Ax và By là hai nửa đường thẳng vuông góc với nhau và cùng vuông góc với AB.. a Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN.. b Xác định vị trí của M và N sao cho tứ diện AB
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011
Môn: Toán
Thời gian làm bài 180 phút
PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x= +3 3x2+(m+1)x+1 có đồ thị là (Cm)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2
2 Tìm những giá trị của m để đường thẳng y x= +1 cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C
sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau
Câu II (2 điểm)
1. Giải hệ phương trình 3 3
2. Giải phương trình 2(1 sinx)(1 tan2 ) 1 cos
sinx cos
x x
x
−
−
Câu III (2 điểm)
1 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn tâm I(2; 2) bán kính R = 1 quanh trục hoành
2 Trong không gian cho hai điểm A, B cố định, độ dài đoạn AB = a > 0 Ax và By là hai nửa
đường thẳng vuông góc với nhau và cùng vuông góc với AB Trên Ax và By lấy hai điểm M và N sao cho MN = b (với b là một số cho trước và b > a)
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN
b) Xác định vị trí của M và N sao cho tứ diện ABMN có thể tích lớn nhất
Câu IV (1 điểm) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x3+ ≥1 m x( 2+ + −1) (1 m x) +1
PHẦN TỰ CHỌN: Mỗi thí sinh chỉ chọn câu Va hoặc Vb
Câu Va (3 điểm) Chương trình cơ bản
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm P(3; 1) và hai đường thẳng có phương trình là
1: 2 1 0
d x y− + = và d x2: +2y− =3 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua P và tạo với hai đường
thẳng d v d1 à 2 một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của d v d1 à 2
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1
:
x− y+ z−
−
2
:
x+ y− z−
− và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x -2y +6z + 5 = 0 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) đồng thời song song với ∆1 và ∆2.
3 Tìm phần thực của số phức ( )2009
1 i−
Câu Vb (3 điểm) Chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol ( )H có phương trình x22 y22 1
a −b = và M là điểm bất kỳ thuộc (H) Gọi d1, d2 là các đường thẳng đi qua M và song song với các đường tiệm cận của (H) Chứng minh rằng hình bình hành tạo bởi d1, d2 và các đường tiệm cận của (H) có diện tích không đổi
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 3; - 2), B(0; 0; 1), C(2; 0; 1) Tìm tọa
độ của điểm M sao cho MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
…Hết…
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ KHỐI A
Trang 2Câu ý Nội dung Điểm
Trang 32
TXĐ D = ¡
Sự biến thiên : y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x + 1)2 ≥ ∀ ∈0 x ¡
Hàm số đồng biến trên ¡
Hàm số không có cực trị
Giới hạn : xlim→±∞y= ±∞
Bảng biến thiên
x −∞ 0 +∞
y’ + 0 +
−∞
1
025
023
025
025
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (Cm) và đường thẳng y = x + 1
x3 + 3x2 + mx = 0 2 0
x
=
Đường thẳng y = x + 1 cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi
2
g x =x + x m+ = có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi
9
4
0
m
∆ > − > <
Khi đó hoành độ của B và C thỏa mãn 3
B C
B C
+ = −
Ta có f’(x) = 3x2 + 6x + m + 1
Hệ số góc các tiếp tuyến tại B và C là f’(xB) = 3x B2+6x B+ +m 1,f’(xC) = 3x C2 +6x C+ +m 1 Các tiếp tuyến tại B và C vuông góc khi và chỉ khi f’(xB) f’(xC) = -1
⇔(3x2B+6x B + +m 1).(3x C2 +6x C + +m 1) = - 1
⇔(3x2B+6x B)(3x C2 +6x C)+ (m + 1)( 3x B2 +6x B+3x C2 +6x C) + (m + 1)2 = - 1
⇔ 9( )x x B C 2+18x x x B C( B+x C) 36+ x x B C +3(m+1)((x B+x C)2−2x x B C +2(x B+x C))
+m2 + 2m + 2 = 0
Kết hợp với (1) ta được
9m2 – 54m + 36m + 3(m+1)(9 – 2m - 3) + m2 + 2m + 2 = 0
⇔4m2 – 13m + 11 = 0 phương trình vô nghiệm
Vậy không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu
025
025
025
Trang 4Điều kiện: 0≤ ≤x 3,0≤ ≤y 3
⇔
0 0 3 3
x y x y
=
=
=
=
Kiểm tra ta thấy 0, 3
= =
Kết luận : Hệ có hệ có hai nghiệm 0, 3
= =
025 025 025
025
Đk : sinx cos
x x
≠
Phương trình tương đương với
2(sinx cos ) (1 sinx)(1 cos )
sinx 1
x
x
x
−
=
⇔ = −
+) sinx = 1 không thỏa mãn Đk vì khi đó cosx = 0
+) cosx = -1 ⇔ = +x π k2 ,π k∈¢ thỏa mãn
Lết luận : Phương trình có họ nghiệm x= +π k2 ,π k∈¢
025 025
025
025 2
Đường tròn tâm I(2; 1) bán kính R = 1 có phương trình : (x - 2)2 + (y - 2)2 = 1
Điều kiện: 1≤ ≤x 3 Từ phương trình đường tròn ta có y= +2 1 (− −x 2)2 với y≥2
Và y= −2 1 (− −x 2)2 với y<2
Thể tích vật thể cần tìm
3
2 1
π
∫
Đặt x – 2 = sint với
− ≤ ≤
025
025
Trang 5x = 1⇒ t =
2
π
−
x = 3 ⇒t =
2
π
dx = costdt, 1 (− −x 2)2 = cost
Vậy V =
2 2 2
π
π
π
2
2 2
π
π
−
∫
025
025
a) Gọi I là trung điểm của MN
do đó tam giác BMN vuông tại B suy ra BI =
2
MN
tương tự AI =
2
MN
Vậy AI = BI = MI = NI =
2
MN
=
2
b
I Tâm mặt cầu ngoại tiếp là I, bán kính R =
2
b
B
Tam giác AMN vuông tại A nên MN2 = AM2 + AN2
Suy ra b2 = MN2 = AM2 + AB2 + BN2 = x2 + a2 + y2
Do đó x2 + y2 = b2 – a2 không đổi
Tứ diện ABMN có đáy là ABM, đường cao BN
V = y≤ a x +y = a b −a
Thể tích tứ diện ABMN lớn nhất khi AM = BN = 2 2
2
b −a .
025
025
025
025
1
Ta có x3+ ≥1 m x( 2+ + −1) (1 m x) +1 ⇔ (x+1)(x2− + ≥x 1) m x( 2− + + +x 1) (x 1)
Điều kiện x≥ − 1
Khi đó bất phương trình tương đương với 2 1 2 1
m
m
− + − + (*) Đặt t = 2 1
1
x
x x
+
− + , bất phương trình (*) có dạng : t – t
2 ≥m (1)
Ta có
2
2
1
1
x
x x
x x
+
− +
− +
Bảng biến thiên
025
Trang 6x -1 − +1 3 +∞
t’ + 0 - t
3 2 3
3
+
Vậy 0; 11 7 3
13
∈
Bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm
11 7 3
0;
13
∈
khi và chỉ khi [0; 11 7 313 ]
ax ( )
t
+
∈
≥ với f(t) = t – t2
f’(t) = 1 – 2t
Bảng biến thiên
t
2 3 2 3
3
+
f(t)
1 4
Từ bảng biến thiên : 11 7 3
[0; ] 13
ax ( )
t
M f t khi x
+
∈
Vậy ycbt tương đương với 1
4
m≤
025
025
025 3
Đường thẳng đi qua P(3 ; 1) có dạng ∆: ax+ −by 3a b− =0
Đường thẳng ∆ tạo với hai đường thẳng d v d1 à 2 một tam giác cân có đỉnh là giao của
1 à 2
d v d khi và chỉ khi ( , ) ