Một vài mở rộng của định lý Jacobson 4

Luận văn thạc sĩ chuyên ngành đại số và lí thuyết số- Chuyên đề :Một vài mở rộng của định lý Jacobson

Lu$n van Tht;lcSI Toan: MQlvai me rQn8 cua dinh Iy Jacobson Trang 20

(v€ di€u ki~n giao hoan)

& MOT V AI MO RaNG

Trong ph~n nay cua b~li Iu~n van chung ta se v~n dlJng chuang trlnh t§n cong vao illQt vanh t6ng quat qua cac budc da: trlnh bay trong illlJC cu6i cling cua ph~n ireD D~c bic$t Ia d6i vdi di€u kic$n giao hmin cua illQt vanh VItinh ch§t nay duQc baa loan qua phep I§y t6ng tn!c tie-p con ClJ th€ Ia ta kh£ng dinh tinh giao hmin cua illQt vanh dlja vao illQt so' di€u kic$n cho trudc

Nhung trudc h€t Ia k€t qua cua Jacobson

§1 DJNH LY JACOBSON Trudc khi chung illinh dinh 19 Jacobson ta c~n illQt so' b6 d€:

86 d~ (2.1.1): Cho D la m(Jtvanh chia co d(ic s6 p * 0 va Z la tam cua D. Gia sit' m(Jt phdn tit' a E D, a ~ Z saD cho apn= a wJi m(Jt n ~ 1 nao do. Khi do t6n t~i phdn tit'XED dt cho xax.l =ai *a wJi m(Jt sl]' nguyen i nao do.

Til b6 d€ ta co th€ chung illinh illQt dinh 19 r§t n6i tie-fig cua Wedderburn:

Menh d~ (2.1.2): (Dinh 19 Wedderburn) MQi vanh chia hilu h~n d~u la

truiJng.

He qua (2.1.3): Cho D la m(Jt vanh chia co d(ic s6'p * 0 va G c D la m(Jt

nhom con nhan hilu h~n cua D thEG la m(Jt nhom Abel (nen la cyclic).

GV hu'dn8 diln: PG6'> - T6'>I)lii Tu'dn8 Tri IIV Thu'c hien: Phan Tru'dn8 Linh

Lu~nvan Th(;lcsI Tolin: MQlvai IDdrQn8 cua djnh It Jacobson Trang 16

86 d~ (2.1.4): Cho D la mQt vanh chia saD cho vdi mQi aE D a~u t6n tCJi

mQt s6 nguyen n(a) > 1 al cho an(a)= a Khi a6 D la mQt trudng.

CHUNG MINH:

Ta co 2 E D va 2m = 2 vdi m > 1 Den D co di;lc s6 nguyen t6 p *-o Ne"u D kh6ng giao hmln thl t6n t(;limQt a E D va a ~ Z vdi Z la Him

cuaD.

GQi P la truong nguyen t6 cua Z VI an(a)=a Den a d(;li s6 tIeD P.

Tn do P(a) la mQt truong huu h(;lnco pk phftn ill'va ta co apk = a.

V~y mQi di~u ki~n cua b6 d~ (2.1.1) d~u duQc thoa man d6i vdi a Den t6n t(;limQt phftn ill' bED d6 cho bab-l =ai *-a.

Quan h~ nay cung vdi slf ki~n a va b d~u co ca'p huu h(;lndftn d€n a

va b sinh ra mQt nhom con nhan huu h(;lnG trong D V~y theo h~ qua

(2.1.3) thl G giao hmln.

chung minh .

Bay gio ta co th6 chung minh:

Menh d~ (2.1.5): (Dinh ly Jacobson) Cho R la mQt vanh saD cho vdi mtJi

phdn tit a E R a~u tan tCJimQt so' nguyen n(a) > 1, phl;t thuQc a, al cho

an(a)= a thi R giao hoan.

CHUNG MINH:

Trudc he"t ta chung minh R la nll'a ddn.

