giao an day them cua toi

bTìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3... c Phơng pháp đặt ẩn phụ : Dùng để “đa ” HPT phức tạp về HPT bậc nhất hai ẩn 2Một số dạng toán quy về giải HPT

Cho hàm số y = ax + b có đồ thị là (d) và hàm số y = a’x + b’ có đồ thị (d’)

1 Hàm số trên là bậc nhất  a, a’ khác 0

2 Hàm số đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0

3 Cách tìm giao điểm của (d) với hai trục toạ độ

Cho x = 0 => y = b => (d) cắt trục tung tại (0;b) Cho y =0 => x = -b/a => (d) cắt trục hoành tại ( -b/a;0)

4 a gọi là hệ số góc, b là tung độ gốc của (d)

5 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b

Cho x = 0 => y = b => A (0;b) Cho y =0 => x = -b/a => B( -b/a;0)

10 (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ α  (d) đi qua (α;0)

11 (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ α  (d) đi qua (0;α)

12 Toạ độ giao điểm của (d) và (d’) là nghiệm của hệ phơng trình y ax b

13 (d) cắt (d’) tại một điểm trên trục tung  (d) và (d’) cùng đi qua (0;y o ) và a ≠ a’

14 (d) cắt (d’) tại một điểm trên trục hoành  (d) và (d’) cùng đi qua (x o ;0) và a ≠ a’

15 (d) cắt (d’) tại một điểm có hoành độ α  (d) và (d’) cùng đi qua (α;y o ) và a ≠ a’

16 (d) cắt (d’) tại một điểm có tung độ α (d) và (d’) cùng đi qua (x o ; α) và a ≠ a’

17 (d) cắt (d’) tại một điểm thuộc góc phần t thứ nhất

 Hệ phơng trình (I) có nghiệm thoả m n ã x 0

18 (d) cắt (d’) tại một điểm thuộc góc phần t thứ hai

 Hệ phơng trình (I) có nghiệm thoả m n ã x 0

19 (d) cắt (d’) tại một điểm thuộc góc phần t thứ ba

 Hệ phơng trình (I) có nghiệm thoả m n ã x 0

22 Cách tìm điểm cố định của đồ thị hàm số với mọi m

Gọi (x o ; y o ) là điểm cố định của đồ thị hàm số với mọi m  y o = ax o + b với mọi m

Đa phơng trình về dạng A.m = B với mọi m A 0

3 Đồ thị hàm số đi qua điểm (-2;2).

4 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 5.

5 (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3.

6 (d) cắt (d’): y = 2x +3 tại một điểm trên trục tung

7 (d) cắt (d’’):x + 2y = 5 tại một điểm trên trục hoành

8 (d) cắt (d 1 ): y = 5x + 3 tại một điểm có hoành độ 3.

9 (d) cắt (d 2 ): x – 3 y = 6 tại một điểm có tung độ -2.

b)Cho m = 2, tìm hệ số góc và tung độ gốc của (d).

c)Khi m = 3, vẽ đồ thị hàm số và tìm góc tạo bởi đờng thẳng và trục Ox.

d)Khi m= 3 tìm giao điểm của (d) với đờng thẳng y=3x + 3.

e)Tìm đỉêm cố định của đồ thị hàm số với mọi m.

g) Khi m= - 3 tìm giao điểm của (d) với hai trục toạ độ.

h)Khi m = -1, điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số : A(1;2), B(-5;0).

Bài tập 2

a)Chứng minh rằng ba đờng thẳng sau đồng quy : y=x + 1; y = 2x – 1; y = 4x – 5.

b)Tìm m để ba đờng thẳng sau đồng quy : y = x – 1 ; 3y = x + 3; y = 2mx - 1.

Bài tập 3

a) Chứng minh rằng ba điểm sau thẳng hàng: A(-1;-5), B(1/2; -2), C(2;1).

b) Tìm m để ba điểm sau thẳng hàng : A(2;-2), B(1;1), C( m; 3m – 5).

Bài tập 4

Cho hai đờng thẳng y = 2x + m - 1 , y = x + 2m Tìm tập hợp các giao điểm của hai đờng thẳng trên.

Bài tập 5 Cho A(2;1), B(1;2), C(2;4), D(2m + 1 ; m – 3)

a) Xác định giao điểm của AB với hai trục toạ độ.

b) Tìm m để A, C, D thẳng hàng.

c) Xác định trực tâm H của tam giác ABC.

d) Tìm toạ độ điểm E để ABCE là hình bình hành.

Bài tập 6

Cho hàm số y= ( m-1)x + 3.

a) Tìm m để đồ thị hàm số song song đờng thẳng y=2x?

b) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ tam giác cân?

c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành 1 góc 45 o ?

a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất

b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến

c) Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3)

d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9

e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành

f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1

g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m

h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất

Bài 12: Cho đờng thẳng y=2mx +3-m-x (d) Xác định m để:

a) Đờng thẳng d qua gốc toạ độ

b) Đờng thẳng d song song với đờng thẳng 2y- x =5

c) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc nhọn

d) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc tù

e) Đờng thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2

f) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại một điểm có hoành độ là 2

g) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y = 4

h) Đờng thẳng d đi qua giao điểm của hai đờng thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1

Bài 13: Cho hàm số y=( 2m-3).x+m-5

a) Vẽ đồ thị với m=6

b) Chứng minh họ đờng thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi

c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ một tam giác vuông cân

d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 45o

e) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 135o

f) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 30o , 60o

g) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = 3x-4 tại một điểm trên 0y

h) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = -x-3 tại một điểm trên 0x

Bài14 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dơng năm 2000,2001) Cho hàm số y = (m -2)x + m +

3

a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến

b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy d)Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2

Bài 15 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dơng năm 2004)

Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*)

1)Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm

a)A(-1 ; 3) ; b) B( 2 ; -5 2) ; c) C(2 ; -1)

2) Xịc ệỡnh m ệÓ ệă thỡ hộm sè (*) cớt ệă thỡ hộm sè y = 3x Ờ 2 trong gãc phẵn t thụ IV

Bội 16:Cho (d1) y=4mx- ( m+5) ; (d2) y=( 3m2+1).x + m2-4

a) Từm m ệÓ ệă thỡ (d1)ệi qua M(2;3)

b) Cmkhi m thay ệữi thừ (d1)luền ệi qua mét ệiÓm A cè ệỡnh, (d2) ệi qua B cè ệỡnh.c) TÝnh khoờng cịch AB

d)Từm m ệÓ d1 song song vắi d2

e)Từm m ệÓ d1 cớt d2 Từm giao ệiÓm khi m=2

Bội 17 Cho hộm sè y =f(x) =3x Ờ 4

a)Từm toỰ ệé giao ệiÓm cựa ệths vắi hai trôc toỰ ệé

b) TÝnh f(2) ; f(-1/2); f( 7− 24)

c) Cịc ệiÓm sau cã thuéc ệths khềng? A(1;-1) ;B(-1;1) ;C(2;10) ;D(-2;-10)

d)Từm m ệÓ ệths ệi qua ệiÓm E(m;m2-4)

e)Từm x ệÓ hộm sè nhẺn cịc giị trỡ : 5 ; -3

g)TÝnh diỷn tÝch , chu vi tam giịc mộ ệths tỰo vắi hai trôc toỰ ệé

h)Từm ệiÓm thuéc ệths cã hoộnh ệé lộ 7

k) Từm ệiÓm thuéc ệths cã tung ệé lộ -4

l) Từm ệiÓm thuéc ệths cã hoộnh ệé vộ tung ệé bỪng nhau

m) Từm ệiÓm thuéc ệths cịch ệÒu hai trôc toỰ ệé

Bội 3: (2.00 iÓm) đ

Cho hộm sè : y = mx Ờ m + 2, cã ă thỡ lộ đ đêng thỬng (d m ).

1 Khi m = 1, vỳ đêng thỬng (d 1 )

2 Từm tảa é iÓm cè ỡnh mộ ýêng thỬng (d đ đ đ đ m ) luền i qua vắi mải giị trỡ cựa m đ

TÝnh khoờng cịch lắn nhÊt tõ iÓm M(6, 1) ạn đ đ đêng thỬng (d m ) khi m thay ữi đ

=> HM < AM = 26 (2)

Từ (1)(2) suy ra MH ≤ 26Vậy, khoảng cách lớn nhất từ M ến (dð m) khi m thay ổi là ð 26 ( v d).ð ð

Bài 2 (2,0 điểm) Cho hai đờng thẳng:

(d1): y = (m – 1)x – m2 – 2m

(d2): y = (m – 2)x – m2 – m + 1

cắt nhau tại G

a) Xác định toạ độ điểm G

b) Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đờng thẳng cố định khi m thay đổi

Ho nh à độ điểm G l nghi à ệm của phương trỡnh:

Toạ độ điểm G thoả món phương trỡnh đường thẳng y = -2x + 1 cố định Chứng tỏ

G luụn thuộc đường thẳng y = -2x + 1 cố định khi m thay đổi 0,25đ

Câu 2 (2,0 điểm):

1 Cho hai đờng thẳng d và d’ có phơng trình lần lợt là:

d: y = ax + a – 1 (với a là tham số)d’: y = x + 1

a) Tìm các giá trị của a để hàm số y = ax + a – 1 đồng biến, nghịch biến

b) Tìm giá trị của a để d // d’; d ⊥ d’

2 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = 2x + m – 4 cắt đồ thị hàm số y = 1

4x

2 tại hai điểm phân biệt

Câu 2 (2,0 điểm):

