Lý do chọn đề tài: Khi học đến chương nguyên hàm và tích phân học sinh thường gặp khó khăn và thường nhầm lẫn các công thức giữa “đạo hàm” và “nguyên hàm” và dạng toán của nguyên hàm v
Trang 1MỤC LỤC
Trang
I Học sinh cần nắm vững các công thức tính nguyên hàm 2
1) Tích phân dạng: I = ( ) ( ≠0)
+
∫b
a
p x
dx c
2) Tích phân dạng: I 2
( )
b
a
P x
dx
=
3) Tích phân dạng: I = (sin ,cos )
b
a
4) Tích phân dạng: I = ( , + ) (ce 0)≠
+
a
cx d
5) Tích phân dạng: I = ( , 2
b
a
R x m x dx−
I = ( , 2 )
b
a
R x x ±m dx
6) Tích phân dạng: I = (ln )
b
a
dx x
III/ Tích phân từng phần: 11
I = ( ) ln
b
a
p x xdx
∫
b
x
a
∫
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 1 -
Trang 2
1.Đề tài: Rèn luyện kỹ năng tính tích phân cho học sinh khối 12
2.Người thực hiện: NGUYỄN BÁ TƯỜNG
A PHẦN MỞ ĐẦU
I Lý do chọn đề tài:
Khi học đến chương nguyên hàm và tích phân học sinh thường gặp khó khăn và thường
nhầm lẫn các công thức giữa “đạo hàm” và “nguyên hàm” và dạng toán của nguyên hàm
và tích phân có nhiều dạng, công thức nhiều Để giúp học sinh có thể giải tốt các bài tập về
tích phân thường gặp trong chương trình lớp 12 nên tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng
tính tích phân”
II Ý nghĩa của việc thực hiện đề tài :
Do đặc điểm lớp 12 là năm học sinh phải thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, Đại học và Cao đẳng nên phần lớn học sinh có ý thức trong học tập và trang bị những kiến thức cần thiết cho các kỳ thi vào cuối năm học Nhằm giúp các em giải tốt các dạng bài tập về tích phân trong chương trình học lớp 12
Qua quá trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm tôi thấy học sinh thường lúng túng trước một bài toán tích phân, không định được hướng giải quyết phải thử nhiều cách giải, công thức thì nhiều có thể nhầm lẫn, vì thế tôi đã hệ thống một số công thức cơ bản yêu cầu học sinh phải nắm vững và từ đó có thể mở rộng một số công thức khác không cần phải thuộc công thức
và đưa một số dạng tích phân cơ bản thường gặp hoctoancapba.com
TrườngTHPT Lưu Văn Liệt có học sinh điểm tuyển đầu vào khá cao so với các trường trong tỉnh nhưng chất lượng lại không đều, số lượng học sinh yếu hằng năm còn chiếm tỉ lệ
trên dưới 5% Với đề tài “Rèn luyện kỹ năng tính tích phân”sẽ giúp không sinh không bị
lúng túng trước một bài toán tích phân trong chương trình
B PHẦN NỘI DUNG
Trước tiên học sinh phải nắm thật kĩ nhóm công thức cơ bản sau:
I/ Học sinh cần nắm vững các công thức tính nguyên hàm sau:
1
1
1 2 +C ( -1)
1
3 dx=ln +C 4 dx= +C ( 1)
( 1)
5 6
ln
7 sin
x
x
x
a
a xdx
α α
α α
α α
+
−
+
−
= −
cos 8 cos sin
9 dx = tanx+C 10 dx= - cotx+C
Các công thức: 1-2-3-4 thuộc nhóm hàm số lũy thừa; 5-6 thuộc nhóm hàm số mũ;
7-8-9-19 thuộc nhóm hàm số lượng giác
Chú ý:
+ Công thức nguyên hàm không có mhóm hàm số logarit như trong công thức đạo hàm
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 2 -
Trang 3
+ Trong các công thức nguyên hàm không mở rộng từ x sang hàm số u(x) như trong
công thức đạo hàm
+ Trong các công thức nguyên hàm chỉ được mở rông từ x sang ax + b như sau:
1
a
Ví dụ:
1 x dx x 1 C (ax b) dx 1 (ax b) 1 C
2 sin xdx cos x C sin(ax+b)dx 1cos(ax b) C (a 0)
a
II/ Các dạng tích phân thường gặp:
1) Tích phân dạng: I = ( ) ( ≠0)
+
∫b
a
p x
dx c
cx d (P(x) là một đa thức).
