a Giải phương trỡnh 3cos2x+sinxư =1 cosx+sin 2xưsin2x.. Tỡm tọa ủộ giao ủiểm của ủường thẳng AB và mặt phẳng 5 0 P.. Lập phương trỡnh mặt phẳng Q chứa ủường thẳng AB và vuụng gúc với m
Trang 1Trường thpt lương thế vinh
Hà nội
Năm học 2014 - 2015
đề thi thử thpt quốc gia năm 2015
Môn thi: Toán Môn thi: Toán Lần thứ 1 Lần thứ 1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
- Ngày 8.2.2015 -
Cõu 1 (2,0 ủiểm) Cho hàm số y=x4+(mư3)x2+ ư 2 m (1), với m là tham số thực
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b) Tỡm m ủể ủồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn ủiểm phõn biệt cú hoành ủộ nhỏ hơn 2
Cõu 2 (1,0 ủiểm)
a) Giải phương trỡnh 3cos2x+sinxư =1 cosx+sin 2xưsin2x
27 3 3
1
2
Cõu 3 (1,0 ủiểm) Tớnh tớch phõn 2
1
1
ln
e x
x
+
=∫
Cõu 4 (1,0 ủiểm)
a) Cho số phức z thỏa món ủiều kiện (2 ) 1 5
1
i
i
ư
+ Tỡm mụủun của số phức
2
1
w= + + z z
b) Cú hai thựng ủựng tỏo Thựng thứ nhất cú cú 10 quả (6 quả tốt và 4 quả hỏng) Thựng thứ hai cú 8
quả (5 quả tốt và 3 quả hỏng) Lấy ngẫu nhiờn mỗi thựng một quả Tớnh xỏc suất ủể hai quả lấy ủược cú
ớt nhất một quả tốt
Cõu 5 (1,0 ủiểm) Trong khụng gian với hệ tọa ủộ Oxyz , cho hai ủiểm (1; 1; 2), (3;0; 4) A ư B ư và mặt
phẳng ( ) :P xư2y+2z ư = Tỡm tọa ủộ giao ủiểm của ủường thẳng AB và mặt phẳng ( )5 0 P Lập
phương trỡnh mặt phẳng ( )Q chứa ủường thẳng AB và vuụng gúc với mặt phẳng ( )
Cõu 6 (1,0 ủiểm) Cho hỡnh chúp S ABCD cú ủỏy là hỡnh chữ nhật, AB=a AD, =2a Tam giỏc SAB
cõn tại S và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với ủỏy Gúc giữa ủường thẳng SC và mặt phẳng
(ABCD) bằng 450 Gọi M là trung ủiểm của SD Tớnh theo a thể tớch của khối chúp S ABCD và
khoảng cỏch từ ủiểm M ủến mặt phẳng ( SAC )
Cõu 7 (1,0 ủiểm) Trong mặt phẳng tọa ủộ Oxy cho hỡnh chữ nhật ABCD cú diện tớch bằng 15 ðường ,
thẳng AB cú phương trỡnh xư2y = Trọng tõm của tam giỏc BCD là ủiểm 0 16 13;
3 3
Tỡm tọa ủộ
bốn ủỉnh của hỡnh chữ nhật biết ủiểm B cú tung ủộ lớn hơn 3
Cõu 8 (1,0 ủiểm) Giải hệ phương trỡnh
3 2 2
( , )
x y
Cõu 9 (1,0 ủiểm) Cho cỏc số thực , a b khụng õm và thỏa món: ( ) ( ) ( 2 2)
3 a+b +2 ab+ ≥1 5 a +b Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức T =3 a+ ưb 3(a2+b2)+2(a+b)ưab
- Hết -
Thớ sinh khụng ủược sử dụng tài liệu Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
www.MATHVN.com
Trang 2Tr−êng thpt l−ểng thạ vinh
Hộ néi
Năm học 2014 Ờ 2015
ệịp ịn Ờ thang ệiÓm
ệÒ thi thỏ thpt quèc gia nẽm 2015
Mền thi: Toịn
Mền thi: Toịn Ờ Lẵn thụ 1 Lẵn thụ 1
