skkn rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp đối với học sinh lớp 12

Phần hai: Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp Các dạng toán thường gặp :  Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy  Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy  Khối chóp đều  M

Trang 1

Hoạt động chủ đạo và thường xuyên trong quá trình học toán của học sinh là hoạtđộng giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo và khắc sâu kiến thức Do vậyviệc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinhnhững bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mốiquan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lậpsuy nghĩ và chủ động để giải bài tập và củng cố kiến thức

Sách giáo khoa Hình học 12 (chuẩn và nâng cao) có nêu nội dung về “tính thể tíchkhối đa diện”, phần lý thuyết thì rất đơn giản nhưng phần bài tập thì thật không hề đơngiản đối với học sinh Do kỹ năng giải toán hình học không gian nói chung và giải bài toánliên quan đến tính thể tích khối chóp nói riêng còn nhiều hạn chế nên các em thường bịmất điểm khi gặp những câu hỏi có liên quan đến nội dung này trong các đề thi tốt nghiệp

và tuyển sinh hàng năm

Cảm thông với những băn khoăn , lo lắng của các em và từ thực tế giảng dạy, tôi đãrút ra được một số kinh nghiệm trong việc thực hiện các bước cụ thể để hướng dẫn các emtính thể tích khối chóp Nhằm giúp các em chủ động ôn tập và tự tin chuẩn bị bước vàocác kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2015 sắp tới, ngay từ đầu năm học 2014 –

2015, tôi chọn viết và thực hiện đề tài: Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp đối

với học sinh lớp 12

1

Trang 2

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận

Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiếnhành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó Chẳng hạn, quy trình

bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :

 Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán

 Bước 2 : Tìm cách giải

 Bước 3 : Trình bày lời giải theo trình tự các bước thích hợp

 Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt vớihình học là hướng dẫn cho học sinh biết phân tích đề bài, thấy được sự liên quan giữa giảthiết và kết luận, biết dựng hình và định hướng được cách giải

Giải toán là một quá trình biến những tri thức tổng quát thành cái cụ thể, thành kinhnghiệm của bản thận, là một chặng đường nhiều thử thách, đòi hỏi sự nỗ lực bền bỉ và đanxen một chút sáng tạo của học sinh Vì tìm được cách giải một bài toán là một phát minh

Để giải một bài toán tính khoảng cách, ta thực hiện theo các bước sau :

 Bước 1 : Đọc đề và phân tích đề

 Bước 2 : Dựng hình phù hợp với nội dung của đề bài

 Bước 3 : Liên hệ nội dung cần chứng minh với các định lý, công thức có liên quan

để giải bài toán

Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giảitoán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một quá trình trừu tượng hoá vàkhái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học Do vậy, thông qua một số bài toán cụthể để hướng dẫn các em làm quen dần với các bước cụ thể, nhận biết các dạng bài tập,từng bước giúp các em hình thành kỹ năng, kỹ xảo, chủ động giải quyết các tình huốngxảy ra trong quá trình giải toán, là cơ sở để các em khắc sâu kiến thức

2 Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài

a Những khó khăn và những sai lầm mà học sinh thường mắc phải.

Trong đề tuyển sinh đại học – cao đẳng năm 2014 vừa qua, đề thi của khối A, A1, D

và cao đẳng đều có bài toán tính thể tích khối chóp Các em đều có chung một cảm nhận làcâu này khó, không làm được! Qua tìm hiểu và trao đổi với các em thì nguyên nhân chính

là vẽ hình chưa chuẩn xác, không xác định được đường cao của khối chóp và lúng túngtrong tính toán do nhớ sai công thức

Bài toán tính thể tích khối chóp rất đa dạng nên đã tạo ra không ít khó khăn trongquá trình hướng dẫn, truyền đạt của giáo viên và việc tiếp thu kiến thức của học sinh Tuy

Trang 3

nhiên nếu biết sắp xếp và phân tích cụ thể các yếu tố có liên quan của bài toán, biết gợi mởthì sẽ phát huy được tính tích cực của học sinh, tạo được hứng thú cho học sinh khi giảibài toán tính thể tích khối chóp

b Biện pháp khắc phục.

Khắc phục những hạn chế nêu trên, cần có những bước đi thật cụ thể:

+ Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, phải được thiết kế theo trình tự từ dễ đến khó,chú ý vào các dạng toán cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần với cácdạng toán có liên quan

+ Bài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng dẫn học sinh tacần điều chỉnh một số giả thiết cho phù hợp với khả năng nhận thức của các em

+ Cần tạo điều kiện cho các em có sự chuẩn bị bị ở nhà theo tổ nhóm, qua mỗi dạng toáncần hướng dẫn các em nhận xét để rút ra những bài học kinh nghiệm nhằm khắc sâu kiếnthức và rèn luyện kỹ năng giải bài toán tính toán

+ Giáo viên cần hướng dẫn các em dựng hình và đọc được các chi tiết trên hình, làm cơ sởđịnh hướng công việc cần làm theo một trình tự nhất định, qua đó nâng cao nhận thức củacác em trong nhận định và giải quyết công việc trong cuộc sống sau này

+ Qua mỗi bài tập, giáo viên cần hướng dẫn các em nhận xét là cở sở phân tích, suy luận

để giải quyết các bài tập khác có liên quan

Các giải pháp tôi nêu ra ở phần sau là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có,giải pháp mới này tỉ mỉ hơn, cụ thể và khoa học hơn; giúp các em tiếp thu và vận dụng tốthơn

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

Gồm hai phần:

Phần một: Hệ thống kiến thức liên quan đến bài toán tính thể tích khối chóp.

Phần hai: Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp

Các dạng toán thường gặp :

 Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

 Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

 Khối chóp đều

 Một số dạng khác

3

Trang 4

PHẦN MỘT

Hệ thống kiến thức liên quan đến bài toán tính thể tích khối chóp

Thông thường, bài toán về hình chóp được chia thành hai dạng như sau:

Hình chóp có cạnh bên, mặt bên

SA ABC SAB  ABC

Hình chóp tam giác đều Hình chóp tứ giác đều

Đa giác đáy:

- Tam giác vuông, tam giác cân

- Tam giác đều, tam giác thường

R



( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC)

 S ABC pr ( r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC)

 S ABC  p p a p b p c(  )(  )(  ) với: 2

a b c

p  

 Các tam giác đặc biệt: Tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

A

D O

Trang 5

Cho tam giác ABC cân tại A Tam giác cân

Gọi H là trung điểm của BC  AH BC

 AH BH.tanB CH tanC

 Diện tích tam giác ABC:

1 2

ABC

S  AH BC

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a Tam giác đều

Gọi H là trung điểm của BC  AH BC

 Độ dài đường cao:

3 2

(

Trang 6

 Độ dài đường chéo hình vuông ABCD cạnh bằng a

ABCD

 Hai đường chéo hình thoi ABCD: ACBD

Cho hình thang ABCD có AB CD/ / Hình thang

 Diện tích hình thang ABCD

1 2

H

P )

A d

b

a )

H

Trang 7

trong (Q) đường thẳng b vuông góc với d

Bước 2 Khi đó, góc giữa hai mặtt phẳng (P) và (Q) là góc

giữa hai đường thẳng a và b

5 Thể tích khối chóp

Công thức tính thể tích khối chóp:

1 3

V  Bh

Trong đó:  B là diện tích đa giác đáy  h là chiều cao của hình chóp

6 Thể tích khối tứ diện đều

Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a

(xem bài toán 20)

 Tất cả các các cạnh đều bằng nhau

 Tất cả các mặt đều là tam giác đều

 Gọi H là trọng tâm của tam giác BCD AHBCD, khi đó AH là đường cao của hình tứ diện đều.

 Thể tích khối tứ diện đều cạnh a:

A Phương pháp thực hiện Để giải bài toán tính thể tích khối chóp, cần thực hiện theo

các bước sau:

+ Bước 1 Đọc kỹ nội dung đề bài, phân tích và nhận dạng khối chóp

+ Bước 2 Xác định đường cao của khối chóp.

+ Bước 3 Dựng hình và thể hiện nội dung của giả thiết trên hình vẽ

+ Bước 4 Lập công thức tính thể tích khối chóp

+ Bước 5 Tính diện tích đa giác đáy và tính độ dài đường cao của khối chóp

B Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.

 Yêu cầu đối với giáo viên:

+ Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, thiết kế theo trình tự từ dễ đến khó, cần

chú ý vào các dạng bài tập cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần với các dạng toán có liên quan

+ Bài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng dẫn giải, giáo viên cần điều chỉnh một số giả thiết cho phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh

 Yêu cầu đối với học sinh:

7

S

H B

Trang 8

+ Cần nắm vững phần lý thuyết, thuộc công thức và hoạt động tích cực trong các tiết

bài tập

+ Qua mỗi dạng bài tập cần suy nghĩ để khắc sâu, làm cơ sở để hoàn thành các bài tập

theo yêu cầu của giáo viên

C Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp

1 Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

Bài toán 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông

góc với mặt đáy Biết AB a 2,AC SB a  3 với 0 a   Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Xác định đường cao của khối chóp

 SA vuông góc với mặt đáy

 SA là đường cao của khối chóp

 Đáy là tam giác ABC vuông tại B

 Lập công thức tính thể tích khối chóp

 Tính độ dài cạnh góc vuông BC

 Tính diện tích tam giác ABC

 Tính độ dài đường cao SA

 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài giải.

