Kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn cho học sinh thi THPTQG

Vì vậy đặt ra cho người thầy khi ôn thi THPTQG là phải khéo léo kết hợp nhiều phương pháp dạy học, nhiều hệ thống bài tập từ dễ đến khó , chia nhỏ các dạng toán để rèn luyện kĩ năng cho

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Là một giáo viên toán THPT đang dạy lớp 12 nên tôi luôn trăn trở tìm tòi các dạng bài toán , các phương pháp dạy Toán và tích lũy các kinh nghiệm giúp học sinh yêu thích môn học nhất là giúp các em học sinh lớp 12 vượt qua

kì thi THPTQG một cách dễ dàng với kết quả cao Đây là cuộc thi có tầm ảnh hưởng nhất định trong cuộc đời các em và nội dung đề thi sử dụng cho hai mục đích : xét tốt nghiệp và đại học nên việc ôn thi không hề đơn giản Vừa phải ôn luyện cho học sinh yếu kém đạt được mức điểm nhất định, vừa phải nâng cao cho các em khá giỏi đạt được kết quả cao nhất Vì vậy đặt ra cho người thầy khi ôn thi THPTQG là phải khéo léo kết hợp nhiều phương pháp dạy học, nhiều hệ thống bài tập từ dễ đến khó , chia nhỏ các dạng toán để rèn luyện kĩ năng cho các em.Để phù hợp với tính chất và hình thức thi, nội dung

đề thi THPTQG cũng đã có những thay đổi tích cực nhằm phân loại được khả năng của từng đối tượng học sinh Cách ra đề linh hoạt với nhiều dạng toán hay , lạ được khai thác , mở rộng từ những bài toán đơn giản trong chương trình SGK dần được các thầy cô và các em đam mê tìm tòi, phát triển Bài toán về tích phân hàm ẩn là một trong những bài toán hay và lạ như thế Nó có xu thế được xuất hiện nhiều trong các đề thi với mức độ từ đễ đến khó và hầu hết các

em đều ngại giải loại này vì các em đã quen với việc cho tường minh hàm số bởi biểu thức cụ thể

Vì vậy, tôi nhận thấy việc hình thành cho học sinh những kiến thức và kĩ năng mới trong quá trình giải các bài toán về tích phân hàm ẩn là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên Đó là lý do tại sao tôi chọn đề tài

‘‘Kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn cho học sinh thi THPTQG’’.

2 Mục đích nghiên cứu:

Trong thực tế giảng dạy ở trường THPT, học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về hàm ẩn nói chung và tích phân hàm ẩn nói riêng vì các em đã quen với việc cho hàm số bởi các công thức Ngoài ra trong chương trình các em cũng gặp rất ít dạng toán này.Khi gặp các loại bài toán này, tôi nhận thấy các em thường lúng túng, thụ động, không biết bắt đầu từ đâu, cũng không biết phân tích bài toán thế nào Chính vì vậy dẫn đến thực trạng hiện nay là hầu hết các em đều sợ, không có hứng thú và chấp nhận bỏ qua các bài toán về tích phân hàm ẩn

Để khắc phục hạn chế trên, định hướng các em tư duy logic, phát triển

trí thông minh, tôi mạnh dạn đưa ra một số hướng tiếp cận với các bài toán tích phân hàm ẩn, hy vọng các em học sinh có thể tự định hướng được cách

giải cho từng bài và hứng thú hơn khi học về tích phân hàm ẩn nói riêng và bộ môn Toán nói chung

3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài này tôi chỉ đưa ra nghiên cứu hướng rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn cho các em học sinh đang học lớp 12 Các bạn yêu thích toán học, các thầy cô giáo, các em học sinh các trường THPT làm tài liệu tham khảo

và tiếp tục phát triển

4 Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài này, tôi chủ yếu sử dụng phương pháp điều tra, phương pháp đối chứng và phương pháp nghiên cứu tài liệu

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lí luận

-Trong các bài toán tích phân hàm ẩn thường gặp trong các đề thi toán phổ thông, ta thường gặp các phương pháp tính tích phân cơ bản kết hợp với các kĩ năng biến đổi khéo léo, linh hoạt hoặc kết hợp nhiều phương pháp trong một bài Một phần lớn các bài toán tính tích phân hàm ẩn được giải quyết bằng việc vận dụng định nghĩa, các tính chất và phương pháp đổi biến số, tích phân từng phần

- Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh hoặc khó giải, khó nhận biết được phương hướng giải, ta có thể chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi về trạng thái dễ biến đổi hơn Đó là cơ sở của phương pháp đổi biến số Ngoài ra, khi giải bài toán trắc nghiệm, đối với một số tích phân dùng phương pháp đổi biến số ta có thể áp dụng kĩ năng chọn hàm số để đưa về tích phân đơn giản hơn

- Đối với các tích phân sử dụng phương pháp tích phân từng phần phức tạp, ta thường phân tích hợp lí kết hợp tích phân truy hồi để giải phương trình tìm tích phân cần tính

Trên cơ sở đó, tôi mạnh dạn đưa ra một số định hướng để giải quyết các bài toán tích phân hàm ẩn sau đây

2 Thực trạng của vấn đề:

- Tích phân hàm ẩn một kiến thức vừa dễ lại vừa khó, vừa lạ lại vừa quen nhưng không thể thiếu trong vốn kiến thức của học sinh phổ thông, nhất

là học sinh khá giỏi

Tuy nhiên, khi giảng dạy trên lớp, nhất là khi ôn luyện đề gặp một số bài tập về tích phân hàm ẩn tôi thấy học sinh còn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập, hay định hướng cách làm, đặc biệt là học sinh học ở mức độ trung bình

Thực hiện việc kiểm tra một vài bài tập về nội dung đề tàitrước khi áp dụng để đưa vào giảng dạy ở hai lớp 12C6,12C8, tôi thu được kết quả như sau:

Lớp Sĩ số Điểm giỏi Điểm khá Điểm tbình Điểm yếu

Trước vấn đề trên tôi thấy việc hướng dẫn học sinh một số kĩ năng tính tích phân hàm ẩn là một việc cần thiết để giúp học sinh có thêm kiến thức về tích phân,xử lí các bài toán tích phân trong các đề thi một cách hứng thú, hiệu quả cao Ngoài ra, nó hỗ trợ khá tốt cho một loạt các dạng bài tập liên quan đến hàm ẩn, phương trình hàm như đạo hàm, phương trình, bất phương trình,

3 Các biện pháp tiến hành để giải quyết vấn đề

Để giải được các bài toán về tích phân, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân, còn phải nắm được các phương pháp tính và định hướng biến đổi tích phân Nếu không dễ bị dẫn đến khó khăn, bế tắc

Có nhiều kĩ năng để tính tích phân nên ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi bài toán tính tích phân có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau, cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí

Sau đây, tôi trình bày một số bài toán về tích phân hàm ẩn ứng với từng phương pháp tính tích phân trong chương trình lớp 12 Trong đề tài này, tôi

nghiên cứu 4 kĩ năng : Biến đổi tích phân hàm ẩn về các tính chất cơ bản trong định lí 2 SGK lớp 12, đổi biến số ,chọn hàm số , tích phân từng phần.

3.1 – CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI CƠ BẢN :

3.1.1.CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN :

Định lí : Giả sử các hàm số f g, liên tục trên K và a b c, , số bất kì thuộc

K Khi đó ta có :

1 )

  0 ;

a

f x dx

2)

f x dx f x dx

a b

3)

f x dx f x dx f x dx

a b a

4)

f x dx g x dx f x dx g x dx

a   a a

5)

kf x dx k f x dx k

3.1.2 MỘT SỐ QUY TẮC CẦN CHÚ Ý :

Để giải quyết các dạng bài toán này, trước hết các em học sinh cần nắm

vững một số chú ý sau đây.

1 Nắm vững các tính chất: Yêu cầu tất cả học sinh phải thuộc và hiểu

được cách vận dụng từng tính chất qua các ví dụ về tích phân của các hàm số đượccho bởi công thức cụ thể

2 Phân loại dạng bài tập: Biết xác định đúng tính chất sử dụng cho

từng ví dụ cụ thể

3.Sử dụng MTCT : Biết sử dụng MTCT tính các tích phân đơn giản.

3.1.3.KĨ NĂNG VẬN DỤNG CÁC TÍCH CHẤT CƠ BẢN

Ví dụ 1 Cho  

2

3

0f x dx  Tính tích phân  

2

2

0 f x  dx

Giải

0 f x  dx0f x dx0 dx  

Ví dụ 2 Cho    

1f x dx 1f x dx Tính tích phân  

5

2f x dx

Giải

4 6 10

2f x dx2f x dx1f x dx  

1f x dx 2f x dx 1g x dx Tính tích phân

   

2.

5

1 f x  g x dx

Giải

       

Ví dụ 4 Cho    

0f x dx 0f z dz Tính tích phân  

4

3f t dt

Giải

3 7 4

3f t dt 3f t dt0f t dt0f x dx0f z dz  

Ví dụ 5 Cho f g, là hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện

1 f x  g x dx  1 f x  g x dx  Tính    

3

1 f x g x dx

Giải :

 

 

4 2 6

1 f x g x dx 1f x dx1g x dx  

Nhận xét:

 Có thể sử dụng từng tính chất trong một bài hoặc kết hợp nhiều tính chất

 Chú ý rằng:    

f x dx f t dt

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho hàm số f x  liên tục trên thỏa mãn

1f x dx 4 f x dx 4f x dx Tính  

12

1 f x dx

Bài 2: Cho  

5

10

2f x dx  Tính tích phân  

2

2 4

5  f x dx

Bài 3: Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn 0;10 thỏa mãn

0 f x dx 2f x dx Tính    

Pf x dx  f x dx

3.2 CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG KĨ NĂNG ĐỔI BIẾN SỐ :

3.2.1.CÔNG THỨC ĐỔI BIỂN SỐ :

 

u a

b

f u x u x dx f u du

a

 

 

 

 

Trong đó hàm số

 

u u x có đạo hàm liên tục trên K, hàm số yf u 

liên tục và sao cho hàm hợp f u x  xác định trên K; a b, là hai số thuộc K.

3.2.2 MỘT SỐ QUY TẮC CẦN CHÚ Ý :

Để giải quyết các dạng bài toán này, trước hết các em học sinh cần nắm

vững một số chú ý sau đây.

1 Nắm vững bảng các đạo hàm và nguyên hàm cơ bản.: Yêu cầu tất

cả học sinh phải thuộc bảng đạo hàm và bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp Tính được các tích phân đơn giản của các hàm số thường gặp trong bảng

2 Xác định đúng hàm số

 

f u x 

3.Sử dụng MTCT

3.2.3.KĨ NĂNG ĐỔI BIẾN SỐ

Ví dụ 1.Cho hàm số f x  liên tục trên thỏa mãn  

2

2018

0 f x dx







Tính tích

phân I  0xf x dx 2

Giải

Đặt t x 2 dt2xdx

2

  

  

2 1

2

I xf x dx  f t dt

Ví dụ 2 Cho hàm số f x  liên tục trên thỏa mãn f x 3 2 2 3 1. x   x Tính tích phân  

10 1

I   f x dx

Giải

t

Đặt t x 32x 2 dt 3x22dx

 3 2 2 3 1   3 1

f x  x  x  f t  x

4

I  f t dt x x  dx

Nhận xét:

 Trong bài toán trên chúng ta đã dùng kĩ thuật đổi cận ngược

Ví dụ 3 Cho hàm số f x  liên tục trên thỏa mãn

  2 1 3 , 1;2

2

x

Tính tích phân

  2 1 2

f x

x



Giải

Đặt

dt

2

1 2

2

  

  

 

2

1

2

f x

x



 

2

  1

f x f

x

x



Nhận xét:

 Trong bài toán trên chúng ta đã dùng kĩ năng đổi biến số kết hợp với tích phân truy hồi

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho3  2 3

0f x xdx  .Tính :  

3 0

I f x dx

Bài 2: Cho hàm số yf x có đạo hàm trên  đồng thời thỏa mãn :

 0  1 5.

1 ' 0

f x

I f x e  dx

 



Bài 3: Cho hàm số f x  liên tục trên  đồng thời thỏa mãn :

   

f x  f x x   x Tính  

2 0

I f x dx

Trong một số bài toán tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến

số, ta có thể sử dụng kĩ năng chọn hàm số là hàm hằng để đưa tích phân cần tính ban đầu phức tạp về tích phân đơn giản hơn và có thể dùng MTCT để tiết kiệm thời gian

3.3 – CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG KĨ NĂNG CHỌN HÀM SỐ:

3.3.1.CƠ SỞ LÝ THUYẾT:

Trong một số bài toán sử dụng kĩ năng đổi biến số có dạng : cho

 

b

f x dx A

a  , tính  

d

f u dx

c với A là hằng số ta có thể chọn hàm số f x 

đơn giản để việc tính tích phân đỡ mất nhiều thời gian

Ta thấy có rất nhiều hàm số

 

f x thỏa mãn  

b

f x dx A

a  nên ta chọn

Để giải quyết các dạng bài toán này, trước hết các em học sinh cần nắm

vững một số chú ý sau đây.

1 Xác định đúng dạng toán: Yêu cầu tất cả học sinh nhận biết được

dạng bài tập nào sử dụng được kĩ năng này

2.Sử dụng MTCT

3.3.3.KĨ NĂNG CHỌN HÀM SỐ

Ví dụ 1 Cho  

6

15

2f x dx  Tính tích phân  

3 2 1

I f x dx

Giải

Chọn

  15 15

6 2 4



 

I f x dx dx

Ví dụ 2.Cho  

1

9

1f x dx 



3 cos3 sin 3 0



 

Giải

Chọn hàm số

 

 

3 9sin3 3

2

0



Nhận xét:

 Trong bài toán trên chúng ta có thể sử dụng kĩ năng đổi biến số tuy nhiên nếu dùng cách này thì việc trình bày lời giải rất phức tạp mất nhiều thời gian không hợp lí trong đề thi trắc nghiệm

Ví dụ 3 Hàm số f x  là hàm chẵn liên tục trên thỏa mãn

 

1

4 1 2 1

f x dx

Tính tích phân  

1 1

I   f x dx



Giải

Từ  

1 1

I   f x dx

 chọn hàm số   2

I

f x 

Ta có :

 

Nhận xét:

 Đây là một bài toán ngược khi ta chọn hàm số từ tích phân cần tính

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho

1

0f x dx  Tính tích phân 4 2   

0



Bài 2: Cho hàm số f x  liên tục trên  và  

2

2018

0 f x dx







Tính tích phân

 2

0

I   xf x dx

Bài 3: Cho  

cos

3







Tính tích phân

6 cos 2 1 6







 





3.4 CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

3.4.1.CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN :

u x v x dx u x v x a v x u x dx

Trong đó hàm số

 ,  

u x v x có đạo hàm liên tục trên K và a b, là hai số

thuộc K

3.4.2 MỘT SỐ QUY TẮC CẦN CHÚ Ý :

Để giải quyết các dạng bài toán này, trước hết các em học sinh cần nắm

vững một số chú ý sau đây.

1 Nắm vững công thức : Yêu cầu tất cả học sinh phải thuộc công thức

và tính được các tích phân của các hàm số cụ thể bằng phương pháp này

2 Xác định đúng vị trí hàm số trong công thức: Yêu cầu học sinh xác

định đúng hàm số u x v x , ' trong tích phân cần tính

3.Sử dụng MTCT

3.4.3.KĨ NĂNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Ví dụ 1 Cho 3 3 '  12 ,  0 3

0 x f x dx f  Tính  

3 0

I f x dx

Giải

'

' '

   

 

Nhận xét:

 Sử dụng tích phân từng phần cho tích phân đã biết để làm xuất hiện tích phân cần tính

Ví dụ 2 Cho

0

x

e  f x f x dx ae b f f



Tính Q a 2018b2018

Giải

1 2

I e  f x f x dx e f x dx e f x dx I I

 

1

1 0 x

I e f x dx

Đặt

'

I e f x dx e f x  e f x dx e f x  I

  10  1  0 1

x

1 2018 2018 1 1 2 1

a

b











Ví dụ 3 Cho hàm số f x  nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục

trên đoạn 0;1 sao cho f  1 1, f x f  1  xe x2 x, x 0;1

Tính tích

phân

 

1

0

f x





Giải

t

Đặt

 

'

f x

f x

( Do f x  nhận giá trị dương trên đoạn 0;1

)

1

t  x dt dx

1 2

6 6 ln 1

0

1 2

0

2

5 0

x x

x x dx



2

I   I 

 Sử dụng tích phân từng phần kết hợp với kĩ năng đổi biến số và kĩ thuật tích phân truy hồi

Ví d 4 ụ 4 Cho        

0  x f x dx f  f  Tính tích phân

 

1

2 0

I f x dx

Giải

t

'

' '

   

Chọn  

2016

1008

2 0





 

I f x dx dx

Nhận xét:

 Sử dụng tích phân từng phần kết hợp với kĩ năng chọn hàm số

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho 1 1 '  10 , 2 1   0 2

0 x f x dx f  f  Tính  

1 0

I f x dx

Bài 2: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x'  liên tục trên đoạn 0;1 Biết

0

f  f x dx

Tính tích phân 1 ' 

0

I f x dx

Bài 3 : Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x'  liên tục trên đoạn 0;1 Biết



Tính tích phân  

1 0

I f x dx

3.5- MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM :

Sau khi nắm được kĩ năng giải quyết các dạng bài tập tích phân hàm ẩn, các em cần luyện tập thành thạo qua hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm tổng hợp các kĩ năng trên nhằm ghi nhớ lâu dài, vận dụng kĩ năng linh hoạt, hợp lí để giải quyết vấn đề nhanh chóng, tự tin và phát triển ở những bài tập vận dụng cao hơn nữa, khó hơn nữa

Câu 1 : Cho hàm số yf x  liên tục trên đoạn 0;10 Biết

0 f x dx 2f x dx Tính    

Pf x dx  f x dx

A P 4 B P 10 C P 7 D P 4.

Câu 2 : Cho  

2

2018 1

e

f x dx 



Tính 1 24  2

0

A I 4036 B I 1009 C I 2018 D

1009 2

I 

.

Câu 3 : Cho hàm số yf x  liên tục trên  thỏa mãn

 5 4 3 2 1,

f x  x  x   x

Tính  

8 2

I   f x dx



A I 2 B I 10 C

32 3

I 

D I 72 Câu 4 : Cho hàm số yf x  liên tục trên  thỏa mãn f 2x 3f x  ,  x

Biết  

1

1

0f x dx  Tính  

2 1

I f x dx

A I 3 B I 5 C I 2 D I 6.

Câu 5 : Cho hàm số yf x  liên tục trên  thỏa mãn    

1 1,

3 0

f  f t dt

sin 2 sin

0



 