- đáp án có 04 trang -
Câu đáp án điểm a) (1,0 ựiểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ựồ thị của hàm số y = x4− 2 x2+ 1 Tập xác ựịnh: D = R lim ; lim x y x y →−∞ = +∞ →+∞ = +∞ đạo hàm: y ' = 4 x3− 4 x; y ' = ⇔ = 0 x 0 hoặc x = ổ 1 0,25 Các khoảng ựồng biến: ( − 1;0 ; 1; ) ( +∞ ) Khoảng nghịch biến: ( −∞ − ; 1 ; 0;1 ) ( ) Cực trị: Hàm số ựạt cực tiểu tại x = ổ 1, yCT = 0; ựạt cực ựại tại x = 0, yCđ = 1 0,25 Bảng biến thiên: x −∞ -1 0 1 +∞
y' - 0 + 0 - 0 +
y +∞ 1 +∞
0 0
0,25 đồ thị: (Hs có thể lấy thêm ựiểm ( 2;9); (2;9)− ) 0,25 b) (1,0 ựiểm) Tìm m ựể ựồ thị (1) cắt trục hoành tại bốn ựiểm phân biệt có hoành ựộ nhỏ hơn 2 Phương trình hoành ựộ giao ựiểm 4 ( ) 2 3 2 0 x + m − x + − = m (1) đặt 2 2 ( ) 0 3 2 0 t = x ≥ ⇒ + t m − t + − m = (2) 0,25 để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ ∆ > 0, S > 0, P > 0 2; 1 m m ⇔ < ≠ 0,25 điều kiện: Phương trình (2) phải có nghiệm thỏa mãn ựiều kiện 0 < t t1, 2 < 4 Phương trình (2) có t =1 1 (thỏa mãn), t2 = − 2 m 0,25 1 (2,0ự) điều kiện: 2 − < ⇔ m 4 m > − 2 đáp số: − < 2 m < 2, m ≠ 1 0,25 a) (0,5 ựiểm) Giải phương trình 3cos2 x + sin x − = 1 cos x + sin 2 x − sin2x Phương trình ựã cho tương ựương với 2cos2x − cos x + sin x − 2sin cos x x = 0 ( 2cos x 1 cos )( x sin x ) 0 ⇔ − − = 0,25 Ớ cos sin 0 tan 1 , ( ) 4 x x x x π k k π − = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ Ớ 2 cos 1 0 cos 1 2 , 2 3 x x x π k π k − = ⇔ = ⇔ = ổ + ∈ ℤ Vậy phương trình ựã cho có nghiệm: , 2 , 4 3 x π k π x π k π k = + = ổ + ∈ ℤ 0,25 b) (0,5 ựiểm) Giải phương trình 3 ( )
1
2
2
(1,0ự)
điều kiện: 4
0
3
x
< < Phương trình ựã cho tương ựương với
0,25
www.MATHVN.com
Trang 3( ) ( ) 2 1( )
12( )
=
đáp số: x = 1
0,25
Tắnh tắch phân 2
1
1
ln
e
x
x
+
= ∫
2
1
x
0,25
2
ln 1
e
2 1
1
ln ;
e
x
2 1
e
0,25
3
(1,0ự)
B
−
= − − − = − + =
= + = + = ( I ∼ 0, 764) (Hs cũng có thể tắnh ngay 21
ln ; ' x
x
+
0,25
a) (0,5 ựiểm) Cho ( 2 ) 1 5
1
i
i
−
+ Tìm môựun của số phức
2
1
w = + + z z
Phương trình ựã cho tương ựương với ( 2 + i z ) = 5 5 2
2
i
Từ ựó w = + + 1 z z2 = − 6 5 i Suy ra | w = | 36 + 25 = 61 0,25
b) (0,5 ựiểm) Tắnh xác suất có ắt nhất 1 quả tốt
Gọi A là biến cố ỘCó ắt nhất 1 quả tốtỢ, suy ra A là biến cố: ỘCả 2 quả ựều hỏngỢ
Số biến cố ựồng khả năng: 10.8 = 80
Số cách chọn 2 quả hỏng: C C =14. 31 4.3 12 =
0,25
4
(1,0ự)
Xác suất của biến cố A là: ( ) 12 3
80 20
Suy ra, xác suất của biến cố A là: ( ) ( ) 3
20
p A = − p A = − = 17
20
0,25
Cho A (1; 1; 2), (3;0; 4) − B − , ( ) : P x − 2 y + 2 z − = 5 0
5
(1,0ự)
đường thẳng AB ựi qua ựiểm A và có vtcp AB = ( 2;1; 6 − )
Phương trình tham số của AB là
1 2
1 ( )
2 6
= +
= −
www.MATHVN.com
Trang 4Gọi I = AB ∩ ( ) P ⇒ ∈ I AB ⇒ I ( 1 2 ; 1 + t − + t ; 2 6 − t )
1 ( ) (1 2 ) 2( 1 6 ) 2(2 6 ) 5 0
6
I ∈ P ⇒ + t − − + t + − t − = ⇒ = t
Suy ra tọa ựộ giao ựiểm của AB và ( ) P là ựiểm 4 5
; ;1
0,25
Mặt phẳng ( ) Q qua A và có vtpt nQ = AB n , P
, trong ựó nP
là vtpt của ( ) P
Suy ra AB n , P = ( 10;10;5 ) Chọn n =Q ( 2; 2;1 )
Phương trình mặt phẳng ( ) : 2( Q x − + 1) 2( y + + 1) 1( z − 2) = ⇔ 2 0 x + 2 y + − = z 2 0
0,25
Cho hình chóp S ABCD có ựáy là hình chữ nhật, AB = a AD , = 2 a
Gọi H là trung ựiểm của AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ),
suy ra HC là hình chiếu của SC lên ( ) 0
45
ABCD ⇒ SCH =
2
2
ABCD
0,25
2
4
2
a
3
17 3
a
0,25
( , ( ) ) 1 ( , ( ) ) 1 ( , ( ) ) ( , ( ) )
Kẻ HI ⊥ AC HK , ⊥ SI ⇒ HK ⊥ AC ⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ d H SAC ( , ( ) ) = HK
0,25
6
(1,0ự)
2
BE ⊥ AC ⇒ HI = BE 12 12 12 12 12 52 2
Từ ựó suy ra 1 2 12 12 52 42 892 ( , ( ) ) 17
a
d M SAC
89
a
0,25
Trong mặt phẳng tọa ựộ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tắch bằng 15Ầ
2
đường thẳng d qua G và vuông góc với AB ⇒ d : 2 x + − y 15 = 0
0,25
Gọi N = ∩ d AB ⇒ N ( ) 6;3 Suy ra 1
5 3
4
b
=
Ta có BA = 3 BN ⇒ A ( ) 2;1
0,25
7
(1,0ự)
( )
3
7;6 2
AC = AG ⇒ C
CD = BA ⇒ D ( ) 1;3
đáp số: A ( ) ( ) ( ) ( ) 2;1 , B 8; 4 , C 7;6 , D 1;3
0,25
S
I
K
I G
A B
D K C
N
www.MATHVN.com
Trang 5Giải hệ phương trình
2
( , ).
3 0 (2)
x y
ℝ
y ≥ ⇒ x − x y + = + − y y y y + + = y y + − y = x
4 3 2 2 2 2
0,25
y = x : (2) ⇔ x2+ = 3 2 x2
4 x x 3 0 x 1 ( ; ) x y (1; 1), ( 1; 1)
0,25
y = x − x (3) ( 2)2
(2) ⇔ 3 + 2 x − x = 2 x
0,25
8
(1,0ự)
x= ⇒ = y 3 2 2
x − x − x − = ⇔ x x − − x − = (4)
Từ (3) suy ra 2 x − x2 ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇒ 0 0 x 2 (4) vô nghiệm
đáp số: ( ; ) x y = (1; 1), ( 1; 1) −
0,25
T = a + − b a + b + a + b − ab
3( a + b ) + 2( ab + ≥ 1) 5( a + b ) ⇔ 2 a + b + 3 a b − ≤ 3 a + b + 2
Vì ( )2
3 a b − ≥ ∀ 0 a b , ( )2 ( )
2
t = + ≥ ⇒ a b t − − ≤ ⇒ − ≤ ≤ t t Vì t ≥ ⇒ ≤ ≤ 0 0 t 2
0,25
2
a b
T = ab + a + − b a + b + − a + − b ≤ + + a + − b a + b +
[ ]
2
3
3 1 ( ), 0; 2 4
0,25
t t
−
f t = ⇔ = t
0,25
9
(1,0ự)
13 (0) 1; (1) ; (2) 3 2 2
4
Từ ựó:
[ ] 0;2
t
0,25
- Hết -
- Học sinh trình bày khác, song vẫn ựủ ý, không có dấu hiệu làm tắt thì không trừ ựiểm
www.MATHVN.com
