Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số: Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n... Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng tỉ số các hệ số của luỹ
Trang 1I Giới hạn của dãy số
1 Giới hạn đặc biệt:
1
n n
k
n
lim n 0 ( 1)
; lim
2 Định lí :
a) Nếu lim u n = a, lim v n = b thì
lim (u n + v n ) = a + b
lim (u n – v n ) = a – b
lim (u n v n ) = a.b
lim n
n
v b (nếu b 0)
b) Nếu u n 0, n và lim u n = a
thì a 0 và lim u n a
c) Nếu u n v n ,n và lim v n = 0
thì lim u n = 0
d) Nếu lim u n = a thì lim u n a
3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + … = 1
1
u q
q 1
1 Giới hạn đặc biệt:
limq n (q1)
2 Định lí:
a) Nếu lim u thì n lim 1 0
n
u
b) Nếu lim u n = a, lim v n = thì lim n
n
u
v = 0 c) Nếu lim u n = a 0, lim v n = 0
thì lim n
n
u
v =
n n 0
neáu a v neáu a v
d) Nếu lim u n = +, lim v n = a thì lim(u n v n ) = 0
0
neáu a neáu a
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0
0,
, – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.
Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.
VD: a)
1 1
3
n
n
1
3
1
n
n
c) lim(n2 4n 1) limn2 1 4 12
n n
Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức
2
lim
3
=lim 2 3
3
n
= 3 2
CHƯƠNG IV
GIỚI HẠN
Trang 2VD: a) Tính limsinn
n . Vì 0
sinn 1
n n và
1
n nên
sin
b) Tính lim3sin 24 cos
n
Vì 3sinn 4cosn (324 )(sin2 2ncos ) 52n
nên 0 3sin 24cos 25
Mà lim 25 0
2n 1 nên lim3sin 24 cos 0
n
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng 0.
Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
BÀI TẬP
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim 2 22 3
b) lim 3 2 21
n
4
n
d)
4 2
lim
n
n n n e) lim 42 1
n
f) lim 2 34 22 3
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
a) lim1 3
4 3
n n
b) lim4.3 7 1
2.5 7
c) lim4 1 6 2
d) lim2 5 1
1 5
n
e) lim1 2.3 7
5 2.7
f) lim1 2.31 6
n n
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
a)
2 2
lim
b)
2 2
lim
2
c)
3
4 2
1 lim
1
d)
2 2
lim
e) lim(2 1)( 3)
( 1)( 2)
2
lim
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
1.3 2.4 n n( 2)
c) lim 1 12 1 12 1 12
1.2 2.3 n n( 1)
e) lim1 2 2
3
n
1 3 3 3
n n
Trang 3Bài 5: Tính các giới hạn sau:
a) lim n22n n 1 b) lim n2 n n22 c) lim 23 n n 3 n 1 d) lim 1 n2 n43n1 e) lim n 2 n n f) lim 2 1 2
n n g)
2 2
lim
h)
3
2 6
4 2
1 lim
1
i)
2
lim
Bài 6: Tính các giới hạn sau:
a) lim2 cos2 2
1
n
2
( 1) sin(3 ) lim
3 1
n
n
d) lim3sin6 25cos (2 1)
1
n
e) lim3sin (2 3 2)2 2
2 3
n
f) lim 3 2 2 2
(3cos 2)
Bài 7: Cho dãy số (u n ) với u n = 1 12 1 12 1 12
a) Rút gọn u n b) Tìm lim u n
n n n n n n (n N*)
1 2 2 1 2 3 3 2 n n 1 (n1) n
c) Tìm lim u n
Trang 4II Giới hạn của hàm số
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực
1 Giới hạn đặc biệt:
lim
x x x x
;
0
lim
x x c c
(c: hằng số)
2 Định lí:
a) Nếu
0
lim ( )
x x f x L
0
lim ( )
x x g x M
0
lim ( ) ( )
0
lim ( ) ( )
0
lim ( ) ( )
x x f x g x L M
0
( ) lim
( )
x x
b) Nếu f(x) 0 và
0
lim ( )
x x f x L
thì L 0 và
0
lim ( )
c) Nếu
0
lim ( )
x x f x L
0
lim ( )
3 Giới hạn một bên:
0
lim ( )
x x f x L
lim ( ) lim ( )
x x f x x x f x L
1 Giới hạn đặc biệt:
lim k
; lim k
x
nếu k chẵn
x nếu k lẻ
lim
; lim k 0
x
c x
0
1 lim
x x
;
0
1 lim
x x
x x x x
2 Định lí:
Nếu
0
lim ( )
x x f x L
0
lim ( )
x x g x
0 0
0
lim ( ) lim ( ) ( )
lim ( )
x x
x x
x x
nếu L và g x cùng dấu
f x g x
nếu L và g x trái dấu
0
0
( )
( )
lim ( ) 0 ( ) 0
x x
x x
nếu g x
g x
nếu g x và L g x
* Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ định:
0
0,
, – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ định.
Một số phương pháp khử dạng vơ định:
1 Dạng 0
0
a) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x
Q x
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
4
x
b) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x
Q x
với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
4
c) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x
Q x
với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x) là biểu thức chứa căn khơng đồng bậc
Giả sử: P(x) = m u x( ) n v x với u x( ) m ( )0 n v x( )0 a
Trang 5Ta phân tích P(x) = m u x( ) a a n v x( ).
3 2 6
2 Dạng
: L = lim ( )
( )
x
P x
Q x
với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) cĩ chứa căn thì cĩ thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
VD: a)
2
2
2
x x
2
3 2
1
x
3 Dạng – : Giới hạn này thường cĩ chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
4 Dạng 0.:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
2 2
4
x
x x
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
0
1
lim
1
x
x
1
lim
1
x
x
c)
2
sin
4 lim
x
x x
1
1 lim
3
x
x
2
1 lim
1
x
x
1
lim
1
x
x
g)
1
8 3 lim
2
x
x
x
2
lim
1
x
x
0
1 lim sin
2
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
1
1 lim
x
b)
x
x
4
3 2 1
1 lim
c) 53
1
1 lim
1
x
x x
3
lim
x
e)
5 6 2 1
lim
(1 )
x
x
1
1 lim
1
m n x
x x
Trang 6g)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x
1
lim
1
n x
x
2
16 lim
2
x
x
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
2
lim
4
x
x x
b)
3 3 1
1
x
x x
0
lim
x
x x
d)
2
2 2 lim
7 3
x
x
x
e)
1
lim
1
x
x
2
0 2
1 1 lim
16 4
x
x x
0
lim
x
x x
3
3 2 lim
3
x
i)
0
lim
x
x
Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
0
lim
x
x
2
lim
x
0
lim
x
x
0
lim
x
x
2
lim
x
2 1
lim
1
x
x
g)
0
lim
x
x
0
lim
x
x
0
lim
x
x
Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
a) lim 22 1
x
x
b) lim 2 2 1
2
x
x
x
x
d)
2 2
lim
x
e)
2 2
lim
x
1
x
x x
2
lim
5
x
h)
2 2
lim
x
i) lim 2 5 2
x
x
Bài 6: Tìm các giới hạn sau:
a) lim 2
c) lim 2 1 3 3 1
e) lim 32 1 32 1
f) lim 33 3 1 2 2
1
lim
2
lim
Bài 7: Tìm các giới hạn sau:
a)
2
15 lim
2
x
x
x
2
15 lim
2
x
x x
3
lim
3
x
x
2
4 lim
2
x
x x
2
2 lim
x
x
2
2 lim
x
x
Trang 7Bài 8: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
2
x khi x x
khi x
b)
2
x khi x
x khi x
c)
2 3 4
8
2
x
x
d)
2 2
1
1 2
x
Bài 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau cĩ giới hạn tại điểm được chỉ ra::
a)
3 1 1
mx khi x
2 2
khi x
0
0 3
khi x x
Trang 8III Hàm số liên tục
1 Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x 0
lim ( ) ( )
x x f x f x
Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x 0 ).
B2: Tính
0
lim ( )
x x f x
(trong nhiều trường hợp ta cần tính
0
lim ( )
x x f x
,
0
lim ( )
x x f x
B3: So sánh
0
lim ( )
x x f x
với f(x 0 ) và rút ra kết luận.
2 Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đĩ.
3 Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a f x f a x b f x f b
4 Hàm số đa thức liên tục trên R.
Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5 Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x 0 Khi đĩ:
Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x 0
Hàm số y = ( )
( )
f x
g x liên tục tại x 0 nếu g(x 0 ) 0.
6 Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = 0 Nĩi cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 cĩ ít
nhất một nghiệm c (a; b).
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] Đặt m = min ( );
a b f x , M = max ( ) ;
a b f x Khi đĩ với mọi T
(m; M) luơn tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = T.
BÀI TẬP
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
a)
khi x
b)
1
4
x
khi x
c)
2 3 2
x x x khi x
khi x
d)
2
x khi x
Bài 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
3 2 2 2 1
Trang 9c)
x x
6
( 3)
3
2
Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a)
3 3
1 ( )
3
x
f x
khi x
b)
2 3 4 2
c)
khi x
d)
khi x
Bài 4: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
a)
2
b)
c)
f x
Bài 5: Chứng minh rằng các phương trình sau cĩ 3 nghiệm phân biệt:
a) x3 3x 1 0 b) x36x29x 1 0 c) 2x6 13 x 3
Bài 6: Chứng minh rằng các phương trình sau luơn cĩ nghiệm:
a) x5 3x 3 0 b) x5 x 1 0 c) x4x3 3x2 x 1 0
Bài 7: Chứng minh rằng phương trình: x5 5x34x1 0 cĩ 5 nghiệm trên (–2; 2)
Bài 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luơn cĩ nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a) m x( 1) (3 x 2) 2 x 3 0 b) x4mx2 2mx 2 0
c) (a x b x c b x c x a c x a x b )( ) ( )( ) ( )( ) 0 d) (1 m x2)( 1)3x2 x 3 0 e) cosx m cos2x0 f) m(2 cosx 2) 2sin 5 x1
Bài 9: Chứng minh các phương trình sau luơn cĩ nghiệm:
a) ax2bx c với 2a + 3b + 6c = 00 b) ax2bx c với a + 2b + 5c = 00 c) x3ax2bx c 0
Bài 10: Chứng minh rằng phương trình: ax2bx c luơn cĩ nghiệm x 0 0;1
3
với a 0
và 2a + 6b + 19c = 0
Trang 10BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
Bài 1 Tìm các giới hạn sau:
n3
1 2 3
lim
3
n
2 sin lim
1 3
2
2
n n
n n
2 2
2 lim
e) lim25 15 2n n 3
f)
( 1) 4.3 lim
( 1) 2.3
g) lim n2 3n n21 g) lim3 3n 3n2 n h) lim 1 n2 n4n
n
2 2
2 cos
lim
1
lim
3 1 1
l) lim n2 2 3n32n
Bài 2 Tìm các giới hạn sau:
a)
x
2 2
3
lim
8 15
b)
x
x
2 2 1 2
lim
x
3 2 2 3
lim
3
d)
x
4 3 2
4 3 2 1
lim
e)
x
3 4 1
lim
f)
x
3 2
4 2 2
lim
g)
x
3
5
1
lim
h)
x
x
x2 x
2
2 lim
x
x x
2 2 1
lim
1
Bài 3 Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x x
2
2 lim
x
x x
2 0
lim
x
x
x2 x
1
8 3 lim
d)
x
x x
4
lim
2
e)
x
x x
1
lim
3 2
f)
x
x x
2
0 2
1 1 lim
1
lim
1
x
x
x
x
3 3 0
lim
x
x x
3 2
lim
2
k)
x
x
x
3
0
1 lim
1
l)
x
x x
3 2 2 0
lim
x
x
2
lim
2
Bài 4 Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x
2 2
lim
2
x
x
x2 x
1
1 lim
x
x
3 1
lim
1
d)
x
x
2 2 2
lim
( 2)
x
x x
3
lim 3
x
0
lim
g)
x
x x
2
lim
2
h)
x
x
2 2 3
lim
( 3)
x
x x
x2
2
4
Bài 5 Tìm các giới hạn sau:
a)
x
3 2
4 3 2
lim
b)
x
2 2
1 lim
c)
x
2 3
(2 3) (4 7) lim
d)
x
4 3
4 2
2 lim
xlim x2 1 x
f) xlim (x x2 x 1)
Trang 11g)
x
x
2 1 lim
5 2
xlim x2 x 3 x
x
x
lim
1
k)
x
2 2
lim
xlim x2 x 2x2 1
m)
xlim x2 2x x
Bài 6 Xét tính liên tục của hàm số:
a)
khi x x
2
3
trên R b)
x khi x x
f x
khi x
2
sin ( )
4
tại x = 0
c)
x khi x
khi x
2
trên R d) f x x khi x
x khi x
( )
Bài 7 Tìm a để hàm số liên tục trên R:
1
2
2 4 3 1
Bài 8 Chứng minh rằng phương trình:
a) x36x29x có 3 nghiệm phân biệt.1 0
b) m x( 1) (3 x2 4)x4 3 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
c) (m21) –x4 x3–1 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng 1; 2 với mọi m d) x3mx21 0 luôn có 1 nghiệm dương
e) x4 3x25 –6 0x có nghiệm trong khoảng (1; 2)
Bài 9 Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thực thoả mãn: a b c
m2m1m 0 Chứng minh rằng phương trình: f x( )ax2bx c có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).0
HD: Xét 2 trường hợp c = 0; c 0 Với c 0 thì f f m c
2
1