Mot so phuong phap tim chu so tan cung cua mot so

- Thông qua đề tài học sinh có thể nắm một số phương pháp và có thể vận dụng vào giải bài toán từ đơn giản đến phức tạp, rèn kĩ năng tìm chữ số tận cùng và các tính chất chia hết của mộ[r]

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Ai cũng biết toán học rất khó học nhưng toán học là cơ sở củamọi nghành khoa học, vì thế môn toán đóng một vai trò quan trọngtrong nhà trường Thông qua môn toán, học sinh nắm vững các kiếnthức toán học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụngnhững kiến thức đã học vào các ngành khoa học kỹ thuật, ứng dụngtrong lào động, trong quản lý kinh tế, trong việc tự học, tự nghiên cứukhoa học… Để giúp học sinh học tốt môn toán đòi hỏi người thầy giáophải có sự lào động sáng tạo nghiêm túc

Học sinh học toán, một khoa học rất sáng tạo và hấp dẫn đòi hỏihọc sinh phải tích cực chủ động tiếp cận kiến thức mới dưới sự hướngdẫn của giáo viên Chính vì vậy trong quá trình dạy tôi đã cố gắng dạycho học sinh cách định hướng phương pháp giải bài tập trước mỗidạng bài Là một giáo viên dạy toán trung học cơ sở, trong những nămqua tôi đã đặt ra cho mình một nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ranhững phương pháp thích hợp cho giảng dạy, những vấn đề cụ thể phùhợp với đối tượng thực tế Một trong những chuyên đề mà tôi tâm đắcnhất là

“ Một số phương pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên”.

Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên là dạng toán hay vàkhó Đa số các tài liệu về dạng toán này đều sử dụng khái niệm đồng

dư, một khái niệm trừu tượng và không có trong chương trình Vì thế

có không ít học sinh, đặc biệt là các bạn lớp 6 và 7 khó có thể hiểu vàtiếp thu được

Qua đề tài này, tôi xin trình bày với các bạn thêm một số tínhchất và phương pháp giải bài toán “tìm chữ số tận cùng”, chỉ sử dụngkiến thức trung học cơ sở.

Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số màchỉ biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó Chẳng hạn, khi so xổ sốmuốn biết có trúng thưởng những giải cuối hay không ta chỉ cần so haichữ số cuối cùng Trong toán học, khi xét một số có chia hết cho 2; 4;

8 hoặc chia hết cho 5; 25; 125 hay không ta chỉ cần xét 1; 2; 3 chữ sốtận cùng của số đó

Tìm chữ số tận cùng của những lũy thừa bậc thấp, đơn giản họcsinh dễ dàng biết được Vấn đề đặc ra đứng trước những lũy thừa bậccao dựa vào đâu học sinh định hướng được cách giải?

Trong một số năm giảng dạy tôi đã đúc kết một số kinh nghiệmtìm chữ số tận cùng của một lũy thừa để cũng cố cho học sinh nhằmnâng cao kết quả học tập của học sinh nhất là đối với học sinh khágiỏi sau đây mong các đồng nghiệp tham khảo góp ý kiến cho tôi

II NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI

- Đề tài đưa ra một hệ thống các phương pháp tìm một chữ số tận cùng,hai chữ số tận cùng và ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên hay mộtbiểu thức số tự nhiên

- Trang bị cho học sinh lớp 6 đặc biệt là học sinh lớp chuyên chọn cókiến thức sâu rộng hơn

- Tạo tiền đề cho các em có kiến thức học tập cao hơn

- Thông qua đề tài học sinh có thể nắm một số phương pháp và có thểvận dụng vào giải bài toán từ đơn giản đến phức tạp, rèn kĩ năng tìmchữ số tận cùng và các tính chất chia hết của một số, đồng thời giúphọc sinh thấy được cái hay, cái đẹp, sức hấp dẫn của toán học đem lại,kích thích tò mò, khám phá tìm hiểu bài toán hơn

- Nghiên cứu về bài toán tôi ra được các phương pháp giải bài tập khácnhau để các em giải bài tập cụ thể một cách dễ dàng hơn Khi dó họcsinh sẽ có được phương pháp phân tích tư duy một cách tổng hợp toán

học, nâng cao năng lực giải bài toán và có nghị lực vượt qua khó đểgiải bài toán.

- Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh còn lúngtúng trong tìm chữ số tận cùng Từ đó tôi đã tìm hiểu các tài liệu đểphân dạng cho học sinh các cách làm dễ hơn Mỗi dạng tôi đưa ra cơ

sở lý thiết và một số bài tâp cụ thể để các em nắm chắc hơn các dạngtoán và các cách làm với những dạng toán đó

- Khi nghiên cứu về dạng toán tìm chữ số tận cùng để tôi nâng caonâng lực chuyên môn và làm tư liệu dạy cho học sinh giỏi

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đề tài ‘Một số phương pháp tìm chữ số tận cùng của một số tựnhiên” áp dụng chủ yếu cho học sinh lớp 6 và có thể cho học sinh cáclớp 7, 8, 9 Mục đích bồi dưỡng học sinh khá giỏi, phục vụ cho các kìthi cuối kỳ, cuối năm, thi học sinh giỏi, thi giải toán qua mạng Internet(Violympic Toán)…

IV PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Thực hiện đối với học sinh lớp 6A1 trường THCS Phương Phú – Phụng Hiệp – Hậu Giang.

Thực hiện từ đầu học kì I đến cuối năm học 2008-2009

V QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1 Khảo sát thực tế:

1.1 tình trạng thực tế khi chưa sử dụng đề tài:

Khi chưa thực hiện đề tài, các em gặp bài toán tìm chữ số tận cùnghoặc bài toán liên quan, đa số các em hay mắc sai lầm trong lời giải,lời giải không chặt chẽ, kết luận không sâu sắc

1.2 Số liệu điều tra trước khi thực hiên đề tài:

Kiểm tra 40 học sinh lớp 6A1 các bài toán sau:

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của số : A= 9 9 9

B NỘI DUNG

PHẦN I KIẾN THỨC CƠ BẢN PHẦN I.I PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG HOẶC MỘT SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ

Nhận xét 2: ta có:

24k = 16k ≡ 6 ( mod 10)

34k = 81k ≡ 1 ( mod 10)

74k = 492k ≡ 1 (mod 10) Nhận xét 3: Các số tự nhiên bất kì, nếu nâng lên luỹ thừa 4n + 1 thì chữ số tận cùng của nó không thay đổi

Các nhận xét 1 và 2 là hiển nhiên Nhận xét 3 dễ dàng chứng minh

Xem số tự nhiên : A=nk với n, k N

1.Muốn tìm chữ số tận cùng của A chỉ cần biểu diễn A dưới dạng:

A = 10a + b = ab ⇒ b là chữ số cuối cùng của A

Ta viết:

A = nk = (10q + r)k = 10t + rk với r N; 0 r 9

Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số rk

- Nếu A = 100a + bc = a bc thì bc là hai chữ số cuối cùngcủa A

- Nếu A = 1000a + bcd = a bc d thì bc d là ba chữ số cuốicùng của A

- Nếu A=10m.am + a m − 1 a0 = a m a1a0 thì a m − 1 a0 là mchữ số cuối cùng của A.

= 10q + (25)3.22 = 10q + (10q + 2)3 22

= 10t + 25 = 10t + 2

Vậy B có chữ số cuối cùng là 2

Phương pháp 2: Nhận xét về lũy thừa.

I Cơ sở lý thuyết: nhận xét về lũy thừa

- an là một lũy thừa

Các trường hợp đặt biệt:

1.các số có dạng:

+ ( a 0 )n tận cùng bằng 0

Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của tổng sau:

T = 21 + 35 + 49 + + 20048009

Giải:

Chú ý rằng tất cả các số mũ đều có dạng 4(n-2) +1 với n 2 nên tất cả các số hạng của tổng đều có tận cùng là tận cùng của chính

số đó khi không lấy luỹ thừa

Bài 7: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho số n 2 + n + 1 chia hết cho 2005 2005

Giải:

Số 20052005 có tận cùng là 5 nên nó chia hết cho 5

ta có n2 + n + 1 = n(n+1) +1 chỉ có thể có các chữ số tận cùng là 1, 3, 7.nên nó không chia hết cho 5

Vậy không tồn tại n

Bài 8: chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương

vậy tổng M có tận cùng là 7 nên nó không là số chính phương vì các

số chính phương chỉ có thể có tận cùng là 0; 1;4;9;6;5

b/ ta có: 20042004k = (2000 + 4)2004k = 10n + 42004k = 10n + 161002k có tận cùng là 6

Nên N có tận cùng là 3 nên N không thể là số chính phương

Bài 9: cho P là số nguyên tố lớn hơn 5 chứng minh rằng ( P 8n + 3p 4n - 4 )⋮5.

Nên tổng trên cũng chia hết cho 5

Tóm lại với p nguyên tố lớn hơn 5 thì tổng luôn chia hết cho 5

1 Định nghĩa: Cho số nguyên M>0, hai số nguyên a và chia cho m có

cùng số dư ta nói a đồng dư với 6 theo mô đun m và viết a  b(modm)

2 Định lý: Ba mệnh đề sau tương đương với nhau:

a.a đồng dư với b theo mô đun m

b.a-b chia hết cho m

c.có một số nguyên t sao cho a = b + m.t

suy ra: a ± b ± d (mod m) ac ≡ bd (mod m)

Hệ quả: a+c b (mod m) ⇒ a b - c (mod m)

Hệ quả: (m1, m2, …, mn ) = 1 và nguyên tố từng đôi

Suy ra: a b (mod m1), a b (mod m2),……a b (mod mn)

* Ta có: 62 = 36 6 mod 10 suy ra 6n = 6 mod 10

Ba chữ số tận cùng là N c (mod 1000) suy ra tận cùng là c:c<1000

………

m chữ số tận cùng là N K (mod 10…0) suy ra tận cùng là k:K<10…0

Việc chứng minh tính chất trên là không khó, xin dành cho các bạn.Như vậy muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x=am trước hết

ta xác định chữ số tận cùng của a

- Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tậncùng là 0, 1, 5, 6

- Nếu chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9 vì am=a4n+r=a4nar với r=0, 1, 2,

3 nên từ tính chất 1c suy ra chữ số tận cùng của x chính là chữ sốtận cùng của ar

-Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8 cũng như trường hợp trên từtính chất suy ra chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của6.ar

Bài 1: Chữ số tận cùng của 187 324

Giải:

Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên lũy thừa bậc 4 thì có tậncùng bằng 1 Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên lũy thừa nào (khác0) cũng tận cùng bằng 1 do đó

187324 =(1874)81=(…1)81=(…1)

Vậy chữ số tận cùng của 187324 là 1

Bài 2: Chứng minh rằng 8 102 -2 102 chia hết cho 10

Giải :

Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 nâng lũy thừa 4 thì đựơc

số có tận cùng là 6 Một số có tận cùng bằng 6 nâng lên lũy thừanào (khác 0) cũng tận cùng bằng 6 Do đó ta biến đổi như sau:

Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cáchtính tổng các chữ số tận cùng của các lũy thừa trong tổng.