1 Cho hai đờng thẳng d và d’ có phơng trình lần lợt là:

d: y = ax + a – 1 (với a là tham số)d’: y = x + 1

a) Tìm các giá trị của a để hàm số y = ax + a – 1 đồng biến, nghịch biến

y = ax + a – 1 đồng biến khi a > 0:

nghịch biến khi a < 0

0,5điể Thay x= 5 2+ vào hàm số => y= ( 5 2 − )( 5 2 + )+3 0,25

=( 5) 2 − + = − = 4 3 5 1 4Vậy giá trị của hàm số tại x= 5 2 + là 4 0,252) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = 3x - 4 với hai trục toạ độ

x= 0 => y = -4 => đờng thẳng cắt trục tung tại A ( 0;-4)

0,50,5

Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + 1 với m là tham số và m # 1

2 Hãy xác định m trong mỗi ờng hơp sau :

tr-a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( -1;1 )

b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lợt tại A , B sao cho tam giác OAB cân.

Vậy với m = 1 Thì ĐT HS : y = (2m – 1)x + m + 1 đi qua điểm M ( -1; 1)

c) ĐTHS cắt trục tung tại A => x = 0 ; y = m+1 => A ( 0 ; m+1) => OA = m+ 1

cắt truc hoành tại B => y = 0 ; x = 1

m m

− −

− Tam giác OAB cân => OA = OB

<=> m+ 1 = 1

m m

=> Trên (P) có 2 điểm mà tung độ bằng -12 là A(-2;-12); B(2; -12) 0,25

Đờng thẳng y = -2x + b đi qua A(-2; -12)  -12 = 4 + b  b = -16 0,25

Đờng thẳng y = -2x + b đi qua B(2; -12)  -12 = -4 + b <=> b = -8

Bài 3 (2,5 điểm)

Cho hai hàm số y = 2x2 có đồ thị (P) và y = x + 3 có đồ thị (d)

a) Vẽ các đồ thị (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Gọi A là giao điểm của hai đồ thị (P) và (d) có hoành độ âm Viết phương trình của đường thẳng (∆) đi qua A và có hệ số góc bằng - 1

c) Đường thẳng (∆) cắt trục tung tại C, cắt trục hoành tại D Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại B Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và tam giác ABD

Bài 3:

a) Đồ thị: học sinh tự vẽ

Lưu ý: (P) đi qua O(0;0), (± 1;2)

(d) đi qua (0;3), 1; 2(− )b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 2x2 = +x 3 ⇔ 2x2 – x – 3 = 0

3 1

y – 2 = -1 (x + 1) ⇔ (∆) : y = -x + 1c) Đường thẳng (∆) cắt trục tung tại C ⇒ C có tọa độ (0; 1)

Đường thẳng (∆) cắt trục hoành tại D ⇒ D có tọa độ (1; 0)

Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại B ⇒ B có tọa độ (-3; 0)

Vì xA + xD = 2xC và A, C, D thẳng hàng (vì cùng thuộc đường thẳng (∆))

⇒ C là trung điểm AD

2 tam giác BAC và BAD có chung đường cao kẻ từ đỉnh B và AC =1

2ADNên ta có ABC 12

ABD

S = AD =

12 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua (1;2) và tiếp xúc với parabol trên.

13 Viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y + x= 3 và tiếp xúc với parabol trên

14 Tìm m để (P) không có điểm chung với đờng thẳng y = 2x + m – 3

15 Tìm m để (P) tiếp xúc với đờng thẳng y = mx – 1 Xác định toạ độ tiếp điểm

16 Tìm giao điểm của (P) và đờng thẳng y – x = 2

17 Tìm m để (P) cắt đờng thẳng y = 3x + m – 1 tại hai điểm A, B có hoành độ xA; xB thoả

19 Tìm các điểm của (P) cách đều hai trục toạ độ

20 Tìm m để (P) cắt đờng thẳng y = mx + 2m – 3 tại hai điểm ở hai phía của trục tung

21 Tìm m để (P) cắt đờng thẳng y =2 mx + 2m + 3 tại hai điểm A, B có hoành độ xA; xB thoả

24 Tìm các điểm trên (P) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành gấp đôi khoảng cách

từ điểm đó đến trục tung

25 Chứng minh rằng : (P) luôn cắt đờng thẳng y = 2mx +2m + 1 tại một điểm cố định với mọi giá trị của m

26 Xác định m để hai đờng thẳng x+y=3 và x+3y = m + 2 cắt nhau tại một điểm thuộc (P)

Nếu kết quả phức tạp thì “đi vòng”.

c) Phơng pháp đặt ẩn phụ : Dùng để “đa ” HPT phức tạp về HPT bậc nhất hai ẩn

2)Một số dạng toán quy về giải HPT:

- Viết phơng trình đờng thẳng ( Xác định hàm số bậc nhất)

