skkn một số phương pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên

Thông qua môn toán, học sinh nắm vững các kiến thức toán học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng trong la

A.Đặt vấn đề

I, Lý DO CHọN Đề TàI

Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học, vì thế môn toán đóng một vai trò quan trọng trong nhà trờng Thông qua môn toán, học sinh nắm vững các kiến thức toán học, từ

đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụng những kiến thức

đã học vào các ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng trong lao động, trong quản lý kinh tế, trong việc tự học, tự nghiên cứu khoa học

Để giúp HS học tốt môn toán đòi hỏi ngời thầy giáo phải có sự lao

động sáng tạo nghiêm túc

Học sinh học toán,một khoa học rất sáng tạo và hấp dẫn đòi hỏi HS phải tích cực chủ động tiếp cận kiến thức mới dới sự hớng dẫn của GV Chính vì vậy trong quá trình dạy tôi đã cố gắng dạy cho HS cách định hớng phơng pháp giải bài tập trớc mỗi dạng bài

Là một giáo viên dạy toán THCS, trong những năm qua tôi

đã đặt ra cho mình một nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ra những phơng pháp thích hợp cho giảng dạy , những vấn đề

cụ thể phù hợp với đối tợng thực tế Một trong những

chuyên đề mà tôi tâm đắc nhất là

Qua đề tài này, tôi xin trình bày với các bạn thêm một số tính chất và phơng pháp giải bài toán “tìm chữ số tận cùng”, chỉ sử

cần so hai chữ số cuối cùng.Trong toán học,khi xét một số có chia hết cho 2;4;8 hoặc chia hết cho 5;25 ;125 hay không ta chỉ cần xét 1;2;3 chữ số tận cùng của số đó.

Tìm chữ số tận cùng của những luỹ thừa bậc thấp ,đơn giản học sinh dễ dàng biết đợc.Vấn đề đặt ra là đứng trớc những luỹ thừa bậc cao dựa vào đâu HS định hớng đợc cách giải?

Trong một số năm giảng dạy tôi đã đúc kết một số kinh nghiệm tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa để củng cố cho HS nhằm nâng cao kết quả học tập của HS nhất là đối với HS khá giỏi.Sau

đây mong các đồng nghiệp tham khảo, góp ý kiến cho tôi

II, Nhiệm vụ của đề tài

- Đề tài đa ra một hệ thống các phơng pháp tìm một chữ số tận cùng, hai chữ số tận cùng và ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên hay một biểu thức số tự nhiên

- Trang bị cho học sinh lớp 6 đặc biệt là học sinh lớp chuyên chọn

có kiến thức sâu rộng hơn

- Tạo tiền đề cho các em có ý thức học tập cao hơn

- Thông qua đề tài học sinh có thể nắm một số phơng pháp và có thể vận dụng vào giải bài toán từ đơn giản đến phức tạp, rèn kỹ năng tìm chữ số tận cùng và các tính chất chia hết của một số,

đồng thời giúp học sinh thấy đợc cài hay, cái đẹp, sức hấp dẫn của toán học đem lại, kích thích tò mò, khám phá tìm hiểu bài toán hơn

- Nghiên cứu về bài toán tôi đa ra đợc các phơng pháp giải bài tập khác nhau để các em giải bài tập cụ thể một cách dễ ràng hơn Khi

đó học sinh sẽ có đợc phơng pháp phân tích t duy tổng hợp toán học, nâng cao năng lực giải toán và có nghị lực vợt khó để giải bài toán

- Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh còn

tài liệu để phân dạng cho học sinh các cách làm dễ hơn Mỗi dạng tôi đa ra cơ sở lý thuyết và một số bài tập cụ thể để các em nắm chắc hơn các dạng toán và các cách làm đối với những dạng Toán

IV, Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài

Thực hiện đối với học sinh lớp 6A trờng THCS Thanh Mỹ-

Thanh Chơng- Nghệ An

Thực hiện từ đầu học kỳ I đến cuối năm học 2008-2009

V, Quá trình thực hiện đề tài

1, Khảo sát thực tế:

1.1, Tình trạng thực tế khi cha sử dụng đề tài

Khi cha thực hiện đề tài này , các em gặp bài toán tìm chữ số tận cùng hoặc bài toán liên quan , đa số các em hay mắc sai lầm trong lời giải , lời giải không chặt chẽ , kết luận cha sâu sắc

1.2, Số liệu điều tra trớc khi thực hiện đề tài:

Kiểm tra 40 học sinh lớp 6A các bài toán sau:

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của số: A = 99 9

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của số: B = 2 34

Bµi 3: T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña sè: C = 2 999

PhÇn i.I: Ph¬ng ph¸p t×m ch÷ sè tËn cïng hoÆc mét sè cuèi cïng cña mét sè tù nhiªn.

Ph¬ng ph¸p 1: Dïng cÊu t¹o sè:

I C¬ së lý thuyÕt:

Xem sè tù nhiªn: A = nk víi n, k ∈ N

1 Muèn t×m ch÷ sè tËn cïng cña A chØ cÇn biÓu diÔn A díi d¹ng:

A = 10a + b = ab ⇒ b lµ ch÷ sè cuèi cïng cña A

Ta viÕt:

A = nk = (10q + r)k = 10t + rk víi r∈N; 0≤r≤9

Ch÷ sè cuèi cïng cña A chÝnh lµ ch÷ sè cuèi cïng cña sè rk

- NÕu A = 100a + bc = abc th× bclµ hai ch÷ sè cuèi cïng cña A

- NÕu A = 1000a + bcd = abcd th× bcd lµ ba ch÷ sè cuèi cïng cña A

- NÕu A = 10m.am + a m−1 a0= a m a a1 0 th× a m−1 a0 lµ m ch÷ sè cuèi cïng cña A

n a b c b

c − 1 − 1 +

II Bµi tËp ¸p dông:

Bµi 1: T×m ch÷ sè cuèi cïng cña sè: A = 99 9

Gi¶i:

Xem sè M = 9k; k∈ N

- NÕu k ch½n ⇔k = 2m ta cã:

M = 92m = 81m = (80 + 1)m

=(10q + 1)m = 10 t + 1 (víi m, q, t∈ N)VËy: M cã ch÷ sè cuèi cïng lµ 1 nÕu k ch½n

- NÕu k lÎ ⇔k = 2m + 1 ta cã:

M = 92m+1 = 92m.9 = (10t + 1).9

= 10q + 9 (víi m, t, q ∈ N)VËy: M cã ch÷ sè cuèi cïng lµ 9 nÕu k lÎ, ta cã 99 lµ mét sè lÎ

Ph¬ng ph¸p 2: NhËn xÐt vÒ lòy thõa.

I C¬ së lý thuyÕt: NhËn xÐt vÒ lòy thõa.

62 tận cùng là 6

63 tận cùng là 6Vậy 6n tận cùng là 6 suy ra 62002 tận cùng là 6

1 Định nghĩa: Cho số nguyên m>0, hai số nguyên a và b

chia cho m có cùng số d ta nói a đồng d với 6 theo mô đun m và viết a ≡ b (mod m)

2 Định lý: Ba mệnh đề sau tơng đơng với nhau:

a a đồng d với b theo mô đun m

m b a

m d

c≡

≡ suy ra: (, mod )

) (mod

m d b a

m bd

a

=

5 { (mod )

0 , m

b a

k Z

k≡

>

∈ suy ra ka ≡ kb (mod m)

6 d ∈ƯC (a,b,m) thì: a≡b (mod m) suy ra d a = d b (mod m d )

7 Nếu a≡b (mod m1) và a ≡b (mod m2) suy ra a ≡b (mod m)

Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên N có nghĩa là phải tìm số d trong phép chia số N cho 10, tức là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 10 đồng d với N theo mod 10

* Ta có: 62 = 36 ≡ 6 mod 10 suy ra 6n ≡6 mod 10

(Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, nâng lên luỹ thừa lẻ đều có chữ số tận cùng bằng chính nó; nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận cùng lần lợt là 6 và 1)

Việc chứng minh tính chất trên là không khó, xin dành cho các bạn Nh vậy muốn tìm chữ số tân cùng của số tự nhiên

Nếu chữ số tận cùng của a là 2,4,8 cũng nh trờng hợp trên từ tính chất suy ra chữ số tân cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.ar.

Giải:

Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì

đ-ợc số có tận cùng bằng 1.Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0 ) cũng tận cùng bằng 1 Do đó

Từ tính chất 1 tiếp tục suy ra tính chất 3

3.Tính chất 3:

a)Số chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên luỹ thừa 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là7 ;số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 3

b)Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 2

c)Các chữ số có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9, khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng

Bài toán 1 Tìm chữ số tận cùng của tổng

Nh vậy , tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng (8+7+4+5+6+3+2+9)+199.(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+1+8+7+4

Lời giải : 19952000 tận cùng bằng chữ số 5 chia hết cho 5 vì vậy ta

đặt vấn đề là liệu n2+n+1 có thể chia hết cho 5 hay không ?

Ta có : n2+n=n(n+1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2+n chỉ có thể là là 0; 2;6 ⇒n2+n +1chỉ có thể tận cùng là 1;3;7⇒ n2+n +1 không chia hết cho 5

Vậy không tồn tại số tự nhiên sao cho n2+n +1chia hết cho 19952000

Sử dụng tính chất “Một số chính phơng chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0;1;4;5;6;9; ta có thể giải đợc bài toán sau :

Bài toán 3

Chứng minh rằng các tổng sau không thể lá các số chính phơng :a,)M=19k+5k+1995k+1996k(với k chẵn )

Phần ii.I: Phơng pháp tìm hai chữ số tận cùng hoặc

hai số cuối cùng của một số tự nhiên.

Ph

số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y

Hiển nhiên là y≤x , nh vậy để đơn giản hơn việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của hai số tự nhiên y (nhỏ hơn)

Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng

đơn giản hơn

Từ nhận xét trên ta có thể đề xuất phơng pháp tìm hai chữ số tận cùng của hai số tự nhiên x=am nh sau :

Tr

ờng hợp 1 : Nếu a chẵn thì x=am 2m

Gọi n là số tự nhiên sao cho an -1  25

Viết m = pn (p; q∈N) trong đó q là số nhỏ nhất để aq  4 ta có :

Khoảng trong hai trờng hợp trên chìa khóa để giải đợc bài toán này

là chúng ta phải tìm đợc số tự nhiên n Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ

Bài 2:Tìm hai chữ số tận cùng của 2100

Giải:

Chú ý rằng :210=1024 , bình phơng của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76 Do đó:

( 2)100=(210)10 =(1024)10 =(10242)5 =( 76)… 5 = 76…

Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76

Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của số: C = 2 999 , D = 3 999

b Ta cã: 34 ≡ 19 (mod 100) suy ra 38 ≡ 192 ≡ 6 (mod 100)

310 ≡ 61.9 ≡ 49 (mod 100) suy ra 3100 ≡ 492 ≡ 1 (mod 100)

Suy ra: 31000 ≡ 01 (mod 100)

NghÜa lµ hai ch÷ sè tËn cïng cña 31000 lµ 01

Sè 31000  3 nªn ch÷ sè hµng tr¨m cña nã khi chia cho 3 ph¶i d 2 (chia tiÕp th× sè 201 : 3 nÕu sè d lµ 0,1 th× 001; 101 kh«ng chia hÕt cho 3)

VËy 3999 = 31000 3 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 76

Bµi 7: T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña sè: D = 9 99

Gi¶i

Ta cã: 92 = 81 ≡ 1 (mod 10) suy ra 98 ≡ (92)n ≡ 1 (mod 10)

Suy ra 99 ≡ 1.9 ≡ 9 (mod 10) suy ra 99 ≡ 10k + 9 (k∈N)

Bµi 8: T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè 1991 1997 ; 1997 1996

Gi¶i

a Ta cã: 1991 ≡ 1 (mod 10) suy ra 19911997 ≡ 1 (mod 10)

VËy 19911997 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1

b Ta cã: 1997 ≡ 7 (mod 10) suy ra 19972 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10)

suy ra 19974 ≡ 1 (mod 10) suy ra (19974)409 ≡ 1 (mod 10)

suy ra 19971996 ≡ 1 (mod 10)

VËy 19971996 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1

Bµi 9: T×m hai ch÷ sè cuèi cïng cña sè: C = 2 999

VËy sè A = 99 9 cã hai ch÷ sè cuèi cïng lµ 89.

Bµi 12: T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña sè: B = 9 99 9

m m

VËy: Sè B = 99 9 9 cã 2 ch÷ sè tËn cïng lµ 89

PhÇn iii.I: Ph¬ng ph¸p t×m ba ch÷ sè tËn cïng hoÆc ba

sè cuèi cïng cña mét sè tù nhiªntrë lªn.

Vậy ba chữ số cuối cùng của 213 là 192.

Phần II: Các bài toán ứng dụng

Có thể dùng bài toán tìm chữ số tận cùng để chứng minh chia hết, nhận xét số có phải là số chính phơng hay không, tìm số d

trong phép chia

Bài 1: Chứng minh rằng tồn tại m ∈N để số 3 m tận cùng là 001

Giải

Ta chứng minh tồn tại n ∈ N để 3n – 1  103

Xét dãy gồm 1000 số hạng 3; 32; 33; …; 310 3

(*)Chia các số hạng của dãy (*) cho 103 thì số d của các phép chia có thể là

1; 2; 3;…; 999 (Vì 3n không chia hết cho 103 với mọi n thuộc N)

mà có 1000 phép chia nên ít nhất có 2 số có cùng số d khi chia cho

Vậy tồn tại n ∈N cho 3n tận cùng bằng 001

Bằng phơng pháp tơng tự ta có thể giải đợc bài toán khó hơn nh sau:

là 000001

Giải

Ta chứng minh tồn tại n ∈ N để 3n – 1  106

6

Chia các số hạng của dãy (*) cho 106 thì số d của các phép chia có thể là

1; 2; 3;…; 99999 (Vì 3n không chia hết cho 106 với mọi n thuộc N)

mà có 1000000 phép chia nên ít nhất có 2 số có cùng số d khi chia cho 106

( Nguyên lý Dirichle)

Gọi 2 số đó là 3i và 3j với i, j ∈ N, 1≤ i < j ≤ 106

suy ra: 3j – 3i  106

3i(3j-i – 1)  106 mà (3i,10) =1(3i, 106) = 1 ⇒3j-i – 1  106

Vậy tồn tại n ∈N cho 3n tận cùng bằng 000001

Bµi 6: TÝch 1125! tËn cïng lµ bao nhiªu ch÷ sè 0

Bµi 8:

Chøng tá r»ng vãi mäi sè tù nhiªn n:

a/74n-1 chia hÕt cho 5

b/34n+1 +2 chia hÕt cho 5

c/24n+1+3 chia hÕt cho 5

d/24n+2+1 chia hÕt cho 5

e/92n+1+1 chia hÕt cho 10

Cuèi n¨m häc kiÓm tra l¹i 40 em häc sinh líp 6A c¸c bµi to¸n sau:

b/116+126+136+146+156+166

Bài 4

Chứng tỏ rằng vói mọi số tự nhiên n:

a/74n-1 chia hết cho 5

ợc t duy sáng tạo trong giải toán.

Với việc giảng các phơng pháp tìm chữ số tận cùng Qua tìm hiểu của bài kiểm tra tôi thấy học sinh đã có phơng pháp làm bài tập nhanh hơn Do vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên biết phân dạng Toán cho học sinh thì các em sẽ nắm đợc kiến thức một cách dễ ràng hơn Khi đa các dạng Toán giáo viên cần đa các cơ sở lý thuyết và các bài tập vận dụng với mức độ

từ thấp đến cao để gây hứng thú học tập cho học sinh và không gây cảm giác

sợ, chán nản khi gặp các dạng toán đó

Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm tôi không tránh khỏi những sai sót Rất mong các thầy cô giáo xem và bổ sung sửa chữa cho tôi

để sáng kiến kinh nghiệm của tôi đợc hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thanh Mỹ :Ngày 15 tháng 6 năm 2009

Ngời viết

Nguyễn Văn Tú Trờng THCS Thanh Mỹ – Thanh Chơng- Nghệ An

Xác nhận của trờng THCS Thanh Mỹ

Hiệu trởng trờng THCS Thanh Mỹ

IV, Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài 3

Phần III Bài tập tham khảo 27

Phần IV Kết quả thực hiện có so sánh và đối chứng 29