Từ tính chất 1 tiếp tục suy ra tính chất 3

3.Tính chất 3:

a) Số chữ số tận cùng là 3 khi nâng lũy thừa 4n+3 sẽ có chữ sốtận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 3

b) Số chữ số tận cùng là 2 khi nâng lũy thừa 4n+3 sẽ có chữ sốtận cùng là 8; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 2

c) Các chữ số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lênlũy thừa bậc 4n+3 sẽ không thay đổi chữ số tận

Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của tổng

Như vậy, Tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng

Vậy không tồn tại số tự nhiên sao cho n2 + n+1 chia hết cho 19952000

Sử dụng tính chất “Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi cácchữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9; ta có thể giải được bài toán sau:

Bài toán 3: Chứng minh rằng các tổng sau không thể là các số chính

phương:

a) M=19k+5k+1995k+1996k (với k chẳn)

b) N=20042004k+2003

Sử dụng tính chất một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bằngcác chữ số 1; 3; 7; 9; ta tiếp tục giải được bài toán:

Bài toán 4: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5,

Chứng minh rằng: p8n3.p4n-4 ⋮ 5

PHẦN I.II: PHƯƠNG PHÁP TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG HOẶC HAI SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN

Phương pháp 1: Nếu xN và x=100+y; trong đó k; y  N thì hai chữ

số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y

Hiển nhiên là y ≤ x, như vậy để đơn giản hơn việc tìm hai chữ số tậncùng của hai số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùngcủa hai số tự nhiên y (nhỏ hơn)

Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơngiản hơn

Từ nhận xét trên ta có thể đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùngcủa hai số tự nhiên x=am như sau:

Trường hợp 1: Nếu a chẳn thì x=am ⋮ 2m

Gọi n là số tự nhiên sao cho an-1 ⋮ 25

Tiếp theo ta tìm chữ số tận cùng của aq

Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho an-1 ⋮ 100

Viết m=un+v (u,v  N, 0 ≤ v < n ) ta có

X=am=av (aun-1)+av

Vì an-1 ⋮ 100 Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ

số tận cùng của av Tiếp theo ta tìm hai chữ số tận cùng của av

Khoảng trong hai trường hợp trên chìa khóa để giải được bàitoán này là chúng ta phải tìm đựoc số tự nhiên n Nếu n càng nhỏ thì q

và v càng nhỏ nên sẽ dể dàng tìm ra hai chữ số tận cùng của aq và av

Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76

Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của số: C=2999, D=3999

Bài 5: Tìm hai chữ số tận cùng của số.

A.Ta có: 2999=21000 : 2

Ta có: 220 = 1048576 1 (mod 25)

Suy ra: (220)50 150 (mod 25)

21000 1 (mod 25)

21000 chia cho 25 dư 1

21000 Có hai chữ số tận cùng là 1; 26; 51; 76; nhưng 21000 ⋮ 4 suy rahai chữ số tận cùng của nó là 88

b Ta có: 34 19 (mod 100) suy ra 38 192 6 (mod 100)

310 61.9 49 (mod 100) suy ra 3100 492 1 (mod 100)

Suy ra: 31000 01 (mod 100)

Nghĩa là hai chữ số tận cùng của 31000 là 01

Số 31000 ⋮ 3 nên chữ số hàng trăm của nó khi chia cho 3 phải dư 2(chia tiếp thì số 201: 3 nếu số dư là 0,1 thì 001; 101 không chia hết cho3)

Vậy 3999=31000 ⋮ 3 có hai chữ số tận cùng là 76

Bài 7: Tìm hai chữ số tận cùng của số: D= 999

Giải:

Ta có: 92=81 1 (mod 10) suy ra 98 (92)n 1 (mod 10)

Suy ra 99 1.9 9 (mod 10) suy ra 99 10k+9 (k  N)

Ta có: 1997 7 (mod 10) suy ra 19972 49 9 (mod 10)

Suy ra 19974 1 (mod 10) suy ra (19974)409 1 (mod 10)

Vậy số A = 999 có hai chữ số cuối cùng là 89

Bài 12: Tìm hai chữ số tận cùng của số: B 999

TỰ NHIÊN TRỞ LÊN.

Phương pháp 1 Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một lũy thừa,

Vậy ba chữ số cuối cùng của 213 là 192.

PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG

Có thể dùng bài toán tìm ba chữ số tận cùng để chứng minh chia hết,nhận xét số có phải là số là số chính phương hay không, tìm số dưtrong phép chia

Bài 1: Chứng minh tồn tại m N để số 3 m tận cùng là 001 Giải

Ta chứng minh tồn tại n N để 3n – 1 ⋮ 103

Xét dãy gồm 1000 số hạng 3; 32; 33;…; 3 10 3

(*)Chia các số hạng của dãy (*) cho 103 thì số dư của phép các chia có thể

là

1; 2; 3;…; 999 (Vì 3n không chia hết cho 103 với mọi n thuộc N) mà có

1000 phép chia nên ít nhất có 2 số có cùng số dư khi chia cho 103

Vậy tồn tại n N cho 3n tận cùng bằng 001

Bằng phương pháp tương tự ta có thể giải được bài toán khó hơn nhưsau:

Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại n N, Sao cho số 3 n tận cùng là 000001

Giải

Ta chứng minh tồn tại n N để 3n -1 ⋮ 106

Xét dãy gồm 1000000 số hạng 3; 32; 33;…; 3 10 6

(*)Chia các số hạng của dãy (*) cho 106 thì số dư của các phép chia có thể

là

1; 2; 3;…; 99999 (Vì 3n không chia hết cho 106 với mọi n thựôc N) mà

có 1000000 phép chia nên ít nhất có 2 số có cùng số dư khi chia cho

106

(Nguyênlý Dirichle)

Gọi 2 số đó là 3i và 3j với i, j N, 1 i < j 106 suyra: 3j – 3i ⋮ 106

suy ra: 3i(3j-i – 1) ⋮ 106 mà (3i,10) =1

(3i,106) = 1 ⇒ 3j-i – 1 ⋮ 106

Vậy tồn tại n N cho 3n tận cùng bằng 000001

Bài 3 Chứng minh răng 26 1570 chia hết cho 8

Một số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8

Vậy 261570 chia hết cho 8

Bài 4: Chứng minh rằng n 5 và n có chữ số tận cung giống nhau

Bài 8:

Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên đầu tiên n:

a/74n-1 chia hết cho 5

d/14101 16101

PHẦN IV KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH VÀ ĐỐI CHỨNG

Sau một thời gian kiên trì thực hiện các phương pháp trên các

em rất thích loại toán này và có khả năng giải tốt các bài toán tìm chữ

số tận cùng và các bài toán liên quan

- Rèn kĩ năng tính toán, biến đổi, chính xác khi phát biểu và vận dụngcác dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 5 Xây dựng ý thức học tập tự giác,tích cực và tinh thần hợp tác trong học tập

II Phương tiện dạy học

Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng

2 Viết số 43¿∗

¿ dưới dạng tổng của hàng

1240 = 124 10 =

124 2 5Đều chia hết cho 2

và 5Những số có chữ số tận cùng là 0

Học sinh nhắc lại vài lần

Thay bằng các số 1,

3, 5, 7, 9

Có chữ số tận cùng bằng 1, 3,

1 Nhận xét mở đầu

VD:

* 20 = 2 10 = 2 2 5 Chia hết cho 2, cho 5

* 30 = 3 10 = 3 2 5 Chia hết cho 2, cho 5

* 610 = 61 10 = 61 2 5 Chia hết cho 2, cho 5

* 1240 = 124 10 =

124 2 5Chia hết cho 2, cho 5

Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng

Vậy các số như thế nào

thì không chia hết cho 2

Các số có chữ số tận cùng là số chẵn Không chia hết cho 2

Số 328 và 1234 chia hết cho 2

Số 1437, 895 không chia hết cho 2

0 và 5Học sinh thảo luận, trình bày

Các số 1437 và 895 không chia hết cho 2

3 Dấu hiệu chia hết cho5

Tổng quát :SGK

2 Ta có 370 và 375 chia hết cho 5

4.Bài tập

Bài 93 Sgk/38a.Chia hết cho 2, không chia hết cho 5

b.Chia hết cho 5, khôngchia hết cho 2

c.Chia hết cho 2, không cia hết cho 5