TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÁNG KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Đề số 15 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gia
Trang 1TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÁNG KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Đề số 15 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
-
-I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: ( ) 3 2 2 3
3
x
y=f x = - + x - x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm trên ( ) C có hoành độ x , với0
0 ( ) 6
f x¢¢ =
3) Tìm tham số m để phương trình x3- 6x2+9x+3m= có đúng 2 nghiệm0 phân biệt
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình: 24x- 4- 17.22x- 4+ =1 0
2) Tính tích phân:
0 (2 1)sin
3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x2- 4ln(1- x) trên đoạn [– 2;0]
Câu III (1,0 điểm):
Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ¢ ¢ ¢ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC =
a, mặt ( A BC¢ ) tạo với đáy một góc 30 và tam giác A BC0 ¢ có diện tích bằng
2 3
a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ¢ ¢ ¢
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới
đây
1 Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm
(7;2;1), ( 5; 4; 3)
A B - - - và mặt phẳng ( ) : 3 P x- 2y- 6z+38=0
1) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB Chứng minh rằng, AB ||
( )P
2) Viết phương trình mặt cầu ( )S có đường kính AB
3) Chứng minh ( )P là tiếp diện của mặt cầu ( ) S Tìm toạ độ tiếp điểm của
( )P và ( ) S
Câu Va (1,0 điểm): Cho số phức z= +1 3i Tìm số nghịch đảo của số phức:
2
z z z
w = +
2 Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho điểm (1;3; 2) I
-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I và chứa đường thẳng D 2) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng D
Trang 23) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt D tại hai điểm phân
biệt A,B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4.
Câu Vb (1,0 điểm): Gọi z z là hai nghiệm của phương trình: 1 2, z2- 2z+ +2 2 2i = 0
Hãy lập một phương trình bậc hai nhận z z làm nghiệm.1 2,
Hết
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì
thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
Trang 3BÀI GIẢI CHI TIẾT
Câu I:
Hàm số: ( ) 3 2 2 3
3
x
Tập xác định: D = ¡
Đạo hàm: y¢= - x2+4x- 3
Cho y¢= Û -0 x2+4x- 3Û x=1;x=3
Giới hạn: xlim®- ¥ y= +¥ ; xlim®+¥ y= - ¥
Bảng biến thiên
y
4 3
Hàm số ĐB trên khoảng (1;3), NB trên các khoảng ( –;1), (3;+)
Hàm số đạt cực đại yCÑ =0 tại xCÑ =3,
đạt cực tiểu CT 4
3
y = - tại xCT =1
3
y¢¢= - x+ = Û x= Þ y= -
Điểm uốn của đồ thị là: 2; 2
3
I æçççè - ö÷÷÷ø
Giao điểm với trục hoành: cho y= Û0 x=0;x=3
Giao điểm với trục tung: cho x= Þ0 y=0
Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4
y 0 –4/3 –2/3 0 –4/3
Đồ thị hàm số như hình vẽ:
( )0 6 2 0 4 6 0 1 0 16
3
f x¢¢ = Û - x + = Û x = - Þ y =
f x¢( )0 =f¢( 1)- = - -( 1)2+ -4( 1) 3- = - 8
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: 16 8( 1) 8 8
3
Số nghiệm phương trình (*) bằng số giao điểm của ( )C và : d y=m
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt
0 4 3
m
m
é =
ê
ê
Û
ê =
-ê
Câu II:
x- - x- + = Û - + = Û x- x + = (*)
Đặt t =4x (ĐK: t > 0) phương trình (*) trở thành
(nhan) (nhan)
17 16 0
x x
é
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 0 và x = 2.
Trang 4
0 (2 1)sin
Đặt ìïïídv u=2sinx-xdx1 Þ ìïïídx v =2.cosdx x
î î Thay vào công thức tích phân từng phần ta được:
0 (2 1)cos ( 2cos ) (2 1) 1 2sin (2 1) 1 2.0 2 2
I = - x- x p- òp - x dx= p- - + x p = p- - + = p
- Hàm số y=x2- 4ln(1- x) liên tục trên đoạn [–2;0]
- Cho 0 2 2 2 4 0 1 [ 2;0] (nhan) (loai)
2 [ 2;0]
x
x
é = Î -ê
¢= Û - + + = Û ê = Ï -ê
ff( 1)- = -1 4ln2 ; ( 2)- = -4 4ln3 ; f(0)=0
Trong các kết quả trên, số nhỏ nhất là: 1 4ln2- , số lớn nhất nhất là: 0
Vậy, min[ 2;0]- y= -1 4ln2 khi x= - 1 ; max [ 2;0]- y=0 khi x = 0
Câu III
Do BC AB BC A B
ìï ^
ïî (hơn nữa, BC ^(ABB A¢ ¢))
ìï ^ Ì
ïï
íï
ïïî
là góc giữa (ABC và () A BC¢ )
2
A BC
A BC
¢ D
¢
·
·
0 0
.cos 2 3.cos30 3
Vậy,
l.truï
3
ABC
a
V =B h=S AA¢= ×AB BC AA× × ¢= × × ×a a a = (đvtt)
THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu IVa: (7;2;1), ( 5; 4; 3)A B - -
- Đường thẳng AB đi qua điểm (7;2;1)A , có vtcp ur =ABuuur= -( 12; 6; 4)- - nên có
ptts
7 12
1 4
ìï = -ïï
ï = -íï
ï = -ïïî
(1)
Thay (1) vào phương trình mp(P) ta được:
3(7 12 ) 2(2 6 ) 6(1 4 )- t - - t - - t +38= Û0 0.t+49= Û0 0t = - 49: vô lý
Vậy, AB ||( )P
Tâm của mặt cầu ( )S : (1; 1; 1) I - - (là trung điểm đoạn thẳng AB)
Bán kính của ( )S : R =IA= (1 7)- 2+ - -( 1 2)2+ - -( 1 1)2 =7
Phương trình mc( ) : (S x- 1)2+(y+1)2+(z+1)2=49
Trang 5 Ta có, ( ,( )) 3.1 2.( 1) 6.( 1)2 2 238 7
3 ( 2) ( 6)
+ - + - ( )P tiếp xúc với ( ) S
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với mp(P).
Khi đó PTTS của d:
1 3
1 2
1 6
ìï = + ïï
ï = -íï
ï = -ïïî
Thay vào ptmp(P) ta được :
3(1 3 ) 2( 1 2 ) 6( 1 6 )+ t - - - t - - - t +38= Û0 49.t+49= Û0 t = - 1
Tiếp điểm cần tìm là giao điểm của d và (P), đó là điểm ( 2;1;5) H
-Câu Va: Với z= +1 3i , ta có
w = z2+z z = +(1 3 )i 2+ +(1 3 )(1 3 )i - i = +1 6i+9i2+ -12 9i2= +2 6i
2 6 (2 6 )(2 6 ) 2 36 40 10 10
i
w
-THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb:
Đường thẳng D đi qua điểm (4;4; 3)M - , có vtcp u =r (1;2; 1)
- Mặt phẳng ( )P đi qua điểm (1;3; 2) I
- Hai véctơ: IM =uuur (3;1; 1)
-(1;2; 1)
u =r
-Vtpt của mp(P): [ , ] 1 1; 1 3 3 1; (1;2;5)
2 1 1 1 1 2
n = IM u =æçççç -- -- ö÷÷÷÷=
÷
uuur
PTTQ của mp ( ) : 1(P x- 1) 2(+ y- 3) 5(+ z+2)=0Û x+2y+5z+ =3 0
6
1 2 ( 1)
IM u
d d I
u
+ +
-uuur r r
Giả sử mặt cầu ( )S cắt D tại 2 điểm A,B
sao cho AB = 4 Þ ( )S có bán kính R = IA
Gọi H là trung điểm đoạn AB, khi đó:
IH ^AB Þ DIHA vuông tại H
Ta có, HA=2 ; IH =d I( , )D = 5
R =IA =IH +HA = + =
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
( ) : (S x- 1) +(y- 3) +(z+2) =9
Câu Vb:
Với z z là 2 nghiệm của phương trình 1 2, z2- 2z+ +2 2 2i =0
1 2
1 2
2 2 2
b
a
a
ìïï + = - = ìï
ïïïî
Do đó, z z là 2 nghiệm của phương trình 1 2, z2- 2z+ -2 2 2i =0