I-Dạng 1: Giải HPT không chứa tham số ( Chủ yếu là dùng phơng pháp cộng và đặt ẩn phụ ) Bài tập rất

nhiều trong SGK,SBT hoặc có thể tự ra

II-Dạng 2 : Hệ phơng trình chứa tham số

b) Giải và biện luận HPT theo tham số m

c) Tìm m để HPT có nghiệm duy nhất (x ; y) thảo mãn 4x – 5y = 7

d) Tìm m để HPT có 1 nghiệm âm

e) Tìm m để HPT có 1 nghiệm nguyên

f) Tìm 1 đẳng thức liên hệ giữa x,y độc lập với m

Chú ý : Việc giải và biện luận HPT theo tham số là quan trọng Nó giúp ta tìm đợc điều kiện của tham

−

2y)1m(x

myx)1m(

; có nghiệm duy nhất (x ; y)a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m;

b) Tìm giá trị của m thoả mãn 2x2 - 7y = 1

c) Tìm các giá trị của m để biểu thức A =

yx

y3x2

=

−

2myx

1ymx

a.Giải hệ phơng trình theo tham số m

b.Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x,y) Tìm các giá trị của m để x +y = 1

c.Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 0

a) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x = 1, y = 3 1−

b) Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

+

= +

a y x

a y

x

2

3 3 2

a)Tìm a biết y=1

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S = x2+y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Dạng 3 Một số bài toán quy về HPT

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A(2;5) và B(-5;7)

a Xác định m,n biết d1 cắt d2 tại điểm (2;- 4)

b Xác định phơng trình đờng thẳng d1 biết d1 đi qua điểm (-1; 3) và cắt ox

tại một điểm có hoành độ là - 4

c Xác định phơng trình đờng thẳng d2 biết d2 đi qua điểm 7 trên oy và song song với đờng thẳng y - 3x = 1

5) Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax+ b

Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A (1;3) và B (-3; 1)

6) Tìm giá trị của m để các đờng thẳng sau cắt nhau tại một điểm:

y = 6 - 4x ; y =

4

5

3x+ ; và y = (m – 1)x + 2m

7)Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*)

a)Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm

A(-1 ; 3) ; B( 2 ; -5 2) ; C(2 ; -1)

b) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – 2 trong góc phần t thứ IV

8)Cho hàm số: y = (2m-3)x +n-4 (d) ( 3

2

m≠ )

1 Tìm các giá trị của m và n để đờng thẳng (d) :

a) Đi qua A(1;2) ; B(3;4)

b) Cắt oytại điểm có tung độ y= 3 2 1 − và cắt ox tại điểm có hoành độ

a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến

b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

2 2

y 1 2x

-ùớ

ù + = ùợ

2 Cho phơng trình : x 2 –(2m+1)x +n-3 = 0 Xác định m, n sao cho phơng trình có hai nghiệm là x= 2; x=-3

14 Chứng minh rằng: ba đờng thẳng sau đồng quy: y = x + 2, y = 4x – 1 và y = 2x + 1.

15 Ba đờng thẳng sau có đồng quy không: y = x +2, y = 2x +1 và y = 4x + 2.

16 Tìm m để ba đờng thẳng sau đồng quy: y = x +2, y = 2x +1 và y = 2mx +3

17 Tìm m để đờng thẳng y = 2mx +3 đi qua giao điểm của hai đờng thẳng y = 2x +1 và y = x +2.

18 Tìm m để hai đờng thẳng y = 2x +1 và y = 2mx +3 cắt nhau tại một điểm có hoành độ là 1.

19 Tìm m để hai đờng thẳng y = 2x +1 và y = 2mx +3 cắt nhau tại một điểm có tung độ là 3.

20 Tìm m để hai đờng thẳng y = 2x +1 và y = 2mx +3 cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

21 Tìm m để hai đờng thẳng y = 2x +1 và y = 2mx +3 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.

22 Chứng minh rằng hai đờng thẳng y = x + 2 và y = 2x + 1 cắt nhau tại góc phần t thứ nhất

23 Tìm m để hai đờng thẳng y = 3x + 2m và y = 2x + 1 cắt nhau tại góc phần t thứ nhất

24 Chứng minh rằng hai đờng thẳng y = x + 2 và y = 2x + 1 cắt nhau tại một điểm có tọa độ nguyên(điểm nguyên).

25 Tìm m để hai đờng thẳng y =mx + 2 và y = 2x + 1 cắt nhau tại một điểm có tọa độ nguyên (điểm nguyên).

26 Chứng minh rằng : hai đờng thẳng y = x + 2 và y = 2x + 1 cắt nhau tại một điểm nằm phía trên trục hoành.

27 Cho hai đờng thẳng y =mx + 2 và y = 2x + 1

Tìm m để hai đờng thẳng trên cắt nhau tại một điểm

a) nằm ở phía trên trục hoành.

b) nằm ở phía dới trục hoành.

c) nằm bên phải trục tung.

d) nằm bên trái trục tung.

