Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không gian62 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNDƯƠNG VIỆT THÔNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015...

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG VIỆT THÔNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ

KHÔNG GIÃN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG VIỆT THÔNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ

ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 62460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. GS TS Nguyễn Bường

2. GS TSKH Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kếtquả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳcông trình nào khác

NCS Dương Việt Thông

1

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của các thầy giáo,

GS TS Nguyễn Bường và GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tác giả xin bày tỏ lòngkính trọng và biết ơn sâu sắc đến các Thầy Các Thầy đã truyền thụ kiến thức,từng bước định hướng nghiên cứu, giúp tác giả tiếp cận vấn đề một cách tựnhiên để từ đó có thể chủ động, tự tin trong suốt quá trình học tập và nghiêncứu Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần củathầy Nguyễn Bường và thầy Phạm Kỳ Anh đã giúp cho tác giả có ý thức tráchnhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận án của mình

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến PGS TSKH Đỗ Hồng Tân vìnhững chỉ dẫn tận tình và những ý kiến đóng góp quý báu của Thầy dànhcho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cám ơn TS Nguyễn Thị Thanh Hà, TS Lê AnhDũng, TS Nguyễn Văn Khiêm và TS Nguyễn Thế Vinh đã động viên và gópnhiều ý kiến quý báu trong suốt thời gian tác giả tham gia Seminar "Một sốvấn đề trong lý thuyết KKM và lý thuyết điểm bất động" do Bộ môn Giải tích,Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức

Tác giả xin chân thành cảm ơn các phản biện độc lập về những nhận xétquý báu, nhờ đó mà bản thảo lần này đã có những cải thiện đáng kể

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Bộ môn Giảitích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo Sau đại học cùng toàn thể

các thầy giáo, cô giáo, cán bộ và nhân viên của Khoa Toán - Cơ - Tin học,Trường ĐHKHTN đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian tácgiả hoàn thành luận án của mình.

Tác giả xin được bày tỏ sự biết ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại họcKinh tế Quốc dân, các Thầy Cô trong Bộ môn Toán cơ bản, Khoa Toán Kinh

tế đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập,nghiên cứu cũng như giảng dạy trong Nhà trường

Xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến toàn thể bạn bè và người thân, nhữngngười đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu

và hoàn thành luận án này

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

3

Mục lục

Lời cam đoan .1

Lời cảm ơn

2 Mục lục

4 Một số ký hiệu và chữ viết tắt 6

MỞ ĐẦU 7

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17

1.1 Giới thiệu về hình học không gian Banach 17

1.2 Ánh xạ không giãn 21

1.3 Tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp 27

1.4 Kết luận 37

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN 38

2.1 Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ không giãn 38

2.2 Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt 47

2.3 Kết luận 54

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT 56

3.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ không giãn 56 3.2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz 67 3.3 Phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số 74

3.4 Kết luận 82

KẾT LUẬN CHUNG 84

1 Kết quả đạt được 84

2. Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo 84DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

5

lim = lim sup

lim = lim inf

không gian liên hợp của không gian

X tập hợp tất cả các tập con của X tập hợp tất cả các tập con của X∗

môđun lồi của không gian Banach ánh xạ đối ngẫu của không gian X giải thức của toán tử A xấp xỉ Yosidagiá trị của cặp đối ngẫu hoặc tích vô hướng

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động do L E J Brouwer khởi xướng năm 1912 đếnnay đã được hơn 100 năm tuổi Đó là một chương quan trọng của Giải tíchphi tuyến, sâu sắc về lý thuyết, phong phú trong ứng dụng, gắn liền với têntuổi của các nhà Toán học lớn như: E Picard, L E J Brouwer, S Banach,

J Schauder, S Kakutani, A N Tikhonov, Ky Fan, F E Browder,

Trong sáu thập kỷ qua, nghiên cứu điểm bất động của lớp ánh xạ khônggiãn là một trong những chủ đề được quan tâm rộng rãi của giải tích phituyến Điều này kết nối giữa lý thuyết hình học của không gian Banach cùngvới sự liên quan của lý thuyết toán tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng Như

ta đã biết nếu ký hiệu X∗ là không gian đối ngẫu của không gian Banach X,toán tử đa trị A : X → 2X ∗ với miền xác định D(A) được gọi là đơn điệu nếu

x∗ − y∗, x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A) và x∗ ∈ A(x), y∗ ∈ A(y)

Toán tử đa trị A : X → 2X ∗ được gọi là toán tử đơn điệu cực đại nếu A làtoán tử đơn điệu trên X sao cho với mọi x ∈ X và x∗ ∈ X∗ thỏa mãn

x∗ − y∗, x − y ≥ 0 ∀y ∈ D(A) và y∗ ∈ A(y)thì x∗ ∈ A(x)

Toán tử đa trị A : X → 2X được gọi là toán tử tăng trưởng nếu ∀x, y ∈D(A) và x∗ ∈ A(x), y∗ ∈ A(y) tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

x∗ − y∗, j(x − y) ≥ 0

7

Một trong những sự kiện liên quan giữa toán tử đơn điệu và toán tử tăngtrưởng là chúng trùng nhau trong không gian Hilbert Các tính chất của toán

tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng là rất quan trọng trong các lĩnh vực nhưgiải tích số, phương trình đạo hàm riêng, giải tích lồi Điều đặc biệt là dưới

vi phân của một hàm lồi là toán tử đơn điệu Nhắc lại rằng, trong không gianBanach X cho hàm f : X → (−∞, +∞], dưới vi phân của f là toán tử đa trị ∂f :

X → 2X∗ được xác định bởi

∂f (x) := {j ∈ X∗ : f (y) − f (x) ≥ y − x, j ∀ y ∈ X} ∀x ∈ X

Nếu f là nửa liên tục dưới và lồi chính thường trong không gian Banach thựcphản xạ thì ∂f là đơn điệu cực đại [28] Dễ thấy rằng 0 ∈ ∂f (x) nếu và chỉ nếux=argmin{f (y) : y ∈ X} Như vậy vấn đề tìm cực tiểu của hàm lồi dẫn đến tìmkhông điểm của toán tử đơn điệu Mối quan hệ giữa toán tử đơn điệu và ánh

xạ không giãn là dựa trên sự kiện sau: nếu T là ánh xạ không giãn trong khônggian Hilbert thì A := I − T là toán tử đơn điệu và tập điểm bất động của ánh xạkhông giãn T trùng với tập không điểm của toán tử đơn điệu

H Brezis, M G Crandall và A Pazy đưa ra khái niệm giải thức của toán

tử đơn điệu trong không gian Banach trong [17] Họ đã thiết lập các tínhchất cơ bản của giải thức và đặc biệt điểm bất động của giải thức liên quanđến không điểm của toán tử đơn điệu Trong không gian Banach X cho A : X

→ 2X là toán tử đơn điệu cực đại Khi đó giải thức Jλ của toán tử A là ánh xạđơn trị và được xác định theo công thức Jλ = (I + λA)−1, ∀λ > 0 Chúng tabiết rằng A−10 = F (Jλ) Hơn nữa, Jλ là ánh xạ không giãn Suy ra vấn đề tìmkhông điểm của toán tử đơn điệu cực đại A tương đương với vấn đề tìmđiểm bất động của ánh xạ không giãn Jλ

Giữa lớp ánh xạ không giãn và toán tử tăng trưởng là lớp ánh xạ giả co.Ánh xạ T : X → X trong không gian Banach X được gọi là ánh xạ giả co nếu

∀x, y ∈ X tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

T x − T y, j(x − y) ≤ x − y 2

Chúng ta biết rằng T là ánh xạ giả co khi và chỉ khi I − T là ánh xạ tăngtrưởng Điều này nghĩa là việc giải một phương trình toán tử tăng trưởng cóthể xem xét như là một vấn đề tìm điểm bất động của toán tử giả co.

Trong lý thuyết điểm bất động, ngay sau vấn đề tồn tại điểm bất động, làvấn đề xây dựng thuật toán để tìm điểm bất động đó Điều này đặc biệtquan trọng trong ứng dụng Thuật toán đơn giản nhất là phép lặp Picard xácđịnh bởi

xn+1 = T xn, n ∈ N0.Phép lặp này có ưu điểm lớn là rất đơn giản và hữu hiệu cho các ánh xạloại co Phép lặp Picard nói chung không hội tụ khi T là ánh xạ không giãn

Để khắc phục điều này M A Krasnoselskij vào năm 1955 [55] đã đề xuấtmột phép lặp mới

x

n+1 =Phép lặp Krasnoselskij đặc biệt hữu hiệu cho không gian Banach lồi đều Vàonăm 1953, W R Mann [59] đề xuất một phép lặp tổng quát hơn phép

độ hội tụ của dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa thì đến nay vẫn chưa có câu trảlời cho bất kỳ lớp ánh xạ nào và vấn đề này cũng được chúng tôi nghiên cứu vàđược đề cập đến vấn đề này trong phần 1.3.2.

Một trong những lý do bài toán tìm xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ khônggiãn được quan tâm gần đây chính là ứng dụng của nó Bên cạnh vấn đề tìmkhông điểm của toán tử đơn điệu [51, 74, 87, 84, ], người ta còn áp dụngphép lặp điểm bất động để tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân, điểm cựctiểu của hàm lồi và nhiều vấn đề khác [10, 27, 37, 64, 70, 69, 97, ] Thật vậy,trong không gian Hilbert H cho toán tử đơn điệu A xác định trên tập con lồiđóng C Bài toán bất đẳng thức biến phân là tìm x ∈ C sao cho

Ax, y − x ≥ 0 ∀y ∈ C

Tập tất cả các nghiệm của bất đẳng thức biến phân ký hiệu là V IP (A, C)

Ta có thể chứng minh rằng tìm x ∈ V IP (C, A) khi A là toán tử α- đơn điệumạnh ngược tương đương với x là điểm bất động của ánh xạ không giãn

T = PC(I − λA)với 0 < λ ≤ 2α, I là ánh xạ đồng nhất, PC là phép chiếu lên tập C Như vậyxấp xỉ nghiệm của V IP (A, C) được đưa về xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ

không giãn.

Lý thuyết điểm bất động và vấn đề xấp xỉ điểm bất động không chỉ dừng lại

ở việc nghiên cứu cho một ánh xạ không giãn mà nó còn được mở rộng vàphát triển cho trường hợp một họ ánh xạ không giãn Nhiều vấn đề trong khoahọc, công nghệ được quy về bài toán tìm một điểm bất động chung của một họhữu hạn các ánh xạ không giãn Ta đã biết rằng tập điểm bất động của mộtánh xạ không giãn trong một không gian Banach lồi đều là một tập hợp lồi Vìvậy điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong mộtkhông gian Hilbert thuộc giao của những tập lồi Do đó, trong trường hợp nàybài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãntrở thành bài toán chấp nhận lồi Do tầm quan trọng của các vấn đề này nênviệc nghiên cứu các thuật toán tìm điểm bất động chung của một họ các ánh

xạ không giãn đã và đang phát triển không ngừng

Cho đến nay có rất nhiều kết quả nghiên cứu về các phương pháp tìmđiểm bất động chung cho một họ ánh xạ không giãn và điểm bất độngchung cho các họ ánh xạ khác như họ ánh xạ giả co, họ ánh xạ giả co chặt.Một trong các phương pháp này là cải tiến các phương pháp lặp cổ điển nổitiếng như phép lặp Mann, phép lặp Halpern, phép lặp Ishikawa Như đã biếtphép lặp Mann thì nói chung chỉ hội tụ yếu [33, 34, 60, ] Để khắc phụcđiều này thì năm 2003, K Nakajo và W Takahashi [63] đã cải tiến phươngpháp lặp Mann trong không gian Hilbert như sau:

rất quan tâm [61, 87, 65, 81, 88, ] Phương pháp lặp trên có tên gọi làphương pháp lặp CQ [107] hay phương pháp lặp lai ghép [92] Ở Việt Nam,

có một số các nhà toán học đang nghiên cứu về phương pháp lặp này như:Phạm Kỳ Anh [9, 8, 11], Phạm Ngọc Anh, Trần Quốc Bình, Nguyễn Bường[21, 24, 23, 22], Lê Anh Dũng, Nguyễn Thị Thanh Hà, Đỗ Hồng Tân, NguyễnThị Thu Thủy, Nguyễn Thị Thu Vân, Nguyễn Thế Vinh, để tìm điểm bấtđộng chung cho họ các lớp ánh xạ và ứng dụng của nó

Một trong những phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động chung cho một

họ các ánh xạ không giãn gần đây cũng được quan tâm là phương pháp lặp

ẩn Phương pháp này được F E Browder đề xuất năm 1967 [18] cho mộtánh xạ không giãn trong không gian Hilbert như sau:

xn = αnu + (1 − αn)T (tn)xn.Năm 2004, M O Osilike [66] đã sử dụng thuật toán (4) để tìm điểm bấtđộng chung cho họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt Ti, i = 1, , N Cũng với ýtưởng đó, năm 2006, R Chen, Y Song, H Zhou [32] đã sử dụng thuật toán

(4) để tìm điểm bất động chung cho họ hữu hạn ánh xạ giả co liên tục Năm

2008, H Zhou [114] cũng sử dụng thuật toán (4) để tìm điểm bất độngchung cho họ hữu hạn ánh xạ giả co Lipschitz

Năm 2010, S S Zhang [112, 113] đã nghiên cứu dãy lặp ẩn

x0 ∈ C, xn = αnxn−1 + (1 − αn)T (tn)xn,

để tìm điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz {T (t) : t ≥ 0}

và nửa nhóm ánh xạ giả co chặt {T (t) : t ≥ 0} Với những ý tưởng đó chúng tôicũng tiến hành nghiên cứu phương pháp lặp ẩn (5) cho nửa nhóm ánh xạkhông giãn {T (t) : t ≥ 0} và nửa nhóm ánh xạ giả co chặt {T (t) : t ≥ 0} Chúngtôi đã đưa ra những điều kiện khác của dãy {tn} và {αn} cho dãy lặp

(5) hội tụ

Gần đây, một phương pháp cũng được nhiều người nghiên cứu đó làphương pháp xấp xỉ gắn kết (viscosity methods) Phương pháp này được A.Moudafi đề xuất vào năm 2000 [62] trong không gian Hilbert như sau:

xn =và

x

n+1 =với f là ánh xạ co Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho phép chọn một điểm bấtđộng đặc biệt của ánh xạ không giãn T Có rất nhiều kết quả được trìnhbày về phương pháp xấp xỉ gắn kết để tìm điểm bất động Đặc biệt, năm

2007 R Chen và H He [29] đã nghiên cứu phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn

và phương pháp xấp xỉ gắn kết hiện như sau:

xn = αnf (xn) + (1 − αn)T (tn)xn, n ∈ N,và

xn+1 = αnf (xn) + (1 − αn)T (tn)xn, n ∈ N,

13

trong đó {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ không giãn R Chen và H He đãchứng minh phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn (8) và phương pháp xấp xỉ gắnkết hiện (9) hội tụ mạnh đến điểm bất động chung q của nửa nhóm ánh xạkhông giãn {T (t) : t ≥ 0}, trong đó q là nghiệm duy nhất của bất đẳng thứcbiến phân

(f − I)q, j(x − q) ≤ 0 ∀x ∈ F (T (t))

t≥0

Tiếp đó năm 2008, Y Song và S Xu [85] cũng chứng minh một kết quảtương tự như của R Chen và H He cho nửa nhóm ánh xạ không giãn {T (t): t ≥ 0} tiệm cận chính quy đều Với những ý tưởng trên chúng tôi cũng tiếnhành nghiên cứu phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn (8) và phương pháp xấp xỉgắn kết hiện (9) cho nửa nhóm ánh xạ không giãn {T (t) : t ≥ 0} và nửa nhómánh xạ giả co Lipschitz {T (t) : t ≥ 0} Chúng tôi đưa ra một cách tiếp cận mớicho các dãy lặp (8) và (9) hội tụ

Năm 2008, Y Hao [44] đã nghiên cứu dãy lặp ẩn có sai số như sau:

x0 ∈ K, xn = αnxn−1 + βnTnxn + γnun ∀n ≥ 1,Hao đã chứng minh dãy lặp ẩn trên hội tụ yếu đến điểm bất động chung củamột họ hữu hạn ánh xạ giả co Lipschitz trong không gian Banach lồi đều.Năm 2010, X Qin và S Y Cho [73] phát triển dãy lặp ẩn (10) cho nửa nhómgiả co Lipschitz {T (t) : t ≥ 0} như sau:

x0 ∈ K, xn = αnxn−1 + βnT (tn)xn + γnun ∀n ≥ 1,

họ cũng chứng minh dãy lặp ẩn (11) hội tụ yếu đến điểm bất động chungcủa nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz {T (t) : t ≥ 0} Năm 2011, R P.Agarwal, X Qin và S M Khang [6] nghiên cứu dãy lặp ẩn (11) cho nửanhóm ánh xạ giả co Lipschitz và đã thu được định lý hội tụ mạnh Vớinhững ý tưởng trên chúng tôi đề xuất nghiên cứu sự hội tụ của phươngpháp xấp xỉ gắn kết có sai số như sau:

x0 ∈ K, xn = αnf (xn) + βnT (tn)xn + γnun

Trong đó {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ không giãn hoặc nửa nhóm ánh

xạ giả co Lipschitz

Có thể nói rằng, luận án này đề xuất một hướng tiếp cận mới cho bài toántìm điểm bất động chung của một họ các ánh xạ không giãn trong không gianBanach và Hilbert Cụ thể luận án đã giải quyết được các vấn đề như sau:

1. So sánh được tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp cho lớp ánh

Nội dung luận án được trình bày trong ba chương

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị, giới thiệu sơ lược về một sốvấn đề liên quan đến cấu trúc hình học của không gian Banach, các lớp ánh

xạ và một số phương pháp lặp Cuối Chương 1 chúng tôi so sánh tốc độ hội

tụ của một số phương pháp lặp cho lớp ánh xạ Zamfirescu Các kết quả củachương này dựa trên nội dung của công trình [3]

Chương 2 trình bày các định lý về sự hội tụ của phương pháp lặp ẩn chonửa nhóm ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ giả co chặt Các kết quảcủa chương này dựa vào nội dung của các công trình [1, 2, 5]

Chương 3 trình bày các định lý về sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ gắnkết ẩn và phương pháp xấp xỉ gắn kết hiện cho nửa nhóm ánh xạ khônggiãn và nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz Cuối chương 3 chúng tôi trìnhbày phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số cho nửa nhóm ánh xạ khônggiãn và nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz Các kết quả của chương nàydựa trên nội dung của các công trình [4, 5, 6]

15

Một phần kết quả của luận án và các kết quả liên quan đã được báo cáotại Hội nghị Toán học toàn quốc, Nha Trang 2013.

Ngoài ra, các kết quả của luận án được báo cáo tại xêmina "Lý thuyếtđiểm bất động và hình học của không gian Banach" của khoa Toán - Tin,Trường ĐH Sư phạm Hà nội

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Một số kiến thức cơ bản về hình học không gian Banach được chúng tôigiới thiệu trong chương này và chúng tôi cũng giới thiệu một số phương pháplặp tìm điểm bất động cho các lớp ánh xạ khác nhau, cuối Chương 1 chúng tôi

so sánh tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp cho lớp ánh xạ Zamfirescu

1.1 Giới thiệu về hình học không gian Banach

Đầu tiên chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất trong khônggian Banach mà chủ yếu được chúng tôi tham khảo trong [5, 91]

Định nghĩa 1.1 Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y

∈ X mà độc lập tuyến tính thì

x + y < x + y Điều kiện này tương đương với

2) với mọi ǫ với 0 < ǫ ≤ 2 thì tồn tại δ = δ(ǫ) > 0 sao cho

2

với mọi x, y ∈ X với x = y = 1 và

Giả sử X là không gian Banach thì hàm số δ : [0, 2] → [0, 1] được xác định

như sau

δ(ǫ) = inf 1 −

được gọi là môđun lồi của X

Dễ thấy rằng δ là hàm không giảm, nghĩa là nếu ǫ1 ≤ ǫ2 thì δ(ǫ1) ≤ δ(ǫ2)

Định lý 1.2 Cho X là không gian Banach Khi đó X là lồi đều nếu và chỉ nếu

δ(ǫ) > 0 với mọi ǫ > 0

Định lý 1.3 Giả sử X là không gian Banach lồi đều Khi đó với mọi r và ǫ

với r ≥ ǫ > 0 các bất đẳng thức x ≤ r, y ≤ r và x − y ≥ ǫ > 0 suy ra δ r ǫ > 0 và

2

với δ là môđun lồi của X

Bổ đề 1.1 Cho X là không gian Banach lồi đều và δ là môđun lồi của X

Giả sử 0

với mọi x, y ∈ X với x ≤ r, y ≤ r, x − y ≥ ǫ và λ ∈ [0, 1]

Định nghĩa 1.2 Không gian Banach X được gọi là thỏa mãn điều kiện Opial

nếu mọi dãy {xn} trong X hội tụ yếu đến x thì

n→∞

18

1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu

Cho X là không gian Banach và X∗ là không gian đối ngẫu Với mỗi x ∈ X,

ta đặt

J(x) = {f ∈ X∗ : x, f = x 2 = f 2}Ánh xạ đa trị J : X → 2X ∗ được gọi là ánh xạ đối ngẫu của X

Định lý 1.5 Cho X là không gian Banach và J là ánh xạ đối ngẫu của X Khi đó

1) với mỗi x ∈ E, J(x) là tập lồi đóng khác rỗng bị chặn của X∗;

Bổ đề 1.2 ([41], Định lý 1) Nếu không gian Banach thực X có ánh xạ đối ngẫu J liên tục yếu theo dãy thì X thỏa mãn điều kiện Opial

Bổ đề 1.3 Giả sử X là không gian Banach thực, J là ánh xạ đối ngẫu Khi

đó với mọi x, y ∈ X ta có

x + y 2 ≤ x 2 + 2 y, j(x + y)với mọi j(x + y) ∈ J(x + y)

1.1.3 Tính khả vi của chuẩn

Chúng tôi trình bày tính khả vi của chuẩn của không gian Banach Cho X

là không gian Banach và đặt S(X) = {x ∈ X : x = 1}

• Không gian Banach X được gọi là trơn nếu giới hạn

• Không gian Banach X được gọi là có chuẩn khả vi Fréchet nếu với mỗi

x ∈ S(X) giới hạn (1.1) là đều với mọi y ∈ S(X)

• Chuẩn của X được gọi là khả vi Fréchet đều (hay X còn được gọi là trơn đều) nếu giới hạn (1.1) là đều với mọi (x, y) ∈ S(X) × S(X)

Định lý 1.6 X là không gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu J của X là đơntrị

Bổ đề 1.4 Giả sử X là không gian Banach và J là ánh xạ đối ngẫu của X.Nếu J là đơn trị thì J liên tục từ không gian Banach X với tôpô chuẩn và X∗với tôpô * yếu

Định lý 1.7 Cho X là không gian Banach và J là ánh xạ đối ngẫu của X.Nếu J là đơn trị, thì X là trơn

Định lý 1.8 Giả sử X∗ là không gian Banach lồi đều và J là ánh xạ đối ngẫucủa X Khi đó J là đơn trị và liên tục đều trên mọi tập con bị chặn của X,nghĩa là cho B là tập con bị chặn của X và ǫ > 0, thì tồn tại δ > 0 sao cho

J(x) − J(y) < ǫ ∀x, y ∈ B và x − y < δ

Định lý 1.9 Cho X là không gian Banach với chuẩn khả vi Fréchet Khi đóánh xạ đối ngẫu J : X → X∗ liên tục theo tôpô chuẩn trên X và tôpô chuẩntrên X∗

20

Định lý 1.10 Cho X là không gian Banach lồi đều với chuẩn khả vi Gâteaux

đều Khi đó ánh xạ đối ngẫu J : X → X∗ là liên tục đều trên mỗi tập con bị

chặn của không gian X với tôpô chuẩn và không gian X∗ với tôpô * yếu

Định lý 1.11 Cho X là không gian Banach Khi đó, X có chuẩn khả vi

Fréchet đều khi và chỉ khi X∗ lồi đều

1.2 Ánh xạ không giãn

1.2.1 Ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.6 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian định chuẩn

X và T : C → X là một ánh xạ T được gọi là không giãn nếu

Nhắc lại rằng dãy {xn} ⊂ C được gọi là một dãy xấp xỉ điểm bất động của

Định nghĩa 1.7 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Banach X

và T : C → X là một ánh xạ Khi đó T được gọi là nửa đóng tại v ∈ X nếu

với mọi dãy {xn} ∈ C thỏa mãn xn ⇀ u ∈ C và T xn ⇀ v thì T u = v

Định lý 1.12 Nếu X là không gian Banach thỏa mãn điều kiện Opial, C là tập

con khác rỗng compắc yếu của X và T : C → X là ánh xạ không giãn thì I −

T là nửa đóng

Hệ quả 1.1 Nếu X là không gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiện Opial,

C là tập con lồi đóng khác rỗng của X và T : C → X là ánh xạ không giãn thì

I − T là nửa đóng

Định lý 1.13 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian

Banach lồi đều X và T : C → X là ánh xạ không giãn thì I − T là nửa đóng

Định lý 1.14 Cho X là không gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiện

Opial, C là một tập con lồi đóng bị chặn khác rỗng của X và T : C → C là

ánh xạ không giãn Khi đó T có điểm bất động trong C

Định lý 1.15 (F E Browder và D Gohde, 1965) Cho C là tập con lồi đóng bị

chặn khác rỗng của không gian Banach lồi đều X Khi đó mọi ánh xạ không

giãn T : C → C đều có điểm bất động

Định nghĩa 1.8 Họ ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} được gọi là nửa nhóm ánh xạ khônggiãn từ tập con khác rỗng C của không gian Banach X vào chính nó nếu cácđiều kiện sau được thỏa mãn:

(1) với mỗi t ≥ 0, T (t) là ánh xạ không giãn trên C;

Định nghĩa 1.9

• Ánh xạ T với miền xác định là D(T ) và miền giá trị là R(T ) được gọi là giả

co nếu với mọi x, y ∈ D(T ) tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

T x − T y, j(x − y) ≤ x − y 2.Điều kiện (1.2) tương đương với

x − y ≤ x − y + s[(I − T )x − (I − T )y] ∀ s > 0

• Ánh xạ T được gọi là giả co mạnh nếu với mọi x, y ∈ D(T ) tồn tại j(x − y)

∈ J(x − y) và λ ∈ (0, 1) sao cho

(I − T )x − (I − T )y, j(x − y) ≥ λ x − y 2.Điều kiện (1.3) tương đương với

Nhận xét 1.1 Mọi ánh xạ giả co chặt là ánh xạ Lipschitz với hằng số chitz bằng 1 +

Lips-λ λ Trong không gian Hilbert, ánh xạ giả co chặt được định nghĩa như sau:Ánh xạ T được gọi là giả co chặt trong không gian Hilbert nếu tồn tại k ∈ [0,1) sao cho

T x − T y 2 ≤ x − y 2 + k (I − T )x − (I − T )y 2 ∀x, y ∈ D(T )

Khi đó ánh xạ giả co chặt là ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz là 1 +

k .

1 − k

Có một mối liên hệ giữa các lớp ánh xạ như sau:

1. Lớp ánh xạ co ⊂ lớp ánh xạ không giãn ⊂ lớp ánh xạ giả co

2. Lớp ánh xạ co ⊂ lớp ánh xạ giả co mạnh ⊂ lớp ánh xạ giả co

6. Ánh xạ giả co nói chung là không liên tục

Định lý 1.16 (K Deimling, [39]) Nếu C là một tập con lồi đóng khác rỗng củakhông gian Banach X và T : C → C là ánh xạ liên tục, giả co mạnh thì

T có duy nhất điểm bất động trong C

Định nghĩa 1.10 (S S Zhang, [113]) Họ các ánh xạ một tham số {T (t) : t ≥0} từ C vào chính nó được gọi là nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz nếu cácđiều kiện sau được thỏa mãn:

(1) T (0)x = x với mỗi x ∈ C;

(2) T (t + s)x = T (t)T (s)x với mọi t, s ∈ R+ và x ∈ C;

(3) với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (.)x từ R+ vào C là liên tục;

(4) với mọi x, y ∈ C, tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

T (t)x − T (t)y, j(x − y) ≤ x − y 2 với mỗi t > 0;

(5) tồn tại hàm bị chặn L : (0, ∞) → [0, ∞) sao cho, với mọi x, y ∈ C

T (t)x − T (t)y ≤ L(t) x − y ∀ t > 0

Định nghĩa 1.11 (S S Zhang, [113]) Họ các ánh xạ một tham số {T (t) : t ≥0} từ C vào chính nó được gọi là nửa nhóm ánh xạ giả co mạnh trên C nếucác điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(1) T (0)x = x với mỗi x ∈ C;

(2) T (t + s)x = T (t)T (s)x với mọi t, s ∈ R+ và x ∈ C;

(3) với mỗi x ∈ E, ánh xạ T (.)x từ R+ vào C là liên tục;

(4) tồn tại hàm bị chặn k : [0, ∞) → (0, 1) với supk(t) < 1 sao cho với mọi

t≥0

x, y ∈ C tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

T (t)x − T (t)y, j(x − y) ≤ k(t) x − y 2với mỗi t > 0

Định nghĩa 1.12 (S S Zhang, [113]) Họ các ánh xạ một tham số {T (t) : t ≥0} từ C vào chính nó được gọi là nửa nhóm ánh xạ giả co chặt trên C nếucác điều kiện sau đây được thỏa mãn:

1.2.3 Toán tử tăng trưởng

Định nghĩa 1.13 Cho X, Y là hai không gian Banach, ánh xạ A : X → 2Y

được gọi là một toán tử Nếu X = Y , thì toán tử A : X → 2X được gọi là toán

tử của X

Cho toán tử A : X → 2Y , đặt

D(A) = {x ∈ X : Ax = ∅} gọi là miền xác định của A,

R(A) = ∪ Ax là miền giá trị của A,

x∈X

G(A) = {[x, y] ∈ X × Y : x ∈ D(A), y ∈ Ax} là đồ thị của A

Toán tử A : X → 2Y là ánh xạ đa trị, nếu với mỗi x ∈ X, Ax ⊂ Y Nếu Ax là

tập một điểm với mọi x, thì A được gọi là ánh xạ đơn trị

Định nghĩa 1.14 Toán tử A : X → 2X là tăng trưởng nếu với mọi (x1, y1), (x2, y2) ∈ G(A), tồn tại j ∈ J(x1 − x2) sao cho y1 − y2, j ≥ 0, với J là ánh xạ đối ngẫu của X

Bổ đề 1.5 (W Takahashi, [91]) Cho X là không gian Banach Giả sử x, y ∈

X, khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

Jλx := (I + λA)−1x := {y ∈ X : x ∈ (I + λA)y}

và

1A

λ =

λ(I − J

λ).Toán tử Aλ được gọi là xấp xỉ Yosida Sau đây là một số tính chất của Jλ và

Aλ

Định lý 1.18 (W Takahashi, [91]) Cho A : X → 2X là toán tử tăng trưởng và λ

> 0 Khi đó ta có các tính chất sau:

(1) Jλ là đơn trị;

(2) Jλx − Jλy ≤ x − y(3) Aλ là tăng trưởng và

Aλx − Aλy ≤Định lý 1.19 (W Takahashi, [91]) Cho C là một tập con lồi đóng của khônggian Banach X và T : C → C là ánh xạ không giãn Khi đó ta có các tính chấtsau:

(1) Nếu A = I − T thì A là tăng trưởng;

(2) C = D(A) ⊂ ∩ R(I + rA)

g : R(2I − T ) → C là ánh xạ không giãn, đơn trị và F (g) = F (T )

Bổ đề 1.7 (H Zhou, [114]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach X và T : C → C là ánh xạ liên tục, giả co Kí hiệu

và T : C → C là ánh xạ liên tục, giả co Khi đó I − T là nửa đóng

Định lý 1.21 (H Zhou, [114]) Cho X là không gian Banach lồi đều, C là tậpcon lồi đóng khác rỗng của X và T : C → C là ánh xạ liên tục, giả co Khi đó

I − T là nửa đóng

26

1.3 Tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp

Như ta đã biết vấn đề xấp xỉ tìm điểm bất động cho các lớp ánh xạ là rấtquan trọng trong ứng dụng Ở đây chúng tôi xin giới thiệu một số phươngpháp lặp để tìm xấp xỉ điểm bất động của một ánh xạ

Thuật toán đơn giản nhất là phép lặp Picard xác định bởi

a) Tồn tại duy nhất điểm bất động v ∈ X

b) Với bất kỳ x0 ∈ X, phép lặp Picard xác định bởi

Vào năm 1953, W R Mann [59] đề xuất một phép lặp tổng quát hơn phéplặp của Krasnoselskij

x = (1 − α )x + α T x , {α } ⊂ [0, 1]

Phép lặp Mann hữu hiệu cho một lớp ánh xạ rộng hơn ánh xạ không giãn,

chẳng hạn lớp ánh xạ tựa không giãn:

||T x − p|| ≤ ||x − p|| ∀p ∈ F (T ) và ∀x

Định lý 1.24 Cho X là không gian Banach thỏa mãn điều kiện Opial, C là tập

compắc yếu của X và T : C → X là ánh xạ không giãn Cho dãy {xn} trong C

xác định bởi (1.10), với αn là dãy số thực không âm sao cho 0 ≤ αn ≤ α < 1

||T x − T y||2 ≤ ||x − y||2 + ||(I − T )x − (I − T )y||2 ∀x, y

Năm 1974, S Ishikawa [48] đã đề xuất một phép lặp mới tổng quát hơn

phép lặp Mann

xn+1 = (1 − αn)xn + αnT [(1 − βn)xn + βnT xn], n ∈ N,

trong đó {αn}, {βn} ⊂ [0, 1]

Định lý 1.25 Cho C là một tập con khác rỗng lồi của một không gian Hilbert

H và T : C → C là ánh xạ Lipschitz giả co với F (T ) = ∅ Giả sử {xn} là dãy

lặp Ishikawa được định nghĩa bởi (1.11), với

∞

n=1

và x1 ∈ C Khi đó {xn} hội tụ mạnh tới điểm bất động của T

Trong nhiều thập kỉ đã qua, rất nhiều bài báo đã công bố về vấn đề xấp xỉ

điểm bất động cho các lớp ánh xạ, bằng cách sử dụng các phương pháp lặp

Picard [14], Krasnoselskij [18, 52, 55], Mann [42, 59] và Ishikawa [48] Trong

lớp ánh xạ Zamfirescu, dãy lặp Picard, Mann, dãy lặp Ishikawa [16], dãy lặp

28

hai bước [109] có thể được sử dụng để xấp xỉ điểm bất động [15] Trongtrường hợp này điều rất quan trọng là so sánh tốc độ hội tụ của các dãy lặptrên Trong mục này chúng tôi sẽ so sánh tốc độ hội tụ của các dãy lặp trên.Cho X là không gian Banach thực, C là tập con lồi đóng của X, và T :

C → C là một ánh xạ Cho các điểm p0, v0, u0, x0 trong C Dãy {pn}∞n=0 ⊂ Cxác định bởi

pn+1 = T pn, n ≥ 0,được gọi là dãy lặp Picard

Cho {an} là các dãy số thực trong [0, 1] Dãy {vn}∞n=0 ⊂ C được xác địnhbởi

vn+1 = (1 − an)vn + anT vn,được gọi là dãy lặp Mann

Dãy {un}n∞=0 ⊂ C được xác định bởi

zn = (1 − bn)un + bnT un,

un+1 = (1 − an)un + anT zn, n ≥ 0,được gọi là dãy lặp Ishikawa, với {an} và {bn} là các dãy số thực trong [0, 1].Gần đây, S Thianwan [93] đã giới thiệu dãy lặp hai bước như sau

yn = (1 − bn)xn + bnT xn, n ≥ 0,

xn+1 = (1 − an)yn + anT yn, n ≥ 0,

với {an}, {bn} ⊂ [0, 1]

Năm 1972, T Zamfirescu [111] đã đưa ra định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.15 Cho X là không gian mêtric Ánh xạ T : X → X thỏa mãnđiều kiện Zamfirescu nếu và chỉ nếu tồn tại các số a, b, c với 0 < a < 1, 0 <

(b) d(T x, T y) ≤ b[d(T x, x) + d(T y, y)];

(c) d(T x, T y) ≤ c[d(x, T y) + d(y, T x)]

Trong luận án này, ánh xạ thỏa mãn điều kiện Zamfirescu chúng tôi gọi

là ánh xạ Zamfirescu Hiển nhiên, chúng ta thấy rằng mỗi ánh xạ Zamfirescu

T thỏa mãn bất đẳng thức

d(T x, T y) ≤ δd(x, y) + 2δd(x, T x)

với mọi x, y ∈ X, δ = max

T Zamfirescu đã thu được kết quả thú vị về điểm bất động cho lớp ánh

xạ nói trên

Định lý 1.26 ([111]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X làánh xạ Zamfirescu Khi đó, T có duy nhất điểm bất động q và dãy lặp Picard(1.12) với p0 ∈ X hội tụ mạnh tới q

Gần đây, V Berinde [15, 16] đã mở rộng định lý trên như sau:

Định lý 1.27 ([16]) Cho X là không gian Banach, C là tập con lồi đóng của X,

và T : C → C là ánh xạ Zamfirescu Giả sử {vn}∞n=0 là dãy lặp Mann được

Định lý 1.28 ([15]) Cho X là không gian Banach, C là tập con lồi đóng của

X và T : C → C là ánh xạ Zamfirescu Giả sử {un}∞n=0 là dãy lặp Ishikawađược xác định bởi (1.14) với u0 ∈ C và {an}, {bn} là dãy số thực dương trong

thì các điều khẳng định sau là tương đương:

i) dãy lặp Picard xác định bởi (1.12) hội tụ mạnh tới x∗;

ii) dãy lặp Mann xác định bởi (1.13) hội tụ mạnh tới x∗;

iii) dãy lặp Ishikawa xác định bởi (1.14) hội tụ mạnh tới x∗

Gần đây, Isa Yildirim, Murat Ozdemir và Hukmi Kiziltunc [109] đã chứngminh định lý hội tụ mạnh cho dãy lặp hai bước đối với lớp ánh xạZamfirescu như sau:

Định lý 1.30 ([109]) Cho X là không gian Banach, C là một tập con lồi đóngcủa X và T : C → C là ánh xạ Zamfirescu Giả sử {xn}∞n=0 là dãy lặp haibước được xác định bởi (1.15), với {an} và {bn} ∈ (0, 1) thỏa mãn

∞

an = ∞

n=0

Khi đó, {xn}∞n=0 hội tụ mạnh tới điểm bất động của T

Trong [109] cũng chỉ ra sự tương đương giữa các dãy lặp như sau:Định lý 1.31 ([109]) Cho X là không gian định chuẩn, C là một tập con khácrỗng, lồi đóng của X và T : C → C là ánh xạ Zamfirescu Nếu p0 = v0 = u0 =

x0 và an ≥ α > 0 ∀n ∈ N, thì các khẳng định sau là tương đương:

i) dãy lặp Picard hội tụ mạnh tới x∗;

ii) dãy lặp Mann hội tụ mạnh tới x∗;

iii) dãy lặp Ishikawa hội tụ mạnh tới x∗;

iv) dãy lặp hai bước hội tụ mạnh tới x∗

Để so sánh tốc độ hội tụ của các phương pháp lặp, Berinde đã đưa rađịnh nghĩa tốc độ của hội tụ của dãy

Định nghĩa 1.16 ([75]) Cho {an}∞n=0 và {bn}∞n=0 là hai dãy số thực hội tụ lầnlượt đến a và b Khi đó {an} được nói là hội tụ nhanh hơn {bn} nếu

Dưới đây chúng tôi sẽ chỉ ra rằng dãy lặp Picard hội tụ nhanh hơn dãylặp hai bước và dãy lặp hai bước hội tụ nhanh hơn dãy lặp Mann vàIshikawa cho lớp ánh xạ Zamfirescu

Trong các định lý dưới đây chúng tôi giả sử δ là hằng số trong (1.16).Định lý 1.32 Cho X là không gian Banach thực, C là tập con khác rỗng, lồiđóng của X và T : C → C là ánh xạ Zamfirescu Giả sử {pn }∞n=0 được xác địnhbởi (1.12) với p0 ∈ C và {xn}∞n=0 được xác định bởi (1.15) với x0 ∈ C và

Áp dụng tiêu chuẩn D’ Alembert, ta có

nghĩa là, ||pn − q|| = ◦(||xn − q||) Bởi Định nghĩa 1.16, chúng ta thu được kếtluận của Định lý 1.32

Bây giờ, chúng tôi sẽ đưa ra ví dụ thỏa mãn các giả thiết của Định lý 1.32

Ví dụ 1.1 Giả sử

T : [0, 1] → [0, 1],

an = bn = 0, n = 0, 1, , n0;

Dễ thấy T là ánh xạ Zamfirescu với điểm bất động duy nhất x∗ = 0 và T, an,

bn thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.32

Định lý 1.33 Cho X là không gian Banach thực, C là tập con lồi đóng của

X và T : C → C là ánh xạ Zamfirescu Giả sử {vn}∞n=0 xác định bởi (1.13) với

v0 ∈ C, {xn}n∞=0 xác định bởi (1.15) với x0 ∈ C và {an} ⊂

với m > 0 nào đó thỏa mãn

∞

(i) an = ∞;

n=0

33