Chuyên đề Phương trình Lượng giác-ThachYMB

Bảng giá trị lượng giác đặc biệt... d/ tan cot tan tan* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: * Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k≠ π k Z∈ * Phương trình chứa cả tanx và cotx thì

3 Bảng giá trị lượng giác đặc biệt

2) cos2a = cos2a− sin2a = 2 cos2a− = − 1 1 2sin2a

3) tan 2 2 tan2 ; cot 2 cot2 1

3

tan 3 1

tan tan

3 3

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

1 cos2

a a

a a

a a

) 3 sin sin 3 ( 4

1 sin3a= a− a

) 3 cos cos

3 ( 4

1 cos3a= a+ a

7 C«ng thøc biÕu diÔn sinx, cosx, tanx theo

2 tan x

t=

2

2 sin

1

t a

t

=

+ ;

2 2

1 cos

1

t a

1

t a

2 1 sin sin cos( ) cos( )

2 1 sin cos sin( ) sin( )

c/ sinu = − sinv ⇔ sinu = sin( ) −v

d/ sin cos sin sin

c/ cosu= − cosv ⇔ cosu = cos( π −v)

d/ cos sin cos cos

d/ tan cot tan tan

* Phương trình chứa tanx thì điều kiện:

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k≠ π (k Z∈ )

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )

II Phương trình đưa về phương trình bậc 2, bậc 3

đối với một hàm số lượng giác

asin x b+ x c+ = t = sinx − ≤ ≤ 1 t 1 2

a x b+ x c+ = t = cotx x k≠ π (k Z∈ )

Neỏu ủaởt: t= sin2x hoaởc t= sinx thỡ ủieàu kieọn: 0 ≤ ≤t 1.

Bài 1: Gi ải phương trỡnh: sin2x = 2(cos 4

Ta cú: 2(cos4x + sin4x) = 2[(cos2x + sin2x)2 – 2sin2xcos2x]= 2 = 2 – sin22x

Vậy ta được phương trỡnh: sin2

2x + sin2x - 2 = 0 Đặt t = sin2x với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 ta được phương trỡnh:

1

loai t

Bài 2: Gi ải phương trỡnh: sin 2

x.(tanx – 1) = cosx.(5sinx – cosx) – 2

1

t=



Gi ải:

Điều kiện của phương trỡnh là: cosx ≠ 0

Chia hai vế của phương trỡnh cho cos2x ta được:

tan2x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan2x)

1 - sinx

1 sinx

2 2

6

) ( , 10

14 6

sin

1 6 sin 0

14 6 sin 4 6 sin

10

9 6 sin

4 6 sin

2 1

5

2

2

Z k k x

k x

loai x

x x

x

x x

PT

∈ +

=

⇔ +

π

π

π

π π

π

π π

Bài 7:

Bài tập

Baứi 1 Giải các phương trình sau:

1) 2sin 2 x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin 2 x – 4cosx – 1 = 0

3) 4cos 5 x.sinx – 4sin 5 x.cosx = sin 2 4x 4) tan 2x+ −(1 3 tan) x− 3 0 =

5) 4sin 2x− 2 3 1 sin( + ) x+ 3 0 = 6) 4 cos3x+ 3 2 sin 2x= 8cosx

7) tan 2 x + cot 2 x = 2 8) cot 2 2x – 4cot2x + 3 = 0

Baứi 2 Giải các phương trình sau:

1) 4sin 2 3x + 2 3 1 cos3( + ) x− 3 = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0

III PH ƯƠNG TRèNH BậC NHấT Đẩi với sinx, cosx

' = a − (c −b ) 0 ≥ ⇔ a +b ≥ c .

∆ Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan 0.

1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận

2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:

Bài 1: Giải phương trình: 3 sin 3x− 3 cos 9x= 1 + 4 sin33x (*)

Bài 2: Giải phương trình: 4cosx + 2 sinx + cos2x +3 3sin2x + 3 = 0

3

Gi ải:

Ta có: 4cosx + 2 sinx + cos2x + 3sin2x + 3 = 0

⇔ 4cosx + 2 3sinx + 2cos2x – 1 + 2 3sinxcosx + 3 = 0

2

2

1 cos 2

1 sin 2 3

1 cos

π π

π π

x

k x

x x

x

2 3

Ta biến đổi phương trình đã cho:

2cos3x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + ) - 2(sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0

⇔ 2(cos2x – sin2x – 1) + sinx(cos2x – sin2x – 1) + 2cos3x – sin2xcosx – 2cosx = 0

⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(2cos2x – sin2x – 2) = 0

⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0

⇔ (cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx + 2) =0

⇔ cos 2x−sin 2x− =1 0

• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?

Lưu yự: cosx = 0

• Khi cosx ≠ , chia hai vế phương trình (1) cho 0 cos2x ≠ ta được: 0

⇔ + − = − − (đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x)

Bài 1: Gi ải phương trỡnh:

Bài 2: Giải phương trỡnh:

Bài 3: sin3 2cos3 sin 2 3 1sin 3 1 cos

x x

x x

4 1

tan cos

sin 0 cos

• Giải phương trình (2): sin2

x - 3sinxcosx + 2

3cos2x = 0

Nếu cosx = 0 thì vế trái bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình

Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x, ta được:

k x

k x

x x

3

3 2 arctan 6

3

3 2 tan

3

1 tan

(k ∈ Z)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm :

π

π π

π

k x

IV PH ƯƠNG TRèNH đối xứng:

a(sinx ± cosx) + bsinx.cosx = c

4 sin 2 cos

• Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t

Giải phương trình này tìm t thỏa t ≤ 2 Suy ra x

Bài 2:

Bài 3: Gi ải phương trình:

BT - GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU:

a/ 1 + sinx+ cosx+ sin 2x+ 2 cos 2x= 0

(Lo ại do điều kiện)

Pt chøa Èn ë mÉu – C¸c bµi tËp tæng hîp

Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x + (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0 3

3

Gi ải

Điều kiện của phương trình là cos2x ≠ 0 và sin3x ≠ 0

Ta biến đổi: 3tan2xcot3x + (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0

⇒ 3tan2xcot3x + 3tan2x – 3 3cot3x – 3 = 0

⇒ tan2x (3cot3x + 3) - 3(3cot3x + 3) = 0

C¸c giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x = 2

+

=+

Điều kiện của phương trình đã cho là: cosx ≠ 0, sinx ≠ 0 và cot x ≠ -1

Ta biến đổi phương trình đã cho:

2

x x

π + π, (k∈Z) bị loại do điều kiện cotx ≠ -1

Vậy nghiệm của của phương trình đã cho là: x = 2

4 k

π + π, k∈ Z

Bài 3: Gi ải phương trình: tan3x – 2tan4x + tan5x = 0 với x ∈ (0; 2π)

sin 8 2 sin 4

0 cos 3 cos 5 cos 4

x x− x =

Gi ải:

Điều kiện của phương trình đã cho: cos3x ≠ 0, cos4x ≠ 0 và cos5x ≠ 0

Ta có: tan3x -2tan4x + tan5x = 0 ⇒

⇒ 2 sin 4 cos 4 2 sin 4

0 cos 3 cos 5 cos 4

x x x

x x − x =

⇒ 2sin4x cos 42 cos 3 cos 5

0 cos 3 cos 4 cos 5

- KÕt hîp víi điều kiện cos3x ≠ 0, cos4x ≠ 0 và cos5x ≠ 0

Nghiệm của phương trình là: 1 2 3 4 5

1 sin

tan 1

0 2 sin

x x

x x

x x x

x x

cossinsin

sincos

cos.2cossin

cossinsin

cossincos

sin

sin

−+

⇔ cosx− sinx= sinx( 1 − sin 2x)

⇔ (cosx−sinx)(sin2x+cos2x−3)=0

∈ +

2 cos 0

cos sin

0 2

+ +

−

⇔

1 2 sin

0 2 sin 0

2 sin 2

sin

0 2 cos 2 sin 2 cos

sin

2

2 2

x

x x

x

x x

x x

PT

Do sin2x =1 thì cos2x = 0 nên trường hợp này loại

Chỉ có x= ⇔x=k ,k∈Z

2 0

2

Bài 6: Gi ải phương trỡnh:

Bài 7: Giải phương trỡnh: 2 os6x+2cos4x- 3 os2x = sin2x+ 3c c

2 os6x+2cos4x- 3 os2x = sin2x+ 3c c

⇔4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3cos2x

42 7

k x

k x

( 6 6 )

8 sin x+cos x + 3 3 sin 4x= 3 3cos x2 − 9 sin 2x+ 11

2

2 2

3

8 1 sin 2 3 3 sin 4 3 3 2 9 sin 2 11

4

3 3 sin 4 3 3 2 6 sin 2 9 sin 2 3

3 sin 4 3 2 2 sin 2 3sin 2 1

- Ta có phương trình ⇔ sin4x + cos4x = ( 2 – sin22x)sin3x

⇔ ( 2 – sin22x)(1 – 2 sin3x) = 0 ⇔ sin3x = 1

2 ( do ( 2 – sin22x≥1)

⇔ 3sinx – 4sin3x = 1

2 Thay sinx = ± 1 vào đều không thỏa mãn

Vậy các nghiệm của PT là 2 5 2

2 2 2

=

−

) ( 0 7 sin 2 cos

6

0 sin

1

VN x

x

x

Gi ải phương trỡnh: 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8

Phương trình đã cho tương đương với:

9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8

 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0

 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0

sin

2

0 3 3 ) sin cos 3 ( 8 2 cos 3 3 cos 3 2 ) 3 (cos

2

sin

2 3

+

−

− +

⇔

=

−

− +

−

− +

x x x

x x

x x

x

x x x

x x

x

0 ) 8 cos 6 cos 2 )(

sin cos

=

−

⇔

) ( 4 cos

1 cos

3 tan

0 4 cos 3 cos

0 sin cos

3

2

loai x

x x x

x

x x

k x

, 2

3

π

π π

Bài 15: Gi ải phương trình:

Bài 16: Gi ải phương trình:

Bài 17: Gi ải phương trình:

3 3 sin x+ 9 sin xcosx +3 3 s inxcos x+cos x c− osx = 0 (3)

Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm

(3) ⇔ 3 2

3 3 tan x+ 8 t an x + 3 3 t anx = 0

⇔ t anx = 0 ⇔ x = k π

Bài 20: 2 3 cos 4 4 cos 1

4 cos

1 cos 4 3 cos 4 4 cos 1

cos 2 (sin

Giải phương trình:

x 2 sin 2

1 x cos 2 ) 2

x cos

x sin 1 2

x cos 2

x sin

x cos 2

x sin 2

x cos x sin 2 x sin 2

1 1 2

x cos 2

x

sin

3

0 2

3 2

x cos 2

x sin ) x sin 2 ( 2

x sin 2

3 4

x sin 2

3 4

2

x sin 2 2

3 2

x cos

§iÒu kiÖn: sin 2x≠ 0

2

1

⇔( sinx – cosx).( 1 – 2cosx) = 0

1 tan

π π

3

4

l x

k x

( k,l ∈Z)

x

x x

x

cot sin

2 cos cos

2 sin

−

= +

(1)

x

x x

x x

x

x x x

x

sin

cos cos

sin cos

sin

sin 2 sin cos 2

x cos x

sin x cos x sin

x x 2

=

−

⇔

⇔ cosx = − cos2x sin2x 0 ∧ ≠

⇔ 2 cos x cosx 1 0 sin2x 02 + − = ∧ ≠

cosx 1 (cosx 1 :loại vì sin x 0)

2

⇔ = ±π+ k 2 π

3 x

cos x) = 0 ⇔

x

x x

PT ⇔ 2sin 2x cos 2x + 2cos2 2x = 4(sin x + cos x)

⇔ (cos x + sin x) (cos x – sin x) (sin 2x + cos 2x) = 2(sin x + cos x)

⇔ 3sin2x – cos2x + 4sinx + 1 = 0

⇔ 3sin2x + 2sin2x + 4 sinx = 0

⇔ sinx ( cosx + sinx + 2 ) = 0

Bài 29:Giải phương trình: 1 + (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = 0 3

PT⇔ ( 3 s inx+sin 2 )x + 3 cosx+ +(1 cos2 )x =0

( 3 s inx + 2 s inx.cos )x + ( 3 cosx+ 2 osc x) = 0⇔ s inx( 3 + 2 cos )x + cos ( 3x + 2 cos )x = 0

⇔ ( 3 + 2 cos )(s inxx + cos )x = 0 ⇔ cos 3

6 6

4

2 2

π

π π

Kết hợp điều kiện thì phương trình có nghiệm: x= +k2 ,k∈Z

2 4 cos 2 sin 2 cos sin

2 sin

2 sin 1

=

− +

0 1 2

x cos 2

x sin 2 2

x cos 2

x sin x sin 0 1 x sin 2

x cos 2

x sin x

2 2 2 0 1 2 sin 2 2 sin

2

1 2 sin

0 sin

2

Z k k x k

x

k x k

x

k x

x x

=

=

π π

π π

π π

Bài 34: Giải phương trình: 2cos4x - ( 3 - 2)cos2x = sin2x + 3 , bieỏt x∈ [ 0 ; ] π Phương trình đã cho tương đương với

Bài 35:Giải phương trình: 3sin2x.(2cosx+1)+2=cos3x+cos2x−3cosx

Pt⇔ 3 sin 2x( 2 cosx+ 1 ) = (cos 3x− cosx) + (cos 2x− 1 ) − ( 2 cosx+ 1 )

) 1 cos 2 ( sin 2 cos sin 4 ) 1 cos 2 ( 2

sin

Bài 36:Giải phương trình: sin 3 x − 3sin 2 x − cos 2 x + 3sin x + 3cos x − = 2 0

sin 3x− 3sin 2x− cos 2x+ 3sinx+ 3cosx− = ⇔ 2 0

(sin 3x+ sin )x + 2 sinx− 3sin 2x− (cos 2x+ − 2 3cos )x = 0

2 (2 sin 1)(2 cos 3cos 1) 0 cos 1

1 cos

sin 2 ) sin sin

2 ( 0 1 cos sin

2 sin

sin

6 sin sin

1 cos sin

1 sin 2 0 ) 1 cos )(sin

1 sin

2

(

0 1 sin 2 ) 1 sin 2 ( cos ) 1 sin 2 (

x x

x x

x x

x x

x

Cách 2

0 1 cos sin

) 1 cos 2 ( sin 2 0 1 cos sin

2 sin

sin

2 2 x− x+ x+ x− = ⇔ 2x− x− x+ x− =

:

Coi đây là phương trình bậc 2 đối với sinx, ta có:

) 3 cos 2 ( ) 1 (cos 8 ) 1 cos

- Với

2

1 sinx= ta có x π 2kπ

6 +

= hoặc x π 2kπ

6

5 +

2 4

sin 1 cos

x x

Bài 38: 1 2(cos sin )

Giải phương trình:

Điều kiện: sinx.cosx≠0 và cotx≠1

Phương trình tương đương

sin cos 2 cos

1 cos sin 2 sin

=

+

4 2 sin 2 1 3 cos

x x

2 cos x cos 2x 1 sin 2x cos2x

2cos x 2sin x cos x 2 cos x cos 2x 0

cos x cos x s inx cos2x 0

cos x cos x s inx 1 s inx cosx 0

2 cos x 0

+) Giải pt được : cos2

= + , Ta c· PT: (1 ) 1 2 2 1 0

1 1

t t

t t

, 0 7 sin 2 cos

6

0 sin

1

nghiem vo

x x

Bài 44: Giải phương trình:

Bài 45: Giải phương trình:

x x x

Giải phương trình:

- §K: x≠mπ ,m∈Z

x

x x

x x

x x

x x

PT

3 3

2 2

2

2

cos sin

) cos (sin

cos cos

sin

sin

) cos (sin

cos sin

) cos (sin

cos tan

=

⇔ +

= +

⇔

+

=

⇔ +

=

⇔

−

Z k k x

x x

x= ⇔ = ⇔ = + ∈

4 1

tan cos

Bài 49: | cot | tan 1

sin

x

Giải phương trình: Điều kiện sin2x ≠ 0

- Nếu cot x > 0 phương trình đã cho trở thành:

2 ( ) 3

=

3 sin 2 cos 3

x x

x

VI Phương trình lượng giác chứa tham số

+/ 4sin3xsinx = 2 cos2x - cos4x ; ( )

+/ 4 os 3x - os x + 2 os 2x - os4x 2 sin 2x + cos4x( )

c  π c  π = c  π +c =

(2) ⇔ +t 4t = − 2 2m

Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ) :D y= − 2 2m (là đường song song với Ox

và c ắt trục tung tại điểm có tung độ 2 – 2m) và Parabol (P): 2

4

y= + vt t ới − 2 ≤ ≤t 2 Trong đoạn − 2; 2  , hàm số 2

Một số bài tập trong đề thi tuyển sinh đại học

Ví dụ 6: Giải phương trình:

Ví dụ 7: Giải phương trình:

2cos

3sin3cos

2cos

x

x x

x

- ĐK : x≠ ⇔ x≠ +m ⇔ x≠ +m ,m∈Z

2 4 2

2 0 2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

2cos22coscos3

sin3sin

cos

2

2cos22coscossin

3)cos1(cos

⇔

−

=+

−

⇔

x x

x x

x

x x

x x x

x

2cos3

3cos2

cos3

sin2

33

cos

2

1

2cos23sin3sin

2sincos

2 3 2

2 3

3

2 2 3

3

π π

π π

π π

π π

k x

k x

k x x

k x x

(k∈Z) Các nghiệm này thoả mãn ĐK

Ví dụ 9: Giải phương trình (A-2006):

Ví dụ 10: Giải phương trình (B-2006):

Ví dụ 11 (Khối A-2004):

Ví dụ 12

(1 sin x cos 2x) sin x

1 4

Điều kiện : cosx≠ 0 và tanx ≠ - 1

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x

cos cos

cos

sin

cos sin

2 cos sin

1

cos cos

sin 1

4 sin 2 2 cos sin

1

(*)

= +

+ +

+

⇔

= +

+

⇔

π

1 2 cos sin

⇔

2

1 sin

1 sin 0

sin 2 1

x

x x

x

• sinx= 1 ⇒ cosx= 0 nên trường hợp này loại

k x

k x

2 6 6

sin sin

2

1 sin

π π

π

π π

π

Ví dụ 13: (Khối B-2010) Giải phương trình:

Ví dụ 14: (Khối D-2010) Giải phương trình:

BµI TËP

46) ( )

3 ) cos 1 )(

x x

3

2 9

2π k π

x= − + )

2 cos

3 sin 3 cos

2 cos

x

x x

3

2 15

; 2 3

π π

π

x k

cos

cos sin 4 3

cos

x

x x

49)

50) cos2x + 2 sin x 1 2 sin x cos 2x − − = 0

sin x+cos x=cos 2 (2 cosx x−sin )x

52) Giải phương trình: 2 cos5 cos 3x x +sinx =cos 8 x

53) Giải phương trình: sin 2

x.(tanx – 1) = cosx.(5sinx – cosx) – 2

6

5 sin 4 3 2 cos

55) Giải phương trình: 4cosx + 2 3sinx + cos2x + 3sin2x + 3 = 0

56) Giải phương trình: 2sin 3

1 sin

tan 1

x x

63) Giải phương trình: 3sin2x.(2cosx+1)+2=cos3x+cos2x−3cosx

64) (Khèi A-2010) Giải phương trình: (1 sin x cos 2x) sin x 4 1

65) (Khèi B-2010) Giải phương trình:

66) (Khèi D-2010) Giải phương trình: