một số mở rộng của định lý giới hạn martingale của doob

Lý thuyết quá trình ngẫu nhiên là một tiêu biểu, trong đó các quá trình Martingale và Makrov được coi là xương sống bởi những ứng dụng to lớn của chúng trong nhiều lĩnh vực.. Nội dung kh

LỜI NÓI ĐẦU

Lí thuyết xác suất và thống kê toán học đã có tiền đề thực tiễn và toán học

từ nhiều thế kỷ nay Tuy nhiên, nó thực sự trở thành một chuyên ngành toán ứng dụng được nhiều người quan tâm từ khi có tiền đề Kolmogow

Từ những kết quả ban đầu sâu sắc ấy, nhiều lý thuyết mới đã ra đời Lý thuyết quá trình ngẫu nhiên là một tiêu biểu, trong đó các quá trình

Martingale và Makrov được coi là xương sống bởi những ứng dụng to lớn của chúng trong nhiều lĩnh vực Một trong những ông tổ của lý thuyết này là Doob

Vì vậy, em đã chọn: “Một số mở rộng của định lý giới hạn

martingale của Doob” làm đề tài

Nội dung khoá luận gồm có 3 chương:

Chương I: Giới thiệu sơ lược về các kiến thức liên quan: Sự hội tụ của các

biến ngẫu nhiên ( hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ theo xác suất, hội tụ trong Lp) về

kỳ vọng có điều kiện, các tính chất của kỳ vọng có điều kiện

Chương II: Trình bày về martingale và một số định lý hội tụ quan trọng

của martingale, đặc biệt là định lý Doob, định lý Neveu,…

Chương III: Đây là chương chính của khoá luận Chương này đề cập tới

martingle L1 - tiệm cận, martingale tới hạn, trò chơi ngẫu nhiên công bằng dần theo thời gian Giới thiệu một số mô hình trò chơi ngẫu nhiên tổng quát hơn martingale mà với chúng, định lý giới hạn martingale của Doob vẫn còn đúng

Đó là những kết quả nghiên cứu gần đây của Talagrand và PGS – TSKH Đinh Quang Lưu

Hoàn thành khoá luận này, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của mình

tới TS Nguyễn Hắc Hải, người đã tận tình hướng dẫn, đóng góp nhiều ý kiến

quý báu cho em Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng và tập thể sư phạm nhà trường đã dạy và giúp đỡ em trong suốt bốn năm qua

Trong suốt quá trình làm khoá luận, mặc dù được chỉ bảo chu đáo, ân cần song nó cũng có nhiều hạn chế, sai sót Vì vậy, em rất mong các thầy cô giáo cũng như các bạn đóng góp ý kiến, giúp đỡ và thông cảm cho em

Hà Nội, tháng 5 năm 2006

Sinh viên

Đỗ Thị Lan Hương

CHƯƠNG I

CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ

I.1 Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên

Giả sử X1, X2,… là dãy các biến ngẫu nhiên (b.n.n) cùng xác định trên không gian xác suất cố định ( , ,P) Để cho gọn, ta dùng ký hiệu (Xn) để chỉ dãy b.n.n

I.1.1 Định nghĩa (Hội tụ theo xác suất)

Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X nếu với   bất kỳ, ta có: 0

Sự hội tụ theo xác suất được ký hiệu là X nP X

I.1.2 Định nghĩa (Hội tụ hầu chắc chắn)

Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) đến biến

ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất 0 sao cho:

I.1.3 Định nghĩa (Hội tụ trong L p)

Dãy b.n.n (Xn) được gọi là hội tụ trong L ( p 0 p  ) đến b.n.n X, ký

hiệu là

p L

I.1.5 Mệnh đề (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ)

Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy theo xác suất

Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) hội tụ hầu chắc chắn khi và chỉ khi dãy (Xn) là dãy Cauchy theo nghĩa hầu chắc chắn

ii) Trước hết, ta chứng minh kết quả sau:

Nếu (Xn) là dãy biến ngẫu nhiên, thoả mãn tiêu chuẩn Cauchy theo xác suất tức là    0,  p :m n,  p, ta có:

P : X n  X m   

thì tồn tại dãy con hội tụ hầu chắc chắn

Thật vậy: Với dãy  k,k, k 2k thì ta có thể chọn được một dãy con tăng ngặt  n của  , sao cho: k n k,  thoả mãn nn k, ta có:

P X Y  hay dãy con  X n k h c c . Y

Ta sử dụng kết quả này để chứng minh (ii):

Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết: 0

P n

  Y là dãy Cauchy theo xác suất Vậy theo chứng minh trên thì dãy k  Y k sẽ

chứa dãy con

1, 2, , 11

i n i

n

A X

ii) () Giả sử  X n khả tích đều và X nP X Khi đó theo I.1.7, tồn tại dãy con X n k  sao cho:

X X Thật vậy, vì X n khả tích đều, nên họ X ,n X n  cũng khả tích đều , 

X X nên tồn tại p   sao cho: n  p, ta có:

Vậy theo mệnh đề I.1.9, (Xn) khả tích đều Suy ra đpcm

I.2 Kỳ vọng điều kiện

I.2.1 Định nghĩa:

Giả sử (Ω,  , P) là không gian xác suất, G là  - đại số con của  , X là b.n.n khả tích Kỳ vọng điều kiện của b.n.n X với G đã cho là b.n.n M thoả mãn các điều kiện sau:

i, M là G - đo được

ii, M còn được ký hiệu là E(X/G)

Chú ý

a) Nếu Z1,Z2,… là các b.n.n xác định trên (Ω, ) và G là  - đại số sinh bởi chúng thì E(X/G) được ký hiệu là: E(X/Z1,Z2,…)

b) Nếu X 1A, A thì E(X/G) được ký hiệu là: P(X/G) và

E(1A/Z1,Z2, ) được ký hiệu là: P(A/Z1,Z2,…) Đó là các xác suất điều kiện

I.2.2 Các tính chất cơ bản của kỳ vọng điều kiện

Giả sử (Ω, ,P) là không gian xác suất cố định, các b.n.n đều có kỳ vọng (khả tích, nửa khả tích), G  là  - đại số con nào đó

 E(aX+bY/G) = aE(X/G )+ bE(Y/G ) (h.c.c)

e) Rõ ràng: EX là đo được với - đại số   , 

 E(X/G)dP

 E(XY/G) = YE(X/G) (h.c.c)

I.2.3 Giới thiệu nhóm các tính chất chuyển qua giới hạn

a) Định lý: (Hội tụ đơn điệu của Levy)

 E (limX n/G)) = E(Z/G) = lim

n E(Zn/G) = lim (E Zn/G)  lim (E X /G) n

c) Định lý: (Hội tụ bị chặn của Lebesgue)

Giả sử Y khả tích và |Xn|Y (h.c.c) khi đó, nếu Xn  X (h.c.c) thì E(lim

 X nên lim Xn =lim Xn = X (h.c.c)

 E(X/G)  lim E(Xn/G) lim E(Xn/G)  E(X/G)

 lim E(Xn/G) = lim E(Xn/G) (h.c.c)

 E(lim Xn/G) = limE(Xn/G) (h.c.c)

CHƯƠNG II

MARTINGALE VÀ CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ

Cho ( , ,P) là không gian xác suất   là  - trường con của

và X là b.n.n nào đó

II.1 Các khái niệm

II.1.1 Khái niệm tương thích và dự báo được

B.n.n X được gọi là tương thích với , nếu X là  - đo được Trong trường hợp đó ta viết X 

Ký hiệu: (X) = X-1(B), trong đó B là  - trường Borel của  Rõ ràng X

 khi và chỉ khi (X)

Cho dãy - trường con { , n n  } của A Dãy này được gọi là không giảm nếu    , m n  m n ,   , m n 

Giả sử  X nn,  là dãy b.n.n, ta nói quá trình ngẫu nhiên

X={Xn, , n n  } là dãy tương thích nếu Xn với mỗi n n

Ta nói V V n,n1,n,1 0là dãy dự báo được nếu Vn với nmỗi n

Nhận xét

(i) Dãy dự báo được là dãy tương thích

(ii) X={Xn, n, n } là dãy tương thích

Với n= ({Xm, m n}); m,n là - đại số nhỏ nhất cảm sinh từ tập hợp tất cả các biến cố có thể nhận đến thời điểm n

II.1.2 Thời điểm Markov và thời điểm dừng

( , ,P) là không gian xác suất đầy đủ (tức là chứa tất cả các tập có xác suất 0)

{ , nn  } là dãy các - trường không giảm Ký hiệu:

( , ,P) là không gian xác suất Dãy X = {Xn,  , nn  } được gọi là:

* Martingale trên (đối với { , nn }) nếu thoả mãn

(i) {Xn,  , nn  } là dãy tương thích

Martingale trên nếu:

(i) Xn , n n  

(ii) E|Xn| < ,   n

(iii) Với n =1,2,… thì E(Xn/ n-1) Xn-1 (P-h.c.c)

. Martingale dưới nếu các điều kiện (i),(ii) và (iii’) được thực hiện

(iii’) Với n = 1,2,…thì E(Xn/ n-1) Xn-1 (P-h.c.c)

. Martingale nếu các điều kiện (i),(ii) và (iii’’) được thực hiện

(iii’’) Với n =1,2,…thì E(Xn/n1) = Xn-1 (P-h.c.c)

3) Một martingale thì:

Vừa là martingale trên vừa là martingale dưới

Nếu đổi dấu martingale trên thì được martingale dưới và ngược lại

Kiểm tra lần lượt các điều kiện, ta có:

(i) {Sn,n, n} là dãy tương thích (theo cách định nghĩan)

II.2.3 Ví dụ 3

Giả sử X là b.n.n có E|X| < và {n, n } là dãy - trường con không giảm của Khi đó dãy Xn = E(X/ n) là martingale đối với n, n  Nó được gọi là martingale chính quy

Chứng minh

Ta lần lượt đi kiểm tra các điều kiện

(i) Vì E(X/n) là đo được đối với n  X n là đo được đối với n

 g X m g E X /n m E g Xn/m

Vậy: {Xn, n, n } là martingale dưới

II.3 Các định lý hội tụ quan trọng

n n

X  n N là martingale dưới (tính chất

Suy ra a b P, : lim inf Xn < a < b < lim supXn 0

(Vì nếu không sẽ  ' inf X

Theo hệ quả 1  lim n

Lúc đó, mỗi martingale dưới  i 

n n

Cho I p, p là một dãy các tập con hữu hạn của I, tăng tới I khi p   , kéo 

là tăng đồng thời theo cặp chỉ số (p, n)

nên với mỗi  0, tồn tại ít nhất một cặp p n , ; p n ,   sao cho

Suy ra (Xn) không thể là martingale dưới hoặc martingale trên

III.1.3 Định lý (Khai triển Riesz)

Cho (Xn) là một quá trình ngẫu nhiên tương thích với họ không giảm các

- đại số ( , n n) và K là một tập con đồng vĩ của  Lúc đó

X k,kK là martingale L1 - tiệm cận khi và chỉ khi (Xn) được phân tích duy nhất X n M nP n, n , trong đó:

Như vậy với mọi kK , k p, ta có

s s

E E M

Cố định kK và k  p Vì EX /k' k, 'k K hội tụ trong L1 đến M nên k

tồn tại q   , q k  sao cho với mọi k K , k '  q, ta có

Vậy P k k, K hội tụ đến 0 trong L1

Giả sử một phân tích X n M n' P n' trong đó:



 Lúc này M n' X nP n' và  n , lấy kn, kK , ta có

Nếu (Xn) là một quá trình ngẫu nhiên tương thích với họ không giảm các

- đại số (n) Lúc đó, (Xn) là martingale L1 - tiệm cận, khi và chỉ khi (Xn) được phân tích duy nhất X n M nP n, n, trong đó

Quá trình ngẫu nhiên (Xn) tương thích với họ không giảm các - đại số (n), n  gọi là martingale tới hạn nếu

