RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH TÍCH PHÂNA.. Học sinh cần nắm vững các công thức tính nguyên hàm sau: 1 1 1.
Trang 1RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH TÍCH PHÂN
A Học sinh cần nắm vững các công thức tính nguyên hàm sau:
1
1
1 2 +C ( -1)
1
5 6
ln
7 sin
x
x
x
a
a xdx
α α
α α
α α
+
−
+
−
= −
9 dx = tanx+C 10 dx= - cotx+C
Chú ý:
f x dx F x( ) ( ) C f ax b dx( ) 1F ax b( ) C a( 0)
a
B Các dạng tích phân thường gặp:
b
a
p x
dx c
+
Nếu bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng 1 ta chia tử cho mẩu ta được các tích phân có dạng:
b
a
x dxα α ≠
1 1
b
a
xα
α
+
+
+
1 ln
b
b a a
dx
cx d
cx d =c + +
∫
Ví dụ: Tính
1 2 1
−
+ −
=
−
∫ x x
x
Giải
1 1
2
1 1
31
ln 2 3
17 31
−
−
∫
b
a
P x
dx
= + +
∫ ( P(x) là một đa thức) Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng 2 ta chia tử cho mẩu ta được các tích phân có dạng:
b
a
x dxα α ≠
1 1
b
a
xα
α
+
+
+ I 1 2
b
a
Ax B
dx
+
= + +
∫
Cách tính I 1 :
x2+px q+ =0 vô nghiệm ( ∆ <0)
x p+ − + =p B x p+ + B−
2
+
Trang 2* I2 = 22
b
a
x p dx
+ + +
∫ Đặt t = x2 +px+q ⇒ =dt (2x p dx+ ) Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I2 dt lnt
t
β
β α α
=∫ =
2 2
2
m p
Đặt tan
2
p
x+ = m t ⇒dx= m(1 tan )+ 2t dt
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
2
[ ] tan
β α
+
+
Ví dụ:
Tính
3 2 2
+
=
− +
∫ x
Giải
2
2
+ I =
+ = − + + = − +
−
− +
=
∫
x
x
Đặt
tan t ;
3
1 tan 2
π π
− = ∈ −
Đổi cận
2
3 3
6
π π
= ⇒ = −
= ⇒ = −
6 2
3
ln 3
I
π
π
π
π
−
−
−
∫
x2+px q+ =0 có nghiệm kép
2
p
x= (∆ =0)
Trang 3
2
2
2
p
+ +
=
b
a
dx
+
2
2
b
a
p x
Ví dụ:
Tính
1 2 1
x
+
= + +
∫
Giải
Ta có:
2
2 2
2
1 1
∫
x2+px q+ =0 có 2 nghiệm x 1, x 2 (∆ >0)
2
2 1
b
b a a
∫
Ví dụ:
Tính
3 2 2
x
−
=
− −
∫
Giải
Ta có:
2
3
2
A
A B
A B
B
=
+ =
− + = −
Trang 43 3
2 2
III/ Tích phân dạng: I = (sin ,cos )
b
a
∫
R( sin ,cos )− x x = −R(sin ,cos )x x ( lẽ đối với sinx )
I = (sin ,cos )sin
b
a
∫
Đặt t = cosx ⇒ − =dt sinxdx
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I g t dt( ) [G t( )]
β β
=∫ =
Ví dụ:
Tính
0 sin cos
π
=∫
Giải
2
0 (1 cos ) cos sin
π
=∫ − Đặt t =cosx⇒ = −dt sinxdx
Đổi cân: 0 1; 0
2
= ⇒ = = ⇒ =
1
2
t t
I = −t t −dt = t −t dt = − =
(sin , cos )R x − x = −R(sin ,cos )x x ( lẽ đối với cosx )
I = (sin ,cos ) cos
b
a
∫
Đặt t = sinx⇒ =dt cosxdx
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I g t dt( ) [G t( )]
β β
=∫ =
Ví dụ :
Tính 2
2 0
cos (1 sin )
x
x
π
= +
∫
Giải Đặt t = sinx ⇒dt = cosxdx Đổi cận : x = 0 ⇒t = 0 ; x = π2 ⇒t = 1
1 1
2
0 0
dx I
−
+ +
∫
( sin , cos )R − x − x =R(sin ,cos )x x ( chẵn đối với sinx và cosx )