Thlfc v~y, gia sll' a E J(R) thl do an(a)= a, n > 1 ta suy ra a = O.

VI khi do a.an(a)-l = a vdi an(a)-l E J(R) va ta bie"t ding ne"u ux =u, wJi x E J(R) thl phai co u =O.

[CM: x E J(R) ~ -x E J(R) Den 3x' E R: -x + x' - xx' = 0

~ =u -x + x - xx =-ux + ux - uxx = -u + ux - ux =-u ~ u =

V~y J(R) = (0).

Bay gio, do R la nll'a ddn Den theo m~nh d~ (1.5.3) thl R la mQt t6ng trlfc tie"pcon cua cac vanh nguyen thuy Ra Ma m6i Ra la mQt anh d6ng ca'u cua R Den ke"thna di~u ki~n an(a)= a Hdn nua, m6i vanh con

va anh d6ng ca'u cua Ra cling thoa di~u ki~n do.

ev hllc'5n8 d&n:pes -TS BliiTlldn8Tri IIV ThllC bien: Phan Trlldn8 Linh

1u~nvan Tht7csI Toan:MQLvai md rQn8cua dinh 15'Jacobson Trang 17

LamQt vanh nguyen thuy nen theo m<$nh dS (1.4.3) ho~c Ra >::J Dn

ho~c mQi Dm, voi D la mQt vanh chia, dSu la anh d6ng ca'u cua mQt vanh con cua Ra.

V~y ne'u Ra kh6ng la mQt vanh chia D thl t6n t~i mQt Dk voi k > 1

ke'thlia diSu ki<$ncua gia thie't DiSu nay hi€n nhien sai VIph~n tti':

0 1 0 6

0 0 0 0,

D

=e12 E k

a=

0 0 0 Q

thoa diSu ki<$n a2 = 0 nen an= 0"*avoi mQi n > l1a diSu mall thuftn.

V~y Ra phai la mQt vanh chia nen phai giao hoan theo b6 dS

(2.1.4).

Tli do, VI R la mQt t6ng tn!c tie'p con cua cac vanh giao hoan Ra

nen ding giao hoan .

§2. MQT VAl MO RQNG CUA DJNH LY JACOBSON

Dinh ly Jacobson tuy cho du'QcmQt diSu ki<$ncua tlnh giao hoan, nhu'ng cling con mQt nhu'Qc di€m: Co qua it vanh giao hoan thoa gia thie't cua no Do la ly do ma ta phai Om cach ma fQng dinh ly nay.

Sail day, chung ta se xet Wi mQt s5 ma fQng nhu' v~y Nhu'ng tfu'OC he't ta c~n:

Dinh nghia: Trong m(}t vanh R tily y, ta gQi:

1) M(}t giao hoan tit (c{{p 2) cua hai pht1n tit x, y fa: [x,yJ =xy - yx.

2) M(}t giao hoan tit cap n (n > 2) cua n pht1n tit dU:(jcdjnh nghza

bang qui ngp:

[Xj,X2, ,XnJ = [[Xj,X2, ,Xn-lJ,XnJ

GV hu'dn8di\.n:PGS-TS ])lii Tu'C5n8 Tri liV Thu'chien: Phan Tru'C5n81inh

Lu~nvanTh~csT Toiw: MQlviii mCi rQn8clla dinh 15'Jacobson Trang 18

Nhan xet:

1) Vdi mQi x, Y E R thl ta co:

x glaD hoan veii y <=> [x,y] = 0

2) Vdi mQi n ~ 2 thl giao hmln tli' ca'p n cua n ph~n tli' co tinh cQng tinh theo tung bien Tuc la ta co: Vdi mQi i, (1 ~ i ~ n)

[Xj, ,Xi-j,Xi + Xj,Xi+j, ,Xn] =

[x j, ,Xi-j,Xi>Xi+j, ,Xn] + [x j, ,Xi-j,.x:;,Xi+j",.,Xn]

3) Neu A giao hmln vdi mQi Xk, (1 ~ k ~ n) thl:

[Xj, ,Xi-j,Axi,Xi+j",.,Xn] = A[Xj, ,Xi> ,xn]

Tu khai ni~m tren ta co:

Menh d~ (2.2.1): (Dinh ly Jacobson-Herstein) Cho R LamQt vanh saD cho

vdi mQi x, y E R dJu t6n t(Ii mQt s6 nguyen n(x,y) = n > 1 (phl;lthuQc x

va y) d! cho [x,yt(X,y)= [x,y] thi R glaD hoan.