Với mọi   , tồn tại 0 p   để với mọi n p, ta có:

a) Tồn tại martingale L 1 - tiệm cận mà nó không là martingale tới hạn

b) Tồn tại martingale tới hạn mà nó không là martingale L1- tiệm cận

Thật vậy:

a) Lấy ( , ,P) là không gian xác suất Lebesgue trên đoạn (mở - đóng)

0,1 Với  n  , ta kí hiệu Q là phân hoạch đoạn n 0,1 thành 2 n đoạn

(mở - đóng): Ii n,1   i 2n, có độ dài như nhau

i a





 với n > 1

Ta thành lập dãy  Xk như sau:

Với k1,k , tồn tại duy nhất n, sao cho: a n1k a n Lúc này ta định nghĩa:

Theo định nghĩa X  k, k không là martingale tới hạn

b) Lấy ( , ,P) là không gian xác suất Lebesgue trên đoạn (mở - đóng)

0,1 Với  n 0, ta kí hiệu: Q là phân hoạch đoạn n 0,1 thành 2 n đoạn (mở - đóng) I i n, 1 i 2n có độ dài như nhau Ta sẽ thành lập dãy X k   k, như sau:

Vậy X k không phải là martingale L1 - tiệm cận

Ta sẽ chỉ ra X k là martingale tới hạn Thật vậy, từ cách xây dựng X k,

n n

Với n  1 và  0, n2 n1 sao cho với mỗi

l n

X dP

\

l i i

AX

12

b a P

dP 

Định lí hoàn toàn được chứng minh

III.3 Trò chơi ngẫu nhiên công bằng dần theo thời gian

III.3.1 Định nghĩa

Quá trình ngẫu nhiên (Xn) tương thích với họ không giảm các  - đại số

n,n  là trò chơi ngẫu nhiên công bằng dần theo thời gian, nếu với mọi 0

  , tồn tại p   để với mọi n m p  , ta có:

Lấy (Ω, ,P) là không gian xác suất Lebesgue trên đoạn (0,1]

Với n, n0, ta ký hiệu Qn là phân hoạch đoạn (mở - đóng) (0,1] thành 2n

Với k1, k tồn tại duy nhất n sao cho: a n1 k a n

S là tập con đồng vĩ của , dãy con X s, sS của X n,n  là 

martingale L1 - tiệm cận Lúc đó (Xn) là trò chơi khi và chỉ khi (Xn) được phân tích duy nhất : X nM nP n, trong đó:

(+) M n, n   là martingale

(+) P n  n,  hội tụ đến 0 theo xác suất

(+) Dãy con  P s Ss,   của P n  n,  hội tụ đến 0 trong L1

Ngược lại, bây giờ giả sử (Xn) có một biểu diễn duy nhất đã cho trong định

lý Lấy  0 cho trước, do

1

0

L s

KẾT LUẬN

Tuy mới chính thức trở thành một học thuyết toán học (từ 1950) nhưng martingale đã nhanh chóng được nhiều nhà toán học hàng đầu như Doob, Neveu, Chacon, Edgar, Sucheston, Shirayev, Talagrand… quan tâm bởi nhiều

ứng dụng to lớn của nó Vì vậy mà việc nghiên cứu về martingale và một số mô hình martingale mở rộng là rất cần thiết và luôn thời sự Do khoá luận mới chỉ dừng ở việc giới thiệu một số kết quả cơ bản của Doob, Neveu, Talagrand và Đinh Quang Lưu Vì vậy, em rât mong có được sự giúp đỡ, góp ý của các thầy

cô để có thể phát triển khoá luận này theo các hướng khác

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Hắc Hải và các thầy

cô giáo trong trường đã giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Duy Tiến_Vũ Viết Yên Lý thuyết xác suất (2001)

[2] Doob J.L Stochastic processes, Willey and Sons, New York (1953)

[3] Luu.D.Q Convergence and lattice propertjes of a class of martingale like sequence Acta Math Hungary (1992)

[4] Luu.D.Q On convergence in probability of martingale_like sequence, Studia Sci.Math, Hungary (1999)

[5] Talagrand.M Some structure results for martingale in the limit and pramarts, Ann Probab (1985)

[6] Doãn Đăng Thanh Luận văn thạc sĩ: Một số mô hình martingale mở rộng (2000)