PHẦN MỞ ĐẦUChúng ta biết rằng máy tính bỏ túi MTBT là một trong những cơng cụ tích cực trong việc dạy và học tốn, giúp cho giáo viên và học sinh giải quyết được nhiều vấn đề được coi là
Trang 1PHÒNG GD-ĐT GIÁ RAI TRƯỜNG THCS THẠNH BÌNH
CHUYÊN ĐỀ:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH CASIO
Người thực hiện: Phạm Văn Lợi
Tổ : Toán-Lí
N¨m häc : 2011 - 2012
Trang 2A PHẦN MỞ ĐẦU
Chúng ta biết rằng máy tính bỏ túi (MTBT) là một trong những cơng cụ tích cực trong việc dạy và học tốn, giúp cho giáo viên và học sinh giải quyết được nhiều vấn đề được coi là khĩ đối với chương trình phổ thơng đang học Học sinh cĩ thể dùng máy tính thực hiện các phép tính phức hợp nhanh chĩng, chính xác và tiết kiệm được nhiều thời gian
Thực tế hiện nay trong việc thi cử địi hỏi học sinh phải thực hiện việc tính tốn nhanh chĩng và chính xác (ví dụ như các mơn thi trắc nghiệm :Tốn,Vật lí,Hĩa học….) nếu khơng cĩ MTBT hỗ trợ thì học sinh khĩ cĩ thể hồn thành bài thi một cách tốt nhất
Trong thực tế thời gian giảng dạy ,cũng như ơn tập bồi dưỡng học sinh giỏi
mơn“Giải tốn bằng máy tính bỏ túi” ở trường THCS tơi thấy đã cĩ rất nhiều tài liệu,bài viết… về việc “giải tốn bằng MTBT “ nĩi chung và “Tìm hệ số của đa thức
một biến” nĩi riêng ,trong phạm vi hiểu biết của bản thân, tơi xin hệ thống lại
“Phương pháp tìm hệ số của đa thức một biến” mà một số tài liệu đã trình bày và xin
nêu ra một cách mới để thực hiện cơng việc này
Đây là một vấn đề mới, một hướng mới trong quá trình dạy và học tốn, nhưng tơi cũng mạnh dạn xin đưa ra đây để các anh chị em đồng nghiệp xem xét và gĩp ý
B NỘI DUNG
I.Bài tốn ví dụ :
Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d và cho biết P(1) = 5; P(2) = 7 ; P(3) = 9; P(4) = 11.Tìm các hệ số a ; b ; c ; d của đa thức trên Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13)
Giải 1.Các phương pháp thường dùng để giải bài tốn trên:
Cách 1 : (Dùng phương pháp đồng nhất thức)
Đặt P(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) + a’(x-1) (x-2) (x-3) + b’(x-1) (x-2) + c’(x-1) + d’
Với x=1 => P(1)= d’=5
x=2 => P(2)= c’+5=7 => c’=2
x=3 => P(3)= 2b’+ 4+5=9 => b’=0
x=4 => P(4)= 6a’+6+5=11 => a’=0
Do đĩ P(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) + 2(x-1) + 5= x4 -10x3 + 35x2 - 48x + 27
Vậy a = -10 ; b = 35 ; c = -48 ; d = 27
Nhập biểu thức x4 -10x3 + 35x2 - 48x + 27 vào máy ta tính được: P(10)=3047 ; P(11)=5065 ; P(12)=7947; P(13)=11909
Cách 2 : (Lập hệ phương trình)
Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d và cho biết P(1) = 5; P(2) = 7 ; P(3) = 9; P(4) = 11.Tìm các hệ số a ; b ; c ; d của đa thức trên Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13)
Trang 3x=4 => 256+64a+16b+4c+d=11 (4)
Giải hệ phương trình trên ta được a = -10 ; b = 35 ; c = -48 ; d = 27
Vậy P(x) = x4 -10x3 + 35x2 - 48x + 27
Và từ đây ta tính được P(10); P(11); P(12); P(13) như cách 1
Cách 3 : (Tìm quy luật số dư)
Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d và cho biết P(1) = 5; P(2) = 7 ; P(3) = 9; P(4) = 11.Tìm các hệ số a ; b ; c ; d của đa thức trên Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13)
Giải
Ta có 5=2.1 + 3 ; 7 = 2.2 + 3 ; 9 = 2.3+3 ; 11 = 2.4+3