Trudc het, ta chung minh dinh ly nay cho truong hqp d~c bi~t:

86 d~ (2.2.2): Nlu D LamQt vanh chia thoa gid thilt cua m~nh dJ (2.2.1)

thi D glaD hoan.

CHUNG MINH:

Gia sli'D la mQt vanh chia thoa gia thie't ma D khong giao hmln thl t6n t(;lia, bED sao cho c =[a,b]"* O.

Theo gia thiet thl cm= c vdi mQtm > 1 nao do.

Neu A "*0 thuQc tam Z cua D thl ta co AC=A[a,b] =[Aa,b] V~y

theo gia thie't ding co mQt s6 tv nhien n > 1 d€ cho (Act =AC

Tu do, ne'u d~t q = (m -1)(n -1) + 1 thl ta co (Acf =ACva cq= c.

Do D la mQt vanh chia va c"* 0 Den ta suy ra Aq= A.

eV hudn8 d&n:pes - TS l)lii Tuc'5n8Tri IiVThuchien: Phan Truc'5n8 Linh

Lu$nvan Thc;tcSI Toan:MQl vai md rQn8cua dinh 15'Jacobson Trang 19

V~y, voi mQi 'A E Z d€u t6n tC;liq > 1 d6 cho 'Aq= 'A,Den Z la mQt tru'ong co d~c s6 p =j:. O GQi P la tru'ong nguyen t6 cua z.

Ta khAng dinh rAng co th6 chQn a, bED sao cho chAng nhung

e = [a,b] =j: 0 ma con co e ~ Z VIneu khong thl mQi giao hoan tu (dfp

hai) trong D d€u thuQc z.

Tli do thl e E Zva ae =arab -ba) =arab) - (ab)a =[a,ab] E Znen

ta suy ra a E Zmau thu§n voi di€u kit%ne =[a,b] =j:.O.

V~y ta co th6 gia su e =[a,b] ~ Z.

Theo gia thie't thl em = e Den e dC;lis6 tren P V~y Cpk= c voi mQt s6 nguyen k > 0 nao do.

Toi day thl mQi gia thief cua b6 d€ (2.1.1) d€u du'Qctho a man voi e

Den t6n tai ph~n tu xED d6 cho xex-l =ei =j: e, tilc la xc =eix.

Noi rieng thl d =ex - xc =[e,x] =j:. 0 va theo gia thie't thl t6n tC;lis6

nguyen t > 1 d6 d = d hay d co ca"phuu hC;lntrong nhom nhan D* cua D Nhu'ng ta lC;lico: de = (xc - ex)e = eixe - e(eix) = ei(xe - ex) = eid hay

deal = ei =j: e (va noi rieng thl de =j: cd).

Voi di€u kit%nnay va e, d d€u co ca"phuu hC;lntrong nhom nhan D*

ta suy ra nhom con nhan sinh bdi e va d trong D la huu hC;lnDen giao hoan theo ht%qua (2.1.3) Di€u nay mall thu§n voi di€u kit%nde =j:. cd.

V~y b6 d€ da du'Qc chung minh .

Voi b6 d€ nay ta co th6 chung minh mt%nhd€ (2.2.1):

CHUNGMINH M~NH DE (2.2.1):

Gia su RIa mQt vanh thoa tinh cha"t:

'\Ix, Y E R, ::In=n(x,y): [x,yT(X,y)= [x,y]

Ta chung minh R la mQt vanh giao hoan.

Ta xet cac tru'ong hQp sail:

a) Neu R la mQt vanh ehia thl R giao hoan theo b6 d€ (2.2.2).

b) Neu R Ia mQt vanh nguyen thuy thl theo mt%nhd€ (1.4.3), ho~c R

la mQt vanh chia D, ho~c co mQt k > 1 d6 Dk la anh d6ng ca"ucua mQt vanh con nao do cua R.

GVhu'cn8d~n:DG8 - T8 Bui Tu'dn8 Tri tIVTht{cbien: DhanTru'dn8 Linh

Lu~nvan Tht;lcsI Toan: MQtVat md rQn8 cua dinh 15'Jacobson Trang 20

Ne'u khanang thli hai xay ra thl d~ tha'y Dk cling ke'thlia tinh cha't

lieU trong gia thie't cho R VI tinh cha't nay baa toan qua phep la'y vanh

con va anh d6ng ca'u

Nhu'ng khi do, ne'u trong Dk ta xet cac phftn tli':

=ell va Y=

thl ta co: [x,y] =xy - yx =e]2 =y va l =0 lien [x,yl = l =0 *- [x,y]. V~y ta suy ra [x,yt *-[x,y] vdi mQi n > 1 Mau thuftn vdi di€u ki<$nDk

thoa gia thie't.

V~y R phai la mQt vanh chia lien R giao hoan.

c) Ne'u Ria mQt vimh nrla ddn thl theo m<$nhd€ (1.5.3), R d~ng ca'u vdi mQt tang tn!c tie'p con cua cac vanh nguyen thuy Ra Ma m6i vanh nguyen thuy Ra, la anh d6ng ca'u cua R lien ke'thlia di€u ki<$ncua gia

thie't, v~y no phai giao hoan theo b) Tli do R cling giao hoan VI tinh

giao hoan du'Qc baa toan qua mQt d6ng ca'u va phep la'y vanh con

thoa gia thie't lien giao hoan theo c) Tli do, vdi mQix, y E R thl xy - yx E

feR).

Trong tru'ong hQp nay thl do xy - yx =[x,y] E feR) va [x,yt =[x,y]

vdi n > 1, lien ta suy ra [x,y] = 0 [do tinh cha't (ux = u, xEf(R) => u = 0].

V~y, vdi mQi x, y E R thl ta d€u co [x,y] =0 lien R giao hoan. .

Bay gio ta xet mQt ma rQng cua dinh 19 nay cho tru'ong hQp giao

hoan tli'cua n phftn tli' (n > 1) trong R.

Menh d~ (2.2.3): Nfu R la m(}tvanh kh6ng chria nil ideal khdc (0) (ho(ic R

nrla dan) sao cho:

(1) Co m(}t s6 nguyen n > 1 nao do ma WJimQi Xj,"',Xn E R thi tan

tc;zim(}t m > 1 (ph{l thu(}c xj, ,xn) di cho [xj, ,xn]m = [xj, ,xn].

Khi do R la m(}t vanh giao hodn.

GV hu'dn8 d&n:PG8 - T8 Bui Tu'dn8 Tri liV Thu'chien: Phan Tru'dn8 Linh

Lu~nvan Th~cSf Toan: MQtvalillC'5 rQn8cuadjnhIf Jacobson Trang 26

DS chung minh m~nh d~ nay ta cffn:

B6 d~ (2.2.4): Ne'u R ia m()t vimh chia thoa ddu ki~n (1) thz ta co:

(2) [xj, ,xnl =0 wJi mQi Xj, 'Xn E R

(Trang trlliJng hC;pnay ta noi: [xj, ,xnlia m()t d6ng nhdt thac tren R)

CHUNG MINH:

Gia sii' t6n t(;li Xj,".,Xn E R sao cho a = [xj, ,xnl *- O Khi d6, theo gia thie't, t6n t(;limQt m > 1 dS am = a.

