phép thử và biến số

báo cáo khoa học về phép thử và biến số

Phần Xác suất

1 Xác suất của một biến cố

2 Biến ngẫu nhiên

3 Một số luật phân phối xác suất thông dụng

Phần Thống kê

1 Lý thuyết mẫu

2 Ước lượng tham số

3 Kiểm định giả thuyết thống kê

4 Tương quan và hồi quy

Giáo trình chính

1 Xác suất Thống kê và Ứng dụng-Lê Sĩ Đồng

2 Bài tập Xác suất Thống kê-Lê Sĩ Đồng

Phép thử và biến cố

Nhắc lại về giải tích tổ hợp

Phép thử và Không gian mẫu

Biến cố và các phép toán

Mối quan hệ và tính chất

Hai quy tắc của phép đếm

Định nghĩa (Quy tắc nhân)

Để hoàn tất công việc A phải thực hiện qua k giai đoạn, giai đoạn thứ i có n i cách để thực hiện Khi đó có n1.n2 nk cách để thực hiện công việc A.

Định nghĩa (Quy tắc cộng)

Công việc A có thể được thực hiện qua 1 trong k trường hợp, trường hợp thứ i có n i cách để thực hiện Khi đó có n1+n2+ +n k cách để thực hiện công việc A.

Hai quy tắc của phép đếm

Ví dụ:

Một hộp có các bi phân biệt bao gồm 4 bi đỏ và 3 bi xanh Chọn ngẫu nhiên lần lượt từng bi không hoàn lại cho đến khi được 2 bi Hỏi có mấy cách để chọn được 2 bi khác màu?

Hoán vị

Định nghĩa

Mỗi cách sắp xếp n phần tử cho trước theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị của n phần tử Số hoán vị của n phần tử kí hiệu là P n với

P n=n! = 1.2 n (n ∈ N) Quy ước: 0! = 1

Ví dụ:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 quyển sách khác nhau lên một kệ sách dài?

Định nghĩa (Chỉnh hợp)

Mỗi bộ sắp thứ tự của k phần tử phân biệt lấy từ n phần tử đã cho là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó (0 ≤ k ≤ n) Số chỉnh hợp chập

k của n phần tử kí hiệu là A k

n với

A k n= n!

(n − k)!

Định nghĩa (Tổ hợp)

Một bộ không kể thứ tự gồm k phần tử phân biệt lấy từ n phần tử đã cho là một tổ hợp chập k của n phần tử đó (0 ≤ k ≤ n) Số tổ hợp chập

k của n phần tử kí hiệu là C k

n với

C k n= n!

k!(n − k)!

1 Vòng bảng World Cup, mỗi bảng có 4 đội thi đấu vòng tròn 1 lượt Hỏi mỗi bảng có tất cả bao nhiêu trận đấu?

2 Giải Ngoại hạng Anh có 20 đội thi đấu vòng tròn 2 lượt (sân nhà và sân khách) Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu trong cả mùa giải? Mỗi lượt thi đấu bao nhiêu trận và phải thi đấu bao nhiêu lượt?

3 Trả lời câu hỏi tương tự cho Giải vô địch Việt Nam có 14 đội

Nhị thức Newton

Định nghĩa

(a + b)n=

n

X

k=0

C k n a n−k b k=C0n a n+C1n a n−1 b + + C k n a n−k b k+ +C n n b n

Ví dụ:

n=2:

(a + b)2=a2+ 2ab + b2 n=3:

(a + b)3 =a3+ 3a2b + 3ab2+b3

Phép thử

Định nghĩa

Phép thử là thực hiện một số điều kiện xác định để khảo sát một/một vài đặc tính của một/một vài đối tượng và ghi nhận lại kết quả của việc khảo sát.

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà kết quả của nó là ngẫu nhiên ta không thể biết trước được.

Ví dụ:

1 Tung một con xúc xắc cân đối Quan sát và ghi nhận lại số chấm của mặt trên cùng của con xúc xắc

2 Rút một lá bài từ một bộ bài tây 52 lá được xáo trộn ngẫu nhiên Quan sát, ghi nhận lại số nút và loại quân bài đó

3 Tung hai con xúc xắc cân đối Quan sát và ghi nhận lại số chấm của mặt trên cùng của hai con xúc xắc

Không gian mẫu

Định nghĩa

Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử, kí hiệu là Ω.

Ví dụ:

Xét những phép thử ngẫu nhiên trên, ta có

1 Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

2 Ω ={(1,bích),(1,chuồn), ,(10,rô),(10,cơ)}

3 Ω ={(1; 1), (1; 2); ; (6; 5); (6; 6)}

Biến cố

Định nghĩa

Biến cố tương ứng là một tập hợp con của Ω Một biến cố xảy ra trong một phép thử ⇔ Kết quả của phép thử tương ứng là một phần tử của nó.

Có 3 khả năng xảy ra như sau:

1 A = ∅: Biến cố không thể.

2 A = Ω: Biến cố chắc chắn.

3 ∅ 6= A 6= Ω: Biến cố ngẫu nhiên, là bc có thể xảy ra hoặc không xảy

ra trong một phép thử

Các phép toán

Định nghĩa (Phép cộng)

Biến cố tổng của A và B, kí hiệu là A + B.

A + B xảy ra ⇔ Có ít nhất một trong các biến cố A, B xảy ra.

Định nghĩa (Phép nhân)

Biến cố tích của A và B, kí hiệu là A.B.

A.B xảy ra ⇔ A và B cùng xảy ra.

Các phép toán

Định nghĩa (Phép trừ)

Biến cố hiệu của B cho A, kí hiệu là B − A.

B − A xảy ra ⇔ B xảy ra, A không xảy ra.

Định nghĩa (Phép bù)

Trường hợp đặc biệt Ω − A được gọi là biến cố bù của A, kí hiệu là A.

A xảy ra⇔ A không xảy ra.

Ta có:



A + A = Ω A.A = ∅

Mối quan hệ

Định nghĩa (Kéo theo)

(A ⇒ B) ⇔ (A xảy ra thì B xảy ra)

Về phương diện tập hợp: A ⊂ B

Định nghĩa (Tương đương)

(A ⇔ B) ⇔ (A xảy ra ⇔ B xảy ra)

Về phương diện tập hợp: A = B

Tính chất

Tính chất (Cơ bản)

A + A = A A.A = A

A + ∅ = A A.∅ = ∅

Tính chất (Giao hoán)

A + B = B + A A.B = B.A

Tính chất (Kết hợp)

A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) A.B.C = (A.B).C = A.(B.C)

Tính chaát

Tính chaát (Phaân phoái)

A.(B+C)=A.B+A.C

A.(B-C)=A.B-A.C

Tính chaát (De Morgan)

A + B = A.B

A.B = A + B

Tính chaát (Keùo theo)

(A ⇒ B) ⇔



A + B = B A.B = A