Nếu bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng 1 ta chia tử cho mẩu ta được các tích phân có dạng:
b
a
x dxα α ≠
1
b
a
xα
α
+
+
+
1 ln
b
b a a
dx
cx d
cx d =c + +
∫
Ví dụ: Tính
1
3 4 5
2 3
x
−
=
−
∫
Giải
1 1
2
1 1
31
ln 2 3 = ln 5
−
2) Tích phân dạng: I 2
( )
b
a
P x
dx
=
∫ ( P(x) là một đa thức) Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng 2 ta chia tử cho mẩu ta được các tích phân có dạng:
b
a
x dxα α ≠
+
+ +
b
a
x
α
α α
b
a
Ax B
dx
+
=
∫
Cách tính I 1 :
x2+px q+ =0 vô nghiệm ( ∆ < 0)
x p+ − + =p B x p+ + B−
2
+
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 3 -
Trang 4
* I2 = 2
2
b
a
x p dx
+ + +
∫ Đặt t = x2 +px+q ⇒ =dt (2x p dx+ )
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I2 =∫dt = lnt = ln
t
β
β α α
β α
* I3 =
2 2
2
2 2
4 ( )
( )
2
m q p
Đặt tan
2
p
x+ = m t ⇒dx= m(1 tan )+ 2t dt
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
[ ] tan
+
+
β α
β α
Ví dụ:
Tính
3
2 2
3 2
7 13
x
+
=
Giải
2
2 2
+ I =
x
x
−
=
∫
7 3 tan t ;
3 1 tan 2
π π
Đổi cận
2
3 3
6
= ⇒ = −
= ⇒ = −
π π
6 2
3
3 25 3
ln 3
I
π
π
π
π
−
−
−
∫
x2+px q+ =0 có nghiệm kép
2
p
x= (∆ =0)
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 4 -
Trang 5
2
( ) 2
Mp
=
( )
b
a
dx
+
2
2
b
a
p x
Ví dụ:
Tính
1
2 1
2 5
2 1
x
+
=
∫
Giải
Ta có:
2
2 2
2
1 1
2 5 ( 1)
∫
x2+px q+ =0 có 2 nghiệm x 1, x 2 (∆ >0)
2
b
b a a
∫
Ví dụ:
Tính
3
2 2
4 5
4 5
x
−
=
∫
Giải
2
3
2
=
+ =
− + = −
x A x B x
A
A B
x A B x A B
A B
B
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 5 -
Trang 6
3 3
2 2
3) Tích phân dạng: I = (sin ,cos )
b
a
∫
R( sin ,cos )− x x = −R(sin ,cos )x x ( lẻ đối với sinx ) hoctoancapba.com
I = (sin ,cos )sin
b
a
∫
Đặt t = cosx ⇒ − =dt sinxdx
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I =∫g t dt( ) =[G t( )] =G( )−G( )
β β
Ví dụ:
0
sin cos
π
=∫
Giải:
0
(1 cos ) cos sin
π
Đặt t = cosx⇒ = −dt sinxdx
2
= ⇒ = = ⇒ =π
Đổi cận x t x t
1
2 (1 ) ( ) ( )
3 5 15
t t
I = −t t −dt = t −t dt= − =
R(sin , cos )x − x = −R(sin ,cos )x x ( lẻ đối với cosx )
I = (sin ,cos ) cos
b
a
∫
Đặt t = sinx⇒ =dt cosxdx
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I =∫g t dt( ) =[G t( )] =G( )−G( )
β β
Ví dụ :
Tính 2
2 0
cos (1 sin )
x
x
π
= +
∫
Giải :
Đặt t = sinx ⇒dt = cosxdx
Đổi cận : x = 0 ⇒t = 0 ; x = π2 ⇒t = 1
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 6 -
Trang 7
1 1
2
0 0
dx I
−
∫
R( sin , cos )− x − x =R(sin ,cos )x x ( chẵn đối với sinx và cosx )
Đặt t = tanx ⇒ = +dt (1 tan2x dx)
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I g t dt( ) [G t( )]
β β
Ta có:
sin2x = 2 2
1 ; cos x=
t t
Ví dụ:
4
0 cos
dx I
x
π
=∫ Giải:
4
4
0 cos
dx I
x
π
(1 tan ) cos xcos x dx x cos x dx
Đặt t = tanx ⇒dt = 12
cos x dx Đổi cận: x = 0 ⇒t = 0 ; x = π4 ⇒t = 1
1
2
4 (1 )
t
I = +t dt= +t =
∫
Hoặc dùng công thức hạ bậc: hoctoancapba.com
sin2x = 1 cos 2
2
x
−
; cos2x = 1 cos 2
2
x
+
Ví dụ:
0
sin
π
=∫
Giải:
sin x4 =
2
2
1 cos 2 1
(1 2cos 2 cos 2 )
−
x
1 2cos 2 3 4cos 2 cos 4
+
x
0 0
3 4cos 2 cos 4 3 2sin 2 sin 4
π
∫
Ngoài 3 trường hợp trên
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 7 -
Trang 8Đặt: t = tan
2
2
(1 tan )
t
+ Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I g t dt( ) [G t( )]
β β
Ta cĩ:
sinx = 2 2 ; cosx=1-t22
t t
+
Ví dụ:
Tính 2
0
1 sin
1 cos
x
x
π
+
= +
∫
Giải:
2
tan (1 tan )
t
+ ; Đổi cận: x = 0 ⇒t = 0 ; x = π2 ⇒t = 1
2 2 2 2
2 1
1
1 1
t
t x
t
+
−
+
Cĩ dạng: cosax.cosbx = 1[cos( ) cos( ) ]
2 a b x− + a b x+ sinax.sinbx = 1[cos( ) cos( ) ]
2 a b x− − a b x+ sinax cosbx = 1[sin( ) sin( ) ]
2 a b x− + a b x+
Ví dụ:
Tính 2
0
sin cos3
π
=∫
Giải:
2
0
sin cos3
π
0 0
(sin 4 sin 2 ) cos 4 cos 2
Chú ý:
* 1+cosx=2cos * 1-cosx=2sin
* 1 sin 1 cos( ) áp dụng như trường hợp trên
b
a b a
x
x
π
±
±
∫
∫
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 8 -
Trang 9
4) Tích phân dạng: I = ( , + ) (ce 0)≠
+
a
cx d
Đặt t = n cx d
ex f
+ + ⇒ x = ϕ( )t ⇒dx=ϕ'( )t dt Đổi cận : x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I =∫g t dt( ) =[G t( )] =G( )−G( )
β
β α α
Ví dụ:
Tính
7 3
3 0
( 1)
3 1
x
x
+
=
+
∫
Giải:
3
t
t= x+ ⇒ =t x+ ⇒ =x − ⇒dx t dt=
3
x= ⇒ =t x= ⇒ =t
3
2
1
t
t
t
5) Tích phân dạng:
I = ( , 2
b
a
R x m x dx−
∫ ( m > 0) Đặt x= msint ;
2 2
∈ −
÷
( hoặc x= mc tos (t∈[ ]0;π ))
⇒dx= mcostdt (- dx= msintdt)
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I =∫g t dt( ) =[G t( )] =G( )−G( )
β
β α α
Ví dụ:
Tính
2
0
4
I =∫x −x dx
Giải
: 2sin t ; 2 cos
2 2
−
π π
2
x= ⇒ =t x= ⇒ =t π
0
1 4sin 4 4sin 2cos 8 sin cos (1 cos 4 ) sin4
π
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 9 -
Trang 10
I = ( , 2 )
b
a
R x x ±m dx
∫ (m > 0)
Cách 1:
Đặt: t= +x x2± ⇒ =m x ϕ( )t ⇒dx=ϕ'( )t dt
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I =∫g t dt( ) =[G t( )] =G( )−G( )
β
β α α
Cách 2: * x2−m Đặt
ost
m x c
= * x2+m Đặt x= mtant
Ví dụ:
Tính
1 2
0
1
I =∫ x + dx
Giải:
2
Đổi cận: x= ⇒ =0 t 1;x= ⇒ = +1 t 1 2
1 2 2
2 1
( )( )
t
t t
+
+
Đặc biệt: các dạng tích phân sau
n
dương lẽ)
Đặt
2
*
Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
I g t dt( ) [G t( )]
β
β α α
Ví dụ:
Tính
1
0
1
I =∫x +x dx
Giải:
I =∫x +x dx=∫x +x xdx Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 10 -
Trang 11
Đặt: t= x2+ ⇒ =1 t2 x2+ ⇒1 x2 = − ⇒t2 1 xdx tdt=
Đổi cận: x= ⇒ =0 t 1; x= 2
2
2 2 2 ( 1) ( )
I = t − t tdt= t −t dt= − = +
6) Tích phân dạng: I = (ln )
b
a
dx x
∫
Đặt t = lnx dt=dx
x
⇒ Đổi cận: x a= ⇒ =t α;x b= ⇒ =t β
( )
I f t dt
β α
=∫
Ví dụ:
Tính
3
2 1
ln (1 ln )
x
= +
∫
Giải:
Đặt t lnx dt dx
x
= ⇒ = ;
Đổi cận: x= ⇒ =1 t 0;x= ⇒ =3 t ln 3
0
ln 1 ln(1 ln 3)
tdt
+
∫
III/ Tích phân từng phần:
I = ( ) ln
b
a
p x xdx
∫ Dùng phương pháp tích phân từng phần đặt
1 ' ln
u
=
=
b b a a
I = uv −∫u vdx
I = ( )( ;sin ;cos )
b
x
a
∫
Dùng phương pháp tích phân từng phần đặt
( ) ' '( )(sin ;cos )
' x(sin ;cos ) x
u p x
=
=
⇒
b b a a
I = uv −∫u vdx
Ví dụ:
1)Tính
3 2
1
ln( 3)
Giải:
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 11 -
Trang 12Đặt:
2
2 '
2
=
+
x u
2
2
1 1
3 ln( 3) 6 ln12 2ln 4 4 2
2)Tính 2
0
cos
π
=∫
Giải:
2
0
' 1 ' cos sin
π
Đặt
3) Tính
2 0
(3 2) −
Giải:
2
0
'
⇒
Đặt
Chú ý: I = (ln )
∫b a f x x dx
t= lnx dt=
cận: x=a t= ; x=b t=
( ) ( ) ( ) ( )
⇒
β β
dx Đặt
x Đổi
Ví dụ:
Tính 3 2
1
ln 2 ln+
x
Giải:
Cách 1: Đặt t=lnx ⇒dt=dx
x
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 12 -
Trang 133 3 3
1
0
3 3
2 2
cận:
1
2
3
2
cận:
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
∫
∫
Đổi
Đổi
Cách 2: t= 2 ln3 2 3 2 ln2 3 2 ln
2
x
3 3
Đổi cận:
3
= ⇒ =
= ⇒ =
3
3 3 3
2 2
Nếu đặt biến mới phù hợp thì bài tốn gọn hơn qua ví dụ trên
C.
KẾT QUẢ SAU KIỂM TRA SAU KHI THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ:
Lớp Sĩ số
Điểm TB (5 đến 6,4)
Điểm khá (6,5 đến 7,9)
Điểm giỏi (từ 8 trở lên)
Đạt yêu cầu
D KHẢ NĂNG NHÂN RỘNG:
Phương pháp trên cĩ thể vận dụng rộng rãi trong chương trình lớp 12 khi dạy chương
“Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng” cho cả hai ban Khoa học tự nhiên và ban Cơ bản
E KẾT LUẬN:
Các bài tập về tính tích phân, thường là tương đối khĩ đối với học sinh, nhưng khi
giảng dạy xong đề tài học sinh khơng bị lúng túng và định hướng được cách giải các bài tốn tích phân cĩ thể giải được rất nhiều bài tốn về tích phân thuộc các dạng đã nêu Đồng thời đứng trước bài tốn khĩ cho dù ở dạng tích phân nào học sinh cũng cĩ hướng suy nghĩ
và tập tính tốn, các em sẽ cĩ tự tin hơn khi giải các bài tốn về tích phân Tích phân là một chủ đề khơng khĩ, để giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo đề tài cịn cĩ thể tiếp tục phát triển sang việc tìm lời giải các bài tốn tích phân nhờ những dạng tốn cơ bản trên
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 13 -
Trang 14
E.TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1 Sách giáo khoa lớp 12 THPT
3 Hướng dẫn giải các bài toàn giải tích nhà xuất bản ĐH&THCN
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 14 -