Gián án Đề thi hsg huyện Vĩnh Tương 2010 - 2011

a Gọi M là giao điểm của AB và EF.. c Gọi N là giao điểm của AE và BF.. Chứng minh rằng ba điểm O, N, O’ thẳng hàng.. Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau gặp nhau thì tóc của họ lập tức

phòng giáo dục - đào tạo

năm học 2010-2011

Môn: toán

Thời gian làm bài 150 phút

Câu1: a) Cho ba số a, b, c thoả mãn b c a b c ;   và c2  2(ac bc ab  ) Chứng minh rằng:

 

2 2

b c





b) Rút gọn: A  4  5 3 5 48 10 7 4 3   

Câu 2: Giải các phơng trình:

a) x3 2x2  x 2 0

b) x 7  9  x x2  16x 66

Câu 3: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

E2x2 2xy5y2 8x 22y2011

b) Cho đẳng thức: a b c x(  ) 2b c a xy c a b y       2 d x y  2 đúng với mọi x, y

và cho a, b, c khác 0 Chứng minh rằng: 2 1 1

b  a c .

Câu 4: a) Chứng minh rằng nếu b là số nguyên tố lớn hơn 3 thì A3n 2 1993b2 là hợp

số với mọi số tự nhiên n

b) Cho các số thực x, y, z thoả mãn x2  y2 z2 2 Chứng minh rằng:

2

x y z xyz    

Câu 5: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF của hai đờng tròn sao cho A và E cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là

đờng thẳng OO’ A E,  ( ); ,O B D ( )O' 

a) Gọi M là giao điểm của AB và EF Chứng minh rằng AOM BMO'.

b) Chứng minh rằng AE vuông góc với BF

c) Gọi N là giao điểm của AE và BF Chứng minh rằng ba điểm O, N, O’ thẳng hàng

Câu 6: a) Hãy tìm tất cả các số nguyên dơng x, y sao cho x2 3y và y2 3x là các số chính phơng

b) ở vơng quốc ”Sắc màu kỳ ảo” có 45 hiệp sĩ trong đó có 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp

sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau gặp nhau thì tóc của

họ lập tức chuyển sang màu tóc thứ ba (ví dụ khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì tóc của cả hai đổi sang màu xanh) Hỏi có thể xảy ra trờng hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau

nh vậy thì ở vơng quốc ”Sắc màu kỳ ảo” tất cả các hiệp sĩ có cùng một màu tóc đợc không ? tại sao ?

Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh số báo danh phòng giáo dục - đào tạo

vĩnh tờng hớng dẫn chấm thi chọn hSG lớp 9

năm học 2010-2011

Môn: toán

-C

hú ý : Nếu thí sinh làm đúng theo cách khác đáp án vẫn cho điểm tối đa.

Đề chính thức

Câu Nội dung trình bày Điểm

1

(2đ) a) (1đ)Ta có:

2

Chứng minh tơng tự ta có: b2 b c 2  2b c b c a     

Vậy

 

2 2

 

0,5đ

0,5đ

b) (1đ)

Ta có:

2

2

7 4 3 2 3 10 7 4 3 10 2 3 20 10 3

48 10 7 4 3 48 20 10 3 28 10 3 5 3

5 48 10 7 4 3 5 5 3 25 5 3

4 5 3 5 48 10 7 4 3 4 5 3 25 5 3 4 5 3

A

0,5đ

0,5đ

2

(1,5đ) a) (0,5đ)

     

2

1

x

x









 

 Vậy phơng trình có tập nghiệm là: S 1;2; 1  

0,25đ 0,25đ

b) (1đ)

ĐKXĐ: 7  x 9

áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

       

2

7 9 2(1)

Mặt khác:

 2

2 16 66 8 2 2(2)

Từ (1),(2) suy ra:

2

Dấu bằng ở (3) xảy ra khi đồng thời xảy ra dấu bằng ở (1) và (2) tức là

khi:

 2

7 9

8

x x

  