Đặt t = tanx ⇒ = +dt (1 tan2x dx)
Trang 5Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I g t dt( ) [G t( )]
β β
=∫ =
Ta có:
1 ; cos x=
t t
Ví dụ:
4
0 cos
dx I
x
π
=∫ Giải
4
4
0 cos
dx I
x
π
(1 tan )
Đặt t = tanx ⇒dt = 12
cos x dx Đổi cận: x = 0 ⇒t = 0 ; x = π4 ⇒t = 1
1
2
4 (1 )
t
= + = + =
∫
Hoặc dùng công thức hạ bậc:
sin2x = 1 cos 2
2
x
−
; cos2x = 1 cos 2
2
x
+
Ví dụ:
0 sin
π
=∫
Giải
0 0
π
∫
Ngoài 3 trường hợp trên đặt: t = tan
2
2
(1 tan )
t
+
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I g t dt( ) [G t( )]
β β
=∫ =
Ta có:
sinx =
2
; cosx=
t t
+
Ví dụ:
Tính 2
0
1 sin
1 cos
x
x
π
+
=
+
∫
Giải:
Trang 6Đặt 2
2
t
+ ; Đổi cận: x = 0 ⇒t = 0 ; x = 2
π ⇒t = 1
2 2 2 2
2 1
1
1 1
t
t x
t
+
−
+
2 a b x− + a b x+
sinax.sinbx = 1[cos( ) cos( ) ]
2 a b x− − a b x+
sinax cosbx = 1[sin( ) sin( ) ]
2 a b x− + a b x+
Ví dụ:
Tính 2
0 sin cos3
π
=∫
Giải:
2
0 sin cos3
π
0 0
b n a
cx d
ex f
+
Đặt t = n cx d
ex f
+ + ⇒ x = ( )ϕ t ⇒dx=ϕ'( )t dt
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I g t dt( ) [G t( )]
β
β α α
=∫ =
Ví dụ:
Tính
7 3 3 0
( 1)
x
x
+
=
+
∫
Giải
3
t
t= x+ ⇒ =t x+ ⇒ =x − ⇒dx t dt=
3
x= ⇒ =t x= ⇒ =t
3
2
1
t
t
t
V/ Tích phân dạng:
b
a
R x m x dx−
∫ ( m > 0) Đặt x= msint ;
2 2
∈ −
÷
⇒dx= mcostdt
Trang 7Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I g t dt( ) [G t( )]
β
β α α
=∫ =
Ví dụ:
Tính
2
0 4
I =∫x −x dx
Giải
Đặt x 2sin tt 2 2; dt 2 costdt
π π
−
2
x= ⇒ =t x= ⇒ =t π
0
1
4
π
I = ( , 2 )
b
a
R x x ±m dx
∫ Đặt t = +x x2± ⇒ =m x ϕ( )t ⇒dx=ϕ'( )t dt
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I g t dt( ) [G t( )]
β
β α α
=∫ =
Ví dụ:
Tính
1 2 0
1
I =∫ x + dx
Giải:
2
+ = − = Đổi cận: x= ⇒ =0 t 1;x= ⇒ = +1 t 1 2
1 2
+
+
Đặc biệt: các dạng tích phân sau
n
Đặt
2
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I g t dt( ) [G t( )]
β
β α α
=∫ =
Ví dụ:
Tính
1
0 1
I =∫x +x dx
Trang 8
I =∫x +x dx=∫x +x xdx Đặt t = x2+ ⇒ =1 t2 x2+ ⇒1 x2 = − ⇒t2 1 xdx tdt=
Đổi cận:
2
2 2 2
t t
I = t − t tdt= t −t dt = − = +
VI/ Tích phân dạng: I = (ln )
b
a
dx x
x
⇒
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
( )
I f t dt
β α
=∫
Ví dụ:
Tính
3
2 1
ln (1 ln )
x
=
+
∫
Giải:
Đặt t lnx dt dx
x
= ⇒ = ; Đổi cận: x= ⇒ =1 t 0;x= ⇒ =3 t ln 3
0
tdt
+
∫
VII/ Tích phân dạng:
I = ( ) ln
b
a
p x xdx
∫ Dùng phương pháp tích phân từng phần đặt
1 ' ln
( )
u
v p x dx
=
=
b b a a
I = uv −∫u vdx
I = ( )( ;sin ;cos )
b
x
a
(sin ;cos )
u p x
=
=
⇒
b b a a
I = uv −∫u vdx
Ví dụ:
1 ln( 3)
e
I =∫x x + dx Tính 2
0 cos
π
=∫
Giải: Đặt Đặt ' 1
2
3 3 2
2
2 '
2 3
2
x u
v x
=
0
π