b Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M, N thay đổi.. c Kí hiệu diện tích tam giác APQ là S1 và diện tích tứ giác PQMN là S2.. - Chỉ ra được
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2010-2011 Môn thi: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4 điểm)
a) Không sử dụng máy tính và bảng số, chứng minh: 14− 13 2 3〈 − 11 b) Không sử dụng máy tính và bảng số, hãy so sánh:
A = 11+ 96 và B = 2 2
1+ 2− 3
Bài 2: (5 điểm)
Cho biểu thức: M = 3 2( 3) 3
x
−
a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tính giá trị của M với x = 14 6 5−
c) Tìm GTNN của M.
Bài 3: (4 điểm)
a) Giải phương trình: x-2008 + y-2009 + z-2010 +3012=1(x+y+z)
2 b) Giải hệ phương trình: x - y = 33 3
x - y =9
Bài 4: (7 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho
MAN = MAB+ NAD.
a) BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q Chứng minh rằng 5 điểm P, Q,
M, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn
cố định khi M, N thay đổi.
c) Kí hiệu diện tích tam giác APQ là S1 và diện tích tứ giác PQMN là S2 Chứng minh rằng tỷ số 1
2
S
S không đổi khi M và N thay đổi
Họ tên thí sinh: ……… số báo danh: ………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Trang 2Năm học: 2010-2011 Môn thi: Toán lớp 9 Bài 1: (4 điểm)
a) Không sử dụng máy tính và bảng số, chứng minh:
14− 13 2 3〈 − 11
<=> 14 + 2 154 +11 〈13 +2 156 +12 (0,5 điểm)
<=> 2 154 〈2 156 đúng => điều phải chứng minh. (1 điểm) b) Không sử dụng máy tính và bảng số, hãy so sánh:
A = 11+ 96 và B = 2 2
1+ 2− 3
Bài 2: (5 điểm)
x
−
a) Rút gọn biểu thức M
M =
2
1
x
x
+
b) Tính giá trị của M
x = 14 6 5− = ( 5 -3)2 => x = 3- 5 (0,25 điểm) Thay vào tính được M = 58 2 5
11
c) Tìm GTNN của M
Đặt x+ =1 a
Ta có M = ( a - 2 a )2
2
+ ÷ + 4 =
2
3
a a
+ 4 ≥4 (0,75 điểm)
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 4 khi và chỉ khi x = 4 (0,25 điểm)
Bài 3: (4 điểm)
Trang 3a) Giải phương trình: x-2008 + y-2009 + z-2010 +3012=1(x+y+z)
Điều kiện: x≥2008; y ≥ 2009; z ≥ 2010 (0,25 điểm)
(*) <=> (x-2008) - 2 x−2008+1 + (y-2009) - 2 y−2009 + 1 + (z-2010) - 2 z−2010+1
<=>
(0,75 điểm)
b) Giải hệ phương trình: x - y = 3 (1)3 3
x - y =9 (2)
Thay vào (2) và rút gọn được PT: y2 + 3y + 2 = 0 (0,25 điểm)
Vậy hệ PT có hai nghiệm (x1 = 2; y1 = -1) và ( x2 = 1; y2 = -2) (0,5 điểm)
Bài 4: (7 điểm)
H Q
P
D
N
C M
B A
- Không cho điểm vẽ hình và ghi GT, KL nhưng nếu vẽ hình sai không chấm bài.
a) Chứng minh rằng 5 điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn
- Chỉ ra được tứ giác ABMP nội tiếp đường tròn (0,5 điểm)
Từ đó suy ra năm điểm P, Q, M, N, C cùng nằm trên một đường tròn đường kính MN
(0,5 điểm)
b) Chứng minh MN luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M, N thay đổi
- Kẻ AH vuông góc với MN Chứng minh được tam giác AHM = tam giác ABM (1 điểm)
Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB cố định (1 điểm)
c) Chứng minh rằng tỷ số 1
2
S
S không đổi khi M và N thay đổi
Trang 4Tam giác AQN và tam giác APM vuông cân tại Q và P nên ta có AQ= AP = a = 1
Mà tam giác APQ đồng dạng với tam giác AMN (g.g)
Suy ra
2 2
APQ
AMN
=
S S APQ = 2 1= => S =
=> 1
2
1
S
Ghi chú: - HS dùng cách khác giải đúng vẫn cho điểm tối đa
- Bài làm có lập luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài giữ nguyên, không làm tròn