(thoả mãn ĐKXĐ) Vậy phơng trình có tập nghiệm là: S  8

0,5đ

0,5đ

3

(1đ) a) (0,5đ)

 

2

2011 2 2 5 8 22 2( 2011) 4 4 10 16 44

Dấu bằng xảy ra khi:



2

x y





 





0,25đ

0,25đ

b) (0,5đ)

Do đẳng thức đã cho xảy ra với mọi x, y nên:

+Với x = 1, y = 0 thì ta có: a b c   d(1)

+Với x = 0, y = 1 thì ta có: c a b   d(2)

Từ (1),(2) suy ra a b c  c a b( ) 2ac b a c  2 1 1

0,25đ 0,25đ

4

(1,5) a) (0,5đ)Do b là số nguyên tố lớn hơn 3 suy ra 2

1 3

b  

Do đó A 3n  2 1993b2  3n  1 664b2b2   1 3

Mà A > 3 suy ra A là hợp số với mọi số tự nhiên n

0,5đ

b) (1đ)

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:

 

Mặt khác:

 

     

Ta lại có 2 y2 z2  2yz 2y z2 2  2y z3 3  2y z3 3  2y z2 2  0(3)

Từ (1);(2);(3) suy ra x y z xyz    4 2   x y z xyz    2

0,5đ

0,25đ 0,25đ

(3đ)

K

I

M

B

A

E

F N

a)(1đ)

Theo tính chất hai tiếp tuyến của đờng tròn cắt nhau ta có:

Hai tia MO và MO’ theo thứ tự là tia phân giác của các góc AME và

BMF

Suy ra MOMO'

'

Suy ra AOM  BMO g g' ( )

0,5đ 0,5đ

b)(1đ)

Ta có MOAE MO; ' BF MO; MO'

c) (1đ)

Gọi I là giao điểm của OM và AE Gọi K là giao điểm của MO’ và BF

Ta có AOM  BMO' và hai tam giác này có hai đờng cao tơng ứng là

AI và BK

'

Ta lại có MK = IN (vì tứ giác MINK là hình chữ nhật)

'

'

( )

   

'

 Hai tia ON và OO’ trùng nhau

Vậy ba điểm O, N, O’ thằng hàng

0,5đ

0,5đ

6

(1đ)

a) (0,5đ)

Ta sẽ chứng minh có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng:

 2  2

Thật vậy giả sử cả hai bất đẳng thức trên đều sai thì:

‘

 2  2

0 x y 8

    (vô lý vì x, y là các số nguyên dơng)

Không mất tổng quát giả sử: x2  3yx 22

Suy ra

 2  2

3 1; 2 1( )

3 4 13 4

+ Nếu k > 5 thì: 2k 32  4k2  13k  4 2k 42 suy ra y2  3x không là

số chính phơng

+ Nếu k 1;2;3; 4 thì 2

3

y  x không là số chímh phơng

+ Nếu k = 0 thì y2  3x = 22 suy ra x = y = 1

+ Nếu k = 5 thì y2  3x = 132 suy ra x = 16; y = 11

Thử lại thấy đúng

Vậy các cặp số (x,y) phải tìm là (1,2) ;(16,11),(11,16)

0,25đ

0,25đ

b) (0,5đ)

Sau mội lần hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau gặp nhau thì màu tóc mỗi

loại tăng them 2 hoặc giảm đi 1 Nh vậy, hiệu số hiệp sĩ có hai màu tóc

khác nhau trớc và sau mỗi lần nh vậy có cùng số d khi chia cho 3

Giả sử xảy ra trờng hợp tất cả 45 hiệp sĩ đó đều có cùng một màu tóc và

số hiệp sĩ có hai màu tóc kia là 0

Ta có: 45 0 3; 45 0 3;0 0 3      

Mặt khác lúc đầu 15 13 2;17 15 2;17 13 4       đều không chia hết cho

3

Do đó điều giả sử là sai

Vậy không thể xảy ra trờng hợp tất cả các hiệp sĩ đều có cùng một màu

tóc

0,25đ

0,25đ