5,7,9,11 là giá trị của 2x+3 khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2,3,4
=> P(1)- 2.1 + 3=0 ; P(2)- 2.2 + 3=0 ; P(3)- 2.3 + 3=0 ; P(4)- 2.4 + 3=0
Đặt Q(x)= P(x) - (2x+3) => Q(1)= Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0
Điều này chứng tỏ 1 ; 2 ; 3 ; 4 là nghiệm của Q(x )
Suy ra : Q(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) (hệ số bậc cao nhất bằng 1)
=> P(x) = Q(x)+(2x+3) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4)+(2x+3) = x4 -10x3 + 35x2 - 48x + 27
Vậy : a = -10 ; b = 35 ; c = -48 ; d = 27
Và từ đây ta tính được P(10); P(11); P(12); P(13) như cách 1
2.Phương pháp giải đề xuất thêm :
Cách 4 :
Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d và cho biết P(1) = 5; P(2) = 7 ; P(3) = 9; P(4) = 11.Tìm các hệ số a;b;c;d của đa thức trên Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13)
Giải
Đặt P(x)= (x-1) (x-2) (x-3) (x- 4) + g(x)
=> P(1) = g(1); P(2) = g(2); P(3) = g(3) (*)
Ta thấy bậc của g(x) không lớn hơn 3 (vì bậc của P(x) là 4 ), giả sử g(x)=Ax2 +Bx+C kết hợp với (*) ta có hệ sau :
Với P(1) = g(1) ⇔A+B+C = 5 (1)
P(2) = g(2) ⇔4A+2B+C = 7 (2)
P(3) = g(3) ⇔9A+3B+C = 9 (3)
Trang 4Vậy g(x)= 2x + 3
Suy ra P(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x- 4) + 2x + 3 = x4 -10x3 + 35x2 - 48x + 27
Vậy : a = -10 ; b = 35 ; c = -48 ; d = 27
II.Kết quả thực hiện :
Trong năm học 2010-2011,2011-2012 vừa rồi,trong việc ơn học sinh giỏi mơn
MTBT ,tơi đã áp dụng phương pháp thứ tư nêu trên để tìm hệ số của đa thức một
biến thấy nĩ rất hiệu quả : 100% học trị giải quyết tốt các bài tốn tìm hệ số của đa thức một biến Và giờ đây,việc tìm hệ số của đa thức một biến khơng cịn là vấn đề
khĩ đối với chúng tơi nữa
III.Bài học kinh nghiệm:
Qua ví dụ trên ta thấy, cĩ rất nhiều cách khác nhau để tìm hệ số của đa thức một biến.Mỗi cách giải đều cĩ tính ưu việt cũng như hạn chế của nĩ.Việc chọn cách giải quyết nào thì tùy thuộc vào từng bài tốn cụ thể và cịn tùy thuộc vào thế mạnh riêng của từng người
Tuy nhiên qua thực tế ứng dụng cách giải thứ 4 trong tài liệu này thì cĩ thể
giải quyết tốt dạng tốn trên,tiết kiệm thời gian hơn rất nhiều so với ba phương pháp cịn lại,tuy nhiên nếu bài tốn cho cĩ số ẩn nhỏ hơn 3 thì ta nên dùng cách 2 (lập hệ phương trình) thì hiệu quả sẻ nhanh hơn
C KẾT LUẬN
Trên đây là một số phương pháp tìm hệ số của đa thức một biến mà trong
quá trình giảng dạy, bồi dưỡng HS, trao đổi cùng đồng nghiệp mà bản thân tôi đã tổng hợp được Hy vọng việc làm này của tơi sẽ giúp ích được các em học sinh,các đồng chí,đồng nghiệp cĩ thêm tài liệu học tập và nghiên cứu về mơn MTBT Vì khả năng và thời gian hạn chế nên tơi xin dừng vấn đề tại đây Rất mong được sự gĩp ý của các bạn để tài liệu này được hồn thiện và mang tính áp dụng rộng rãi hơn
Tân Phong,ngày 12 tháng 04 năm2012
Người viết
Phạm Văn Lợi
Trang 5MỤC LỤC
1 Lý do chọn đề tài 02
2 Nợi dung 02
3 Kết luận 06
4.Tài liệu tham khảo 07
Trang 6TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Hướng dẫn sử dụng và giải toán bằng MTBT của vụ THPT
2.Giải toán trên máy tính điện tử Casio fx-500 MS ,fx-570MS của TS Tạ Duy Phượng –NXB GD
3.Một số đề thi các cấp về Giải toán bằng MTBT……