GQi Z la Him cua R thl VA E Z ta c6 A.a= A.[xi, ,xnl= [Axi, ,xnl

cling la mQt giao hmin tii' ca"pn trong R nen 3k > 1 dS cho (A.al =A.a.

V~y ne'u di;it q =(m -l)(k -1) + 1 thl ta suy ra aq= a va (A.a)q =A.a.

Tli d6 ta du'Qc A.a=(A.a)q =A.qaq=A.qa. V~y (A.q - A.)a =O Ma RIa mQt

vanh chia va a*-O nen ta du'Qc A.q-A.=0, VA.E Z.

V~y, voi 2 E Z thl 3q > 1 dS cho 2q =2 nen tru'ong Z (hoi;ic vanh

chia R) c6 di;ic s6 p *-O GQi P la tru'ong nguyen t6 cua z.

Ngoai ta, ta con c6 thS chQn Xj,.",Xn E R sao cho a = [xj, ,xnl ~ Z VIne'u kh6ng thl mQi giao hmin tii' ca"pn trong R d~u thuQc Z Khi d6 ta xet a = [xj, ,xnl*-0 va ne'u di;it b =[xj",.,xn-il thl ta c6 [b, bxnl = b(bxn)

- (bxn)b = b(bxn - xnb) = b[b, xnl voi [b, bxnl = [xj, ,xn-i,bxnl va [b, xnl

=a d~u la giao hoan tii' ca"pn trong R nen thuQc Z V~y [b, bxnl = ba E

Z voi a E Z va a*-O nen ta du'Qcb E Z (vI R la mQt vanh chia) Tli d6 ta

suy ra a =[b, xnl = 0, mall thu§:n voi gia thie't a*- O.

V~y ta c6 thS gia sii' 3xj, ,xn E R sao cho a = [xj, ,xnl~ z Mata

l(;li c6 am = a, m > 1 nen a d(;lis6 tren P Do d6 praY la mQt ma rQng d(;li

s6, nen cling la mQt ma rQng hii'll h(;ln, cua P Tli d6 P( a) c6 ca"ppt voi mQt t ~ 1 nao d6 N6i cach khac, t6n t(;li t ~ 1 dS cho apt = a Tli d6, a

thoa cac di~u ki~n cua b6 d~ (2.1.1) nen t6n t(;lix E R dS cho xax-i =ai

*-a h*-ay tu'dngdu'dngx*-a = aix *-ax N6i rieng thl c = [a, xl = ax - xa *-O.

Nhu'ng voi di~u ki~n nay ta l(;lic6 ca =(ax - xa)a =a(xa) - (xa)a =

a( aix) - (aix)a = airax - xa) = aic nen ta suy ra cac-i =ai *-a, n6i rieng thl

ca *-ac.

ev hudn8 d&n:pes - TS BidTudn8Tri IIVThuchien:PhanTrudn8Linh

Lu~n van Thl.1csT Toan: MQLVal ffid rQn8 cua djnh It Jacobson Trang 27

M~t khac, ta con c6 a = [Xj"",xnlva c = [a, xl = [xj, ,xmxl=

[[xj,x2l,x], ,xmxl d~u la giao hoan tuca"p n trong R nen c6 ca"p hUll h(;tn

trong nh6m nhan R* cua R.

Vdi cac di~u ki~n tren thl nh6m con sinh bdi a va c trong R* cling

c6 ca"phUll h(;tnnen theo h~ qua (2.1.3) la nh6m Abel, mall thuiin vdi

tinh cha"tca=I:-ac. B6 d~ da:du'Qcchung minh .

B6 d~ (2.2.5): Khdng dtnh cila b6 d~ (2.2.4) Gang dung doi WYimf)t vimh R tuy y.

CHUNG MINH:

Ta xet cac tru'ong hQp:

a) Ne'u R la mQt vanh chia thl b6 d~ (2.2.4) da: du'Qc chung minh.

b) Ne'u R la mQt vanh nguyen thily va thoa (1) Khi d6, ho~c R la mQt vanh chi a D, nen kh~ng dinh (2) dung cho R, ho~c ~k > 1 d6 Dk la anh d6ng ca"ucua mQt vanh con nao d6 cua R.

Ne'u kha nang thu hai xay ra thl do tinh cha"t (1) du'Qc baa toan qua

phep la"y vanh con va anh d6ng ca"unen (1) cling dung cho Dk'

Nhu'ng khi d6, ne'u trong Dk ta xet cac phftn tu:

0 0 0 6

1 0 0 0

Xl =

1 0 0

I

0 0 0

=e2l va X2= = Xn= I =ell

thl ta c6 [Xj, ,xnl= Xl =I:- 0 va [Xj"",xnf = 0 nen [xj, ,xnlm =I:- [xj, ,xnl,

vdi mQi m > 1, mall thuiin vdi di~u ki~n Dk thoa tinh cha"t (1).

V~y R phai la mQt vanh chia nen (2) cling dung cho R.

c) N€u R la mla don thl R d~ng ca"u vdi mQt t6ng tn!c tie'p con cua cac vanh nguyen thuy Ra Ma theo phftn chung minh tren thl kh~ng dinh (2) da: dung cho m6i Ra Hdn nua, tinh cha"t (2) baa toan qua phep la"y

t6ng tn!c tie'p (vI cac phep toan cQng va nhan thlfc hi~n tren tung thanh

phftn), phep la"yvanh con va anh d6ng ca"u Do d6 (2) cling dung cho R.

ev hudn8 d&n:Des - TS 511i Tuon8 Tri liV Thuc hien: DhEin Truon8 Linh

Lu~nvan Thl,icSI Toan: MQLval llld rQn8 cua djnh 15'Jacobson Trang 28

d) Neu R la vimh tily y thl R/i(R) la ml'a ddn lien kh~ng dinh dung cho R/i(R) V~y, vdi mQiXj,"',Xn E R ta co [xj, ,xnl E feR) Ma theo gia thiet thi [xj, ,xnlm = [xj, ,xnl, m > 1 Tli do ta suy ra [xj, ,xnl = O. [Theo tinh cha't: ux = u, X E feR) ~ u = 0].

V~y ta da: chung minh kh~ng dinh trong b6 d~ (2.2.4) cling dung

cho mOt vanh R tily y .

Tli cac b6 d~ nay ta co th~ chung minh m~nh d~ (2.2.3)

CHlJNGMINHM~NHDE (2.2.3):

Tru'dc het ta xet tru'ong hqp R khong chua nil ideal khac (0) Theo b6 d~ (2.2.5) thl ta da: co [xj"",xnl la mOt d6ng nha't thuc tren R.

Do R khong chua nil ideal khac (0) thl theo m~nh d~ (1.5.3), R la

mOt t6ng tn!c tiep con cua cac vanh nguyen to' Roc Do tinh giao hoan

baa loan qua phep la'y t6ng tn!c tiep va vanh con lien ta chi c~n chung

minh Rocgiao hoan, vdi mQi oc.

Noi cach khac, ta co th~ gia sii' R la mOt vanh nguyen to' va

[Xj, ,xnl la mOt d6ng nha't thuc tren R vdi n > 1 Neu n > 2 thl ta se

chung minh [xj"",xn-ll cling la mOt d6ng nha't thuc tren R.

Tht!c v~y, cho Xj"",Xn-lER tily y, do [xj, ,xnl = [[xj"",xn-ll,xnl = 0,

'\IxnE R lien ta co [xj"",xn-ll E Z = Z(R) V~y mQi giao hoan tii' ca'p n - 1

trong R d~u thuOc Z.

Bay giO gia sii' t6n t(;liXj,"',Xn-l E R sao cho a =[xj"",xn-ll =I:0 va

ne'u d~t b = [xj"",xn-21thl ta co c = [b, bxn-ll = b[b, xn-d = b[Xl"",Xn-l1 =

ba Nhu'ng VIa = [xj"",xn-ll =I: 0 va c = [b, bxn-ll = [Xj, ,Xn-2,bxn-lld~u la giao hoan tii' ca'p n - 1 trong R lien thuOc Z V~y ta co c =ba vdi a, c E Z, a=l: O.

Nhu'ng vdi d~ng thuc nay thl ta suy ra a(bXn-l) = (ab )Xn-l= (ba)Xn-l =

Cl = lC= xn-lba) = (xn-lb)a = a(xn-lb) hay tu'dng du'dng a(bl -

Xn-Ib) = a[b,xn-ll = O.

M~t khac, VI a =I:0 va R la mOt vanh nguyen to' lien khong co ph~n tii' nao thuOc tam cua R la u'dc tht!c st! cua O V~y tli d~ng thuc tren ta phai co [b,xn-ll= [xj, ,xn-d = 0, mall thuftn vdi di~u ki~n a =I:O

V~y ta da: chung minh du'qc r~ng neu [xj"",xnl la mOt d6ng nha't

thuc cho R thl [xj"",xn-ll cling la mOt d6ng nha't thuc cho R.

CV hu'dn8 dttn: PC&> - T&>l)lii Tu'dn8 Tri flVThu'chien: Phan Tru'dn8 Linh

Lu~nvan Thl;icsT Toan: MQLvt'iilid rQn8 elm dinh I)' Jacobson Trang 29

Tie"p Wc qua trlnh tren thl cuO'i cling ta du'Qc [x], X2] phai 1a IDQt

dang nha"t thuc cho R hay 1a [x], X2]=0, '\Ix], X2 E R nen R giao hoan.

Bay giO, ne"u RIa IDQtvanh mla ddn thl R khong chua nil ideal khac

(0) [vI IDQi nil ideal cua R d€u chua trong J(R) = (0)] nen theo ph~n

chung IDinh tren, R 1a vanh giao hoan. .

Tru'dc khi chuy€n sang xet IDQt sO' IDd rQng khac cua dinh 1y Jacobson ta c~n IDQtvai dinh nghla va IDQtsO'b6 d€ lien quail de"n cac IDd rQng tru'ong sail day:

Dinh nghia: Cho K la mQt md rQng dgj sf)'cila mQt tn(CJngF Phdn tit a E K

dU:(jcgqi la tach dU:(jctren F ntu da thac to'i titu cila no tren F khong co nghi~m bQi.

Nhan xet:

VI IDQtda thuc p(x) co nghi~IDbQi khi va chi khi p(x) va dp(x)/dx

co IDQtnhan tti' chung Do do, IDQtda thuc ba"tkha qui co nghi~IDbQi thl

phai co dp(x)/dx 1a da thuc O.

Tli do ta co:

1) Ne"u F co d~c sO'0 thl di€u nay suy ra p(x) 1a IDQtda thuc h~ng Trong tru'ong hQp nay ta co IDQiph~n tti' trong K d€u tach du'QCtren Z.

2) Ne"uF co d~c sO'p"* 0 thl dp(x)/dx =0 suy ra p(x) =g(:?) vdi g 1a

IDQtda thuc nao do Khi do, ne"u a E K thl tan t(;liIDQtsO'nguyen k sao

cho apk tach du'QCtren F Tuy nhien, trong tru'ong hQp nay hoan toan co

kha nang 1a cling co apk E F Khi do ta co:

Dinh nghia: Cho K la mQt md rQng dC;lisO'cila mQt trU:CJng F Gid sit mQt phdn tit a E K saD cho t6n tc;limQt so' nguyen k ~ 0 dt apk E F thi ta noi a

la hoan toan khong tach dU:(jctren F.

GV htfdn8 d&n:PG6 - T65ui Ttfdn8 Tri lIVThtfchien: Phan Trtfdn8 Linh