Thể tích khối chóp S.ABC: .

1 3

Bài toán 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên SA

vuông góc với mặt đáy Biết AC a 2,SB a 3 với 0 a   Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Nhận xét: Bài toán 2 tương tự bài toán 1, chỉ

khác: đáy là tam giác ABC vuông cân tại B

Trang 9

 Đáy là tam giác ABC vuông tại B

 Tính độ dài cạnh góc vuông AB BC 

Bài giải.

1 3

khác: đáy là tam giác đều ABC cạnh 2a

 Đáy là tam giác đều ABC cạnh 2a

Trang 10

trung điểm của BC

3 2

Bài toán 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC a với

0 a   , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

thêm: góc giữa SB và (ABC) bằng 60 0

 Đáy là tam giác ABC vuông cân tại B

 Tính độ dài cạnh góc vuông AB BC 

 Xác định góc giữa SB với (ABC)

Bài giải.

1 3

Trang 11

Tam giác SAB vuông tại A:

thêm: góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và

(ABC) bằng 60 0

 Đáy là tam giác đều ABC cạnh a

S ABC ABC

Trong tam giác đều ABC cạnh a, gọi M là

trung điểm của BC

3 2

a AM

(

60 0

Trang 12

phẳng (SBC) và (ABC) là SMA  600Tam giác SAM vuông tại A:

Nhận xét: Bài toán 6 có đáy là hình vuông

ABCD cạnh a và góc giữa hai mặt phẳng

(SCD) và (ABCD) bằng 60 0

 Đáy là hình vuông ABCD cạnh a

60 0

Trang 13

3

Bài toán 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a với

0 a   cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy Cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Nhận xét: Bài toán 7 tương tự bài toán 6: có

đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a và góc

giữa cạnh bên SC và (ABCD) bằng 60 0

 Đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a

 Tính diện tích hình vuông ABCD

 Tính độ dài đường chéo SC của hình

S ABCD ABCD

Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD 4a2

AC là đường chéo của hình vuông ABCD cạnh bằng 2a AC2 2a

(Trích đề tuyển sinh khối D năm 2013)

A S

120 0

) 60 0

Trang 14

 Tính diện tích hình thoi ABCD

 Tam giác SAM vuông cân tại A

 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Bài giải.

Thể tích khối chóp S.ABCD : .

1 3

a

SA AM

3

1

(

45 0

Trang 15

 Tính diện tích hình thang ABCD

 Tam giác SAC vuông cân tại A

Bài toán 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a với

0 a   cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SD và mặt phẳng (SAB) bằng 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

 Tính diện tích hình vuông ABCD

 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Bài giải.

Thể tích khối chóp S.ABCD : .

1 3

S

Trang 16

 góc giữa SD và (SAB) là ASD 300

2 Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy

Bài toán 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là

tam giác đều cạnh a với 0 a   và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

( Trích đề tuyển sinh khối D năm 2014)

 Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau và

cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng

nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với

giao tuyến thì nó vuông góc với mặt phẳng

kia.

 Xác định đường cao của khối chóp

Tính độ dài đường cao SH

a SH

Trang 17

Diện tích tam giác ABC:

2

1

Nhận xét:

 Bài toán 9 tương tự bài toán 8

 Đáy là tam giác vuông tại A

 Cần khai thác giả thiết: Đáy là tam giác

ABC vuông tại A và ABC30 ,0 BC a

ABC

 là nửa tam giác đều cạnh BCa

a SH

Trang 18

3

1

 Đáy là tam giác vuông, biết độ dài hai cạnh

góc vuông, dễ dàng tính được diện tích đáy.

SBC  ABC

, do đó chỉ cần tìm một đường thẳng nằm trong (SBC) và vuông góc

với giao tuyến BC  đường cao của khối

chóp

Bài toán 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết AC 2a,BD4a với 0 a   Tính

thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Trang 19

 Cần nắm vững tính chất của hình thoi để

tính diện tích đáy

 Tính diện tích hình thoi ABCD

AB SH

a

SH 

3

 Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau và

cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng

nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với

giao tuyến thì nó vuông góc với mặt phẳng

Trang 20

Bài toán 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a với 0 a   , mặt bên

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ( Trích đề tuyển sinh khối B năm 2013)

Nhận xét:

 Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

( dễ dàng xác định đường cao của khối chóp)

a SH

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	1 MB