô yếu∗ Hàm chỉ trên tập A ⊂ X (hoặc

A ⊂ Y ), iA, được định bởi: iA(x) := 0 nếu x ∈ A và iA(x) := +∞ nếu x /∈ A.Hàm đối ngẫu của f : X → R ∪ {+∞} là hàm f∗: X∗ → R ∪ {±∞} được địnhbởi

f∗(x∗) = sup

x∈X

{hx∗, xi − f (x)} , ∀x∗∈ X∗.Tập trên đồ thị của f là

Định nghĩa 1.0.1 Ánh xạ h : X → Y• được gọi là K-lồi nếu

x1, x2 ∈ X, µ ∈ [0, 1] ⇒ h((1 − µ)x1+ µx2) ≤K (1 − µ)h(x1) + µh(x2),trong đó ≤K là quan hệ mở rộng trên Y• bởi quy ước y ≤K ∞K với mọi y ∈ Y•

Rõ ràng h là K-lồi nếu và chỉ nếu epiKh là tập lồi

Định nghĩa 1.0.2 Ánh xạ h : X → Y• được gọi là K-epi closed nếu epiKh làtập đóng trong không gian tích

Định nghĩa 1.0.3 S : Y → R ∪ {+∞} là hàm dưới tuyến tính (mở rộng) nếu

y1, y2 ∈ Y ⇒ S(y1+ y2) ≤ S(y1) + S(y2), (a)và

Chúng tôi giả sử S(0Y) = 0 (quy ước này phù hợp với S là nửa liên tục dưới).Hàm S như thế có thể mở rộng trên Y• bởi quy ước S(∞K) = +∞ Một hàmdưới tuyến tính mở rộng S : Y → R ∪ {+∞} cho phép ta giới thiệu một quan

hệ hai ngôi trong Y•:

Ta nói rằng (ai)i∈I hội tụ đến a ∈ R, kí hiệu lim

i∈I ai = a hoặc ai −→ a, nếu vớibất kì  > 0, tồn tại i0 ∈ I sao cho |ai− a| <  với mọi i > i0

Bây giờ lấy (u∗i)i∈I là lưới trong không gian tôpô X∗ Ta nói rằng (u∗i)i∈I hội

tụ về u∗∈ X∗ theo tôpô w∗ nếu

lim

i∈Ihu∗i, xi = hu∗, xi for all x ∈ X, và viết u∗i −→∗ u∗

Chương 2KẾT QUẢ DẠNG FARKAS CHO HỆ LIÊN QUAN HÀM HỢPTrong chương này, chúng tôi đưa ra những điều kiện liên quan đến bất đẳngthức

f (x) + g(x) + (k ◦ H)(x) ≥ h(x) ∀x ∈ X (1)Khi đó những điều kiện này chính là điều kiện cần và đủ cho những kết quảdạng Farkas liên quan đến (1) không có giả thiết lồi và nửa liên tục dưới Nhữngkết quả này mở rộng và bao gồm nhiều kết quả dạng Farkas trước đây Hơn nữachúng được áp dụng vào giải tích lồi và tối ưu: định lý dạng thay thế, các đặctrưng của tập bao hàm và công thức đối ngẫu Fenchel-Rockafellar

2.1 Các điều kiện chính quy đối ngẫu và mối liên hệ của chúng

Trong phần này chúng tôi giới thiệu mối liên hệ giữa các điều kiện đối ngẫuthuần túy đại số

2.1.1 Các điều kiện chính quy đối ngẫu thuần túy đại số

Cho X, Y là các không gian vectơ tôpô lồi Hausdorff (k.g.v.t.l.H) với X∗, Y∗

là các không gian đối ngẫu tương ứng, f, g, h : X → R ∪ {+∞} là các hàm chânchính, H : dom H ⊂ X → Y là ánh xạ, và k : Y → R ∪ {+∞} là hàm chânchính Chú ý các hàm không nhất thiết lồi và cũng không nửa liên tục dưới.Bây giờ chúng tôi giới thiệu các điều kiện sau:

(CA) epi f∗+ epi g∗+ [

Sau đây là mối liên hệ giữa các điều kiện trên.

Định lý 2.1.1 Các phép kéo theo sau đây xảy ra:

Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z S

Z Z Z Z Z

` S a

Với (A) =⇒ (B) nghĩa là (A) suy ra (B)

2.1.2 Các điều kiện chính quy đối ngẫu với tính lồi

Bây giờ giả sử f, g ∈ Γ(X), k ∈ Γ(Y ), λH ∈ Γ(X) với mọi λ ∈ dom k∗, vàdom(f + g + k ◦ H) 6= ∅ Khi đó ta được

Mệnh đề 2.1.1 Các mệnh đề sau tương đương:

(i) epi (f + g + k ◦ H)∗= C nếu và chỉ nếu C là đóng yếu∗,

(ii) epi (f + g + k ◦ H)∗= D nếu và chỉ nếu D là đóng yếu∗,

(iii) epi (f + g + k ◦ H)∗= E nếu và chỉ nếu E là đóng yếu∗,

(iv) epi (f + g + k ◦ H)∗= F nếu và chỉ nếu F là đóng yếu∗

2.2 Các đặc trưng của điều kiện chính quy đối ngẫu– Kết quảMoreau-Rockafellar tổng quát

Sau đây chúng tôi thiết lập đặc trưng cho các điều kiện (CA)–(CF) Các đặctrưng này chính là các kết quả Moreau-Rockafellar tổng quát Các kết quả này

mở rộng và bao gồm các kết quả đối ngẫu Fenchel, định lý Moreau-Rockafellar.2.2.1 Điều kiện chính quy đối ngẫu đặc trưng kết quả Moreau-Rockafellartổng quát

Giả sử rằng f, g, k, λH (λ ∈ Y∗) là các hàm chân chính không nhất thiết lồi

và nửa liên tục dưới và dom(f + g + k ◦ H) 6= ∅

Định lý 2.2.1 Các mệnh đề sau đây tương đương:

(a) (CA) xảy ra,

S M Grad and G Wanka (2008) với giả thiết f lồi nửa liên tục dưới, k là lồinửa liên tục dưới và K-tăng Các kết quả ở đây chúng tôi không sử dung các giảthiết vừa nêu

Kí hiệu A∗ là toán tử đối ngẫu của A và (A∗× IdR)(epi k∗) là tập ảnh củaepi k∗ qua hàm A∗× IdR : Y∗× R −→ X∗× R, được định bởi (A∗× IdR)(y∗, r) =(A∗y∗, r)

Hệ quả 2.2.2 Giả sử A ∈ L(X, Y ) Giả sử rằng

epi (f + k ◦ A)∗ = epi f∗+ (A∗× IdR)(epi k∗) (2)Khi đó

(a) Với mọi x∗ ∈ dom(f + k ◦ A)∗,

(f + k ◦ A)∗(x∗) = min

λ∈domk ∗[k∗(λ) + f∗(x∗− A∗λ)],

(b) Nếu thêm, f ∈ Γ(X) và k ∈ Γ(Y ) thì với mỗi ¯x ∈ dom f ∩ A−1(dom k),

∂(f + k ◦ A)(¯x) = ∂f (¯x) + A∗∂k(A¯x)

2.3 Các kết quả dạng Farkas không lồi

Sau đây là các kết quả chính trong chương này – các kết quả dạng Farkas

mở rộng cho hàm hợp không có lồi và không có giả thiết tôpô Hơn nữa nó đượcthiết lập với điều kiện yếu nhất – điều kiện cần và đủ

2.3.1 Các kết quả dạng Farkas không lồi

Giả sử rằng f, g, k, và λH (λ ∈ Y∗) là các hàm chân chính không nhất thiếtlồi và nửa liên tục Giả sử thêm f + g + k ◦ H là hàm chân chính Đầu tiên chúngtôi giới thiệu điều kiện đủ cho các kết quả dạng Farkas (hay các đặc trưng củabất đẳng thức (1))

Định lý 2.3.1 Giả sử (CA) xảy ra và h ∈ Γ(X) Khi đó các mệnh đề sau tươngđương:

Chú ý 2.3.1 Chú ý một trong số các cặp tương đương giữa (I) với một trong

số (II)–(VII), là một đặc trưng của (1) hay là một kết quả dạng Farkas Do đó

Định lý 2.3.1 bao gồm 6 dạng kết quả Farkas cho hệ bất đẳng thức (1) Mặc dù

định lý này chỉ cho điều kiện đủ nhưng nó mở rộng và bao gồm các kết quả dạng

Farkas trước đây

Bây giờ chúng tôi giới thiệu điều kiện cần và đủ cho các kết quả dạng Farkas

Định lý 2.3.2 Các khẳng định sau đúng:

(i) (CA) xảy ra ⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (II)],

(ii) (CB) xảy ra ⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (III)],

(iii) (CC) xảy ra ⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (VI)],

(iv) (CD) xảy ra ⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (V)],

(v) (CE) xảy ra ⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (IV)],

(vi) (CF) xảy ra ⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (VII)]

Chú ý 2.3.2 Các đặc trưng của các kết quả dạng Farkas trong Định lý 2.3.2

rất tổng quát Nó có thể suy ra các kết quả mới, mở rộng và chứa nhiều kết quả

dạng Farkas liên quan hàm lồi và hàm DC Hơn nữa các kết quả (i) và (ii) đã

được giới thiệu trong bài báo của N Dinh, G Vallet và M Volle (JOGO, 2014)

2.3.2 Các trường hợp đặc biệt

Sau đây là một vài trường hợp đặc biệt Chúng tôi nhận được các kết quả

mới, mở rộng cho trường hợp lồi và không lồi

Đặc trưng của các kết quả dạng Farkas trong trường hợp lồi

Bây giờ giả sử C là tập con lồi đóng khác rỗng của X, K là nón lồi đóngtrong Y , f ∈ Γ(X) và H là K-convex Giả sử thêm λH ∈ Γ(X) với mọi λ ∈ K+

và C ∩ H−1(−K) 6= ∅ Kết quả sau đây là hệ quả của Định lý 2.3.2

Hệ quả 2.3.2 Mệnh đề (a) và (b) tương đương:

Cho f, g : X → R ∪ {+∞}, k : Y → R ∪ {+∞} là các hàm chân chính và

H : dom H ⊂ X → Y sao cho f + g + k ◦ H là chân chính Khi đó, epi (f + g +

k ◦ H)∗ = C nếu và chỉ nếu với mọi h ∈ Γ(X), một và chỉ một trong hai mệnh

Hệ quả 2.4.2 Cho C là tập con lồi đóng của X, K là nón lồi đóng trong Y , cho

f ∈ Γ(X) Giả sử λH ∈ Γ(X) với mọi λ ∈ K+ và C ∩ H−1(−K) 6= ∅ Khi đóS

λ∈K +epi (f + iC+ λH)∗ là đóng yếu∗ nếu và chỉ nếu với mọi h ∈ Γ(X), một

và chỉ một trong hai mệnh đề sau đây là đúng:

(i) H(x) ∈ −K, x ∈ C and f (x) < h(x),

(ii) ∀x∗∈ dom h∗, ∃λ ∈ K+ sao cho

f (x) + λH(x) ≥ hx∗, xi − h∗(x∗) ∀x ∈ C

2.4.2 Tập bao hàm

Định lý 2.3.2 cũng có thể suy ra các đặc trưng cho các kết quả tập bao hàmtrong những trường hợp tổng quát Như những ví dụ minh họa, chúng tôi chỉxét một vài kết quả trong tập lồi ngược và tập DC

Giả sử C ⊂ X là tập lồi đóng, f ∈ Γ(X), và H : dom H → Y là ánh xạK-lồi, trong đó K ⊂ Y là nón lồi đóng Cho g = iC (do đó, g ∈ Γ(X)) Lấy[H ≤K 0], [f ≥ h] ký hiệu cho {x ∈ X | H(x) ∈ −K} và {x ∈ X | f (x) ≥ h(x)},tương ứng Khi đó với mọi h ∈ Γ(X), bất đẳng thức

f + iC+ i−K◦ H ≥ hchính là

C ∩ [H ≤K 0] ⊂ [f ≥ h],biểu thức này chính là tập bao hàm của tập lồi trong tập DC Trong trường hợp

h ≡ 0, nó trở thành tập bao hàm của tập lồi nghịch đảo

2.4.3 Công thức đối ngẫu Fenchel-Rockafellar

Bây giờ xét trường hợp f và k là các hàm chân chính, g ≡ 0, h ≡ 0, và

H = A ∈ L(X, Y ), với L(X, Y ) kí hiệu tập tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục

từ X tới Y Giả sử dom (f + k ◦ A) 6= ∅ A∗ là toán tử liên hợp của A

(FR) inf

x∈X{f (x) + k(A(x))}

Như hệ quả của Định lý 2.3.2, chúng tôi nhận được đối ngẫu mạnh của bài toán(FR)

Mệnh đề 2.4.1[Đối ngẫu Fenchel-Rockafellar] Giả sử inf(F R) ∈ R Nếuđiều kiện sau đây xảy ra:

epi (f + k ◦ A)∗= epi f∗+ (A∗× IdR)(epi k∗)thì

Chương 3NHỮNG DẠNG MỚI CỦA BỔ ĐỀ FARKAS VÀ ĐỊNH LÝHAHN-BANACH DƯỚI ĐIỀU KIỆN DẠNG SLATER

Trong chương này chúng tôi giới thiệu các dạng mới của Bổ đề Farkas cho hệlồi theo nón và hệ lồi theo hàm dưới tuyến tính mở rộng với điều kiện Slater không

có tính nửa liên tục dưới của hàm liên quan và tính đóng của tập ràng buộc Từ

đó suy ra các dạng mở rộng của định lý Hahn-Banach cho hàm dưới tuyến tính

mở rộng (trường hợp này định lý Hahn-Banach không đúng xem quyển sách củaS.Simons (2007)), định lý Hahn-Banach-Lagrange, định lý sandwich và định lýMazur-Orlicz Hơn nữa kết quả trên có thể áp dụng vào lớp bài toán tối ưu chohàm hợp liên quan đến S-lồi Khi đó chúng tôi nhận được các kết quả như: côngthức đối ngẫu của supremum họ các hàm lồi (có thể vô hạn, không nửa liên tụcdưới), định lý đối ngẫu Fenchel tổng quát, định lý tách hai tập lồi, và các kếtquả về đối ngẫu và điều kiện tối ưu cho bài toán penalty

3.1 Những dạng mới của Bổ đề Farkas dưới điều kiện dạng Slater

3.1.1 Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo nón

Bây giờ chúng tôi giới thiệu Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo nón với điều kiệnSlater Kết quả này mới theo nghĩa không có tính nửa liên tục dưới của các hàm

và tính đóng của tập ràng buộc Nó mở rộng kết quả trong quyển sách của R.Holmes (1975)

Định lý 3.1.1 [Bổ đề Farkas cho hệ K-lồi] Cho X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tậpcon lồi khác rỗng của X, K là nón lồi đóng trong Y , f : X → R ∪ {+∞} là hàm