Đáp số:

3 x

28 Tìm m để hai đờng thẳng y =mx + 2 và y = 2x + 1 cắt nhau tại một điểm có khoảng cách đến trục hoành gấp

ba lần khoảng cách đến trục tung

29 Tìm m để hai đờng thẳng y =mx + 2 và y = 2x + 1 cắt nhau tại một điểm cách đều hai trục tọa độ.

Đáp số:Toạ độ gd của hai đờng thẳng là 3 m 4

m 2 m 2

+

Giải điều kiện xA = yA ta tìm đợc các giá trị của m là m = 1; m = - 7

30 Cho hàm số y = (2m + 1)x + 2m + 3 Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số với mọi m (chứng minh rằng

đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m).

Đáp số: (-1;2)

b) Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) thoả mãn : x2 – 2y2 = 1

2 – 2y = 2 => 2y = 0 => y = 0

0,25 Vậy hệ có nghiệm duy nhất : (x ; y) = (2 ; 0) 0,25

a) Tìm tọa độ giao điểm N của hai đờng thẳng (d1) và (d2)

b) Tìm n để đờng thẳng (d3) đi qua N

= +

Vậy: N(3;5)

b) (d3) đi qua N(3; 5)⇒ 3n - 5 = n -1 ⇔ 2n = 4 ⇔ n= 2.

Vậy: Để đờng thẳng (d3) đi qua điểm N(3;5) ⇔ n = 2

Câu 4 (1,0 điểm)

1 Giải hệ phương trình khi m 2 = ;

2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x ; y ) thoả mãn: 2 x + y ≤ 3

a) Giải hệ (I) với m= 1.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất

Thay m= 1 vào hệ ta được: 2 1 (1)

x y

Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 2 1 1

Bài 2 ( 2 điểm ) Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1

b) Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm

m m

=



⇔  = −Vậy với m=1 và m=-3 thì hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn

=

−

x y

y x

4 5

3 2

3 2

y x x

2

1 2

2

3 2

y

x x

1

y x

0,25

0,5

0,25

0,251) Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b

Xác định a,b để (d) đi qua hai điểm A(1;3) và B(-3;-1)Hai điểm A(1;3) và B( -3;-1) thuộc (d) => ta có hệ

8 2

x y

y x







= +

−

= +

2

8

2

y x

y x x

3

2

y x

x x

y

x

0,25

0,5

2 3

3

2

0 2

xy

y x xy

Câu III: (2.0 điểm)

Cho hệ phơng trình : + + − =

 + + − =



y 1 9 x m ( với m là tham số )1) Giải hệ phơng trình khi m 2 5 =

2) Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhất.

x 1 + + 9 y − > y 1 + + 9 x − mâu thuẫn với (3)

Tơng tự x < y cũng suy ra mâu thuẫn Vậy x = y 0.25 Thay x = y vào pt (1) ta có :

Theo cách chứng minh tơng tự nh trên ta chứng minh đợc : nếu hệ có nghiệm (x; y) thì x = y

Khi đó hệ phơng trình đã cho (II) y x

x 1 9 x 2 5

=



 + + − =

Giải hệ phơng trình trên ta đợc nghiệm duy nhất (x; y) = (4; 4)

Vậy với m 2 5 = thì hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất 0.25

Câu IV: (1.0 điểm)

1 Giải phơng trình bậc hai

• Khi giải phơng trình bậc hai nên thử hai trờng hợp đặc biệt trớc:

+) Nếu a + b +c = 0 thì phơng trình (*) có hai nghiệm x1 1;x2 c

x

2 2 1

2 1

∆ +

−

a

b x

2 2

• Khi xét phơng trình dạng: ax 2 + bx + c = 0 thì cần xét hai trờng hợp a=0 và a ≠ 0

• Đối với phơng trình khuyết thì nên giải theo pp riêng.

2 Tính biểu thức chứa nghiệm của ph ơng trình bậc hai (A)

- Trong một số trờng hợp ta cần tính bình phơng A rồi từ đó suy ra A.

- Trong một số bài ta có thể giải ra nghiệm rồi thay trực tiếp vào A để tính.

- Các biểu thức không đối xứng thờng có hai kết quả.

- Nếu A có chứa căn của các nghiệm thì cần chứng minh phơng trình có hai nghiệm không âm

- Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm không âm là D ³ 0;S³ 0; P³ 0

3 Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm ;a b

• Phơng trình vô nghiệm khi D < 0

5 Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện (*)

• Nếu biểu thức (*) đối xứng:

- Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x 1 ; x 2

- Tính S = x 1 + x 2 và P = x 1 x 2

- Biến đổi (*) để sử dụng bớc 2 Từ đó giải ra m.

- So sánh m với điều kiện và kết luận.

• Nếu biểu thức (*) không đối xứng:

- Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x 1 ; x 2

- Trong một số trờng hợp có thể giải ra nghiệm rồi thay vào (*) để tìm m.

- Nhiều khi không nên giải điều kiện D ³ 0 mà cứ làm các bớc để tìm ra m rồi thử lại

điều kiện này sau.

- Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0.

- Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi D ³ 0; P > 0

- Phơng trình có hai nghịêm âm khi D ³ 0;S < 0; P > 0

- Phơng trình có hai nghiệm không âm là D ³ 0;S ³ 0; P ³ 0

- Phơng trình có hai nghiệm dơng khi D ³ 0;S > 0; P > 0

6 Tìm điều kiện để ph ơng trình có một nghiệm x = xo; tìm nghiệm còn lại.

7 Tìm điều kiện để biểu thức chứa nghiệm (A) đạt cực trị

• Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x 1 ; x 2

• Tính S = x 1 + x 2 và P = x 1 x 2

• Biến đổi A để sử dụng bớc 2 Từ đó tìm ra cực trị của A và giá trị m tơng ứng.

• So sánh m với điều kiện và kết luận.

Chú ý:

- Trong một số trờng hợp có thể giải ra nghiệm rồi thay vào A để tìm cực trị của nó.

- Nhiều khi không nên giải điều kiện D ³ 0 mà cứ làm các bớc để tìm ra m rồi thử lại

điều kiện này sau.

8 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số

• Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x 1 ; x 2

• Tính S = x 1 + x 2 và P = x 1 x 2

• Khử m từ bớc 2 ta sẽ đợc biểu thức cần tìm.

9 Quan hệ giữa hai ph ơng trình bậc hai

Xét hai phơng trình bậc hai: :ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)(1) ; a’x 2 + b’x + c’=0(a’ ≠ 0) (2)

Nếu D 1 + D ³ 2 0 thì sẽ có ít nhất một biệt số không âm Do đó có ít nhất một phơng trình

có nghiệm

10 Quan hệ giữa đồ thị hàm số y = ax 2 (P) và y = bx + c(d)

Xét phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): ax 2 = bx + c(1)

• (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt  phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

• (P) và (d) tiếp xúc nhau  phơng trình (1) có nghiệm kép.

• (P) và (d) không có điểm chung  phơng trình (1) vô nghiệm.

Chú ý: nghiệm của phơng trình (1) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số trên.

1 Xác định các giá trị của m để hai đờng thẳng:y=(m+1)x+2m-1 và y = (2m-3)x +5 vuông góc.

2 Xác định m để các đờng thẳng sau song song:

a)Tính giá trị các biểu thức:

15.Giải và biện luận các phơng trình sau:

ớù + = ùợ

17.Chứng minh rằng các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m:

20.Xác định m để phơng trình x2 – 2(m+2)x + m2 – 1=0 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x1 – x2 = 1

25.Tìm m để phơng trình x2 –(m-2)x – (m2 +1) =0 có hai nghiệm x1;x2 sao cho

27.Tìm m để p.t x2 – 2(m-1)x+2m-3 có 2 no phân biệt Hãy lập hệ thức liên hệ giữa 2

no ko phụ thuộc vào m

28.Cho p.t : x2 -2mx+3 =0 và x2 – 2(m+1)x+m2-3=0 cm: luôn có một p.t có nghiệm với mọi giá trị của m

29.Xác định a để 2 p.t : x2 +ax-1= 0 và x2 – x+ a = 0 có nghiệm chung

30.cm: với mọi k (P): y= -x2 và đờng thẳng đi qua (0;-1) có hệ số góc k luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A; B có hoành độ xA; xB Xác định k để y A - y B = 2(yA;yB là tung độ của A,B).

Bài 31:Cho phơng trình mx2+(2m-1)x+(m-2)=0

1 Giải phơng trình với m = 3

2 Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn x12+x22=2006

3 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m

c) Lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Giải phơng trình trong trờng hợp tổng bình phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất

b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với mọi m

c) Tính tổng và tích giữa các nghiệm của phơng trình

Bài 37: Cho phơng trình: x2+( 2m+1 ).x+m2 +m-2=0

a) Giải phơng trình với m= 4

b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với mọi m

c) Gọi x1,x2 là nghiệm của phơng trình Tính theo m: ( x1+1) ( x2+1)+ 7x1x2

1 + ≥

x

x x x

Bài 40: Cho x2-2( m-1)x +m-3=0

a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m

b Cm phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với ∀m

c Viết một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m Tính x1 theo x2

e Tính m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu, 2 nghiệm dơng

g Với điều kiện nào của m thì x1 −x2 = 4 ; 2x1 + x2 = 0 ;

(x1 + 3x2)(x2 + 3x1) = 8 ; x2

2 - (2m + 1)x2 - x1 + m > 0

h Tìm giá trị lớn nhất của A = x,1(x2 – x1) - x2

2.Lập phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm là số đối của các nghiệm phơng trình trên

Bài 43: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình x2 – 2(m- 1)x – 4 =0

( m là tham số ) Tìm m để x + 1 x = 52

2 1

x

x +

b x31 + x32 e x1 −x2 i) x1 x2

+ x2 x1

g x1 x1 + x2 x2

k x1(2x1- 3) + x

2 2

Bài 46Cho phơng trình x 2 (m+4)x + 3m+3 = 0 ( m là tham số)–

a Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

b Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 ≥ 0

Bài 47Cho phơng trình bậc 2 đối với x.

(m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (3)

a Chứng minh rằng phơng trình (3) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị củ m khác - 1

b- Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu

c Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai

nghiệm đó có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Bài 48Cho phơng trình : (m2 + 1)x2 + 2(m2 + 1)x – m = 0, với m là tham số Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của : A = x1 +x2 với x1 , x2 nghiệm của phơng trình

c)Với giá trị nào của k thì hai phơng trình trên tơng đơng ?

Bài 50: Cho hai phơng trình : x2 – (2m + n)x -3m = 0 (1)

Bài 53: Cho phơng trình x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c) Chứng minh rằng biểu thức H = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào m

d) Tìm giá trị của biểu thức x1 - x2 ; x1 - x2 ; x1 - x2

Bài 54:

a) Định m để phơng trình mx2 - (12 - 5m)x - 4(1 + m) = 0 có tổng bình phơng các nghiệm là 13

a) Giải phương trỡnh (1) khi m=1

b) Tỡm cỏc giỏ trị m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt x x thỏa món1, 2

Cõu II: ( 1,5 điểm)

Cho phương trỡnh x 2 – mx – 2 =0 1) Chứng minh phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt với mọi giỏ trị của m.

2) Gọi x 1 ; x 2 là nghiệm của phương trỡnh.

Tỡm cỏc giỏ trị của m sao cho x 12 +x 22 – 3x 1 x 2 =14

Cõu II: ( 1,5 điểm)

Cho phương trình x 2 – mx – 2 =01/ C1: ta có a.c = 1.(-2) = -2 <0 0,5

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 0,25

C2: 2

= + > ∀

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 0,25

2/ Vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên theo định lí Vi – ét ta có:

+ Víi t = 4 suy ra : x2 = 4 ⇔ x = ±2

Bµi 2: (1.00 iÓm) ð

Cho phýâng tr×nh bËc hai Èn x, tham sè m : x 2 – 2(m + 1)x + m 2 – 1 = 0

TÝnh gi¸ trÞ cña m, biÕt r»ng phýâng tr×nh cã hai nghiÖm x 1 , x 2 tháa m·n iÒu kiÖn : ð

Bµi 3 (1,5 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

a) 1 1 21 0

x +x +3x x đạt giá trị lớn nhất Biết rằng

x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình: x2 – 4x + m = 0

x +x +3x x đạt giá trị lớn nhất Biết rằng

x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình: x2 – 4x + m = 0

phơng trình: x2 – 4x + m = 0 có hai nghiệm x1; x2 khi ∆’ = 2 – m ≥ 0 ⇔m ≤

Thế (1) và (2) vào (3) ta có A = 16 + m do m ≤ 2 nên GTLN của A là 18 khi m = 2.

Câu II (2,0 điểm) Cho phơng trình bậc hai sau, với tham số m :

Vậy khi m = 2 t hì phơng trình (1) có hai nghiệm l à x 1 = 1 v à x 2 = 2.

b) Giả sử x = - 2 là một nghiệm của phơng trình (1) Thay x = - 2 vào phơng trình (1) ta đợc:

( − 2 ) 2 − (m+ 1 ).( − 2 ) + 2m− 2 = 0

0 2 2 2 2

0 4

Vậy với m = -1 thì phơng trình(1) có một nghiệm là x = -2.

Bài 4: (1,5 điểm) Cho phương trỡnh x2 − (3m+ 1)x+ 2m2 + − =m 1 0 (x là ẩn số)

a) Chứng minh rằng phương trỡnh luụn luụn cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi giỏ trị của m

b) Gọi x1, x2 là cỏc nghiệm của phương trỡnh Tỡm m để biểu thức sau đạt giỏ trị lớn nhất: A = 2 2

Δ’ = = m2 - 1 ( m2 - m + 3 ) = m2 - m2 + m - 3 = m – 3 ,do pt cú hai nghiệm x1 ; x 2

(với m là tham số ) Δ’ ≥ 0 ⇒ m ≥ 3 theo viột ta cú:

x1 + x2 = = 2m

x1 x2= = m2 - m + 3

x12 + x22 = ( x1 + x2)2 – 2x1x2 = (2m)2 - 2(m2 - m + 3 )=2(m2 + m - 3 )

Bài 2 (3.0 điểm )

Cho hàm số y = x2 và y = x + 2

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính

c) Tính diện tích tam giác OAB

b) Tìm toạ độ giao điểm A,B :

Gọi tọa độ các giao điểm A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) của hàm số y = x2 có đồ thị (P)

−

= − = − = thay x1 = -1 ⇒ y1 = x2 = (-1)2 = 1;

x2 = 2 ⇒ y2 = 4

Vậy tọa độ giao điểm là A( - 1 ; 1) , B( 2 ; 4 )

c) Tính diện tích tam giác OAB :

B

KC

H

Cách 2 : Hướng dẫn : Ctỏ đường thẳng OA và đường thẳng AB vuông góc

1 Khi k = − 2 , hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);

2 Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt;

3 Gọi y 1 ; y 2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) Tìm k sao cho:

Ta có ac = −4 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.

Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. 0,25

3.

(0,5đ)

Với mọi giá trị của k; đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân

biệt có hoành độ x 1 , x 2 thoả mãn:

x x m

m− + ≥ ⇔ x1 −x2 ≥ 2

Vậy MinP = 2 ⇔ m =1

Câu III (1,0đ):

Cho phơng trình (ẩn x): x2 – 2(m+1)x + m2 +2 = 0

1/ Giải phơng trình đã cho khi m = 1

2/ Tìm giá trị của m để phơng trình đã cho có nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức

* Khi đó, theo định lý viét

⇔ 4x2 – 4x + 1 = 0

2(2x 1) 0

Cho phương trỡnh: x2 - 2mx + (m - 1)3 = 0 với x là ẩn số, m là tham số (1)

a) Giải phương trỡnh (1) khi m = - 1

b) Xỏc định m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt, trong đú một nghiệm bằng bỡnh phương của nghiệm cũn lại

b) Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt ⇔∆’ = m2 - (m - 1)3 > 0 (*)

Giả sử phương trỡnh cú hai nghiệm là u; u2 thỡ theo định lớ Vi-ột ta cú:

Từ (2) ta cú u = m - 1, thay vào (1) ta được: (m - 1) + (m - 1)2 = 2m ⇔m2 - 3m = 0

⇔m = 0 hoặc m = 3 Cả hai giỏ trị này đều thỏa món điều kiện (*), tương ứng với u = - 1

và u = 2

Bài 1 (1,5 điểm)

Cho phương trỡnh: x2 – 4x + n = 0 (1) với n là tham số

1.Giải phương trỡnh (1) khi n = 3

2 Tỡm n để phương trỡnh (1) cú nghiệm

Giai

Cho phương trỡnh: x2 – 4x + n = 0 (1) với n là tham số

1.Giải phương trỡnh (1) khi n = 3

x2 – 4x + 3 = 0 Pt cú nghiệm x1 = 1; x2 = 3

2 Tỡm n để phương trỡnh (1) cú nghiệm

∆’ = 4 – n ≥ 0 ⇔ n ≤ 4

Câu 2(2đ) Cho hàm số y = (2m-1)x2 - 2m

a)Xác định m để đồ thị hàm số đi qua (2;-4)

b)Chứng minh rằng đờng thẳng y=x-2 luôn cắt đồ thị trên với mọi m

Đồ thị hàm số đi qua (2;-4) (2m-1).4-2m =-4

Giải đợc m=0 và kết luận

0,250,25Xét phơng trình hoành độ giao điểm:

Bài 1 Giải các phơng trình sau:

a) x2 – 3x = 0b) x4 - 4x2 + 3 =0

a) 6x + 5 =0b) x2 - 4x + 2 = - x6x + 5 =0 ⇔ 6x = -5

x2 - 4x +2 = -x ⇔ x2 -3x + 2= 0

Giải đợc nghiệm x = 1 ; x = 2 Kết luận nghiệm pt là 1 và 2

0,250,75

Bài 2 (1,5 điểm) Cho phương trỡnh bậc hai x2 - 5x + m = 0 (1) với x là ẩn số

a) Giải phương trỡnh (1) khi m = 6.

b) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm dương x 1 , x 2 thoả món x 1 x 2 + x 2 x 1 = 6

* 2t 2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm

Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x 1 , x 2 thoả mãn

⇒

3

) 1 ( 2 2 1

2 1

x x

m x

(1,0 điểm)

x2 = 6 ⇔ x = ± 6Vậy pt có nghiệm x = ± 6

0,750,25

Câu2) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình x2 - 2(m-1)x - 4 = 0 ( m là tham số)

2 2 1 2

5 −

=

m

0,250,25

0,25

Câu 2 Giải các phơng trình sau:

a) 4x + 3 = 0b) 2x - x2 = 01a:

Câu 1 Cho phơng trình x2 - (m+4)x+3m+3=0 (m là tham số)

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm còn lại.b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 3 0

⇒

3 3

4 2

1

2 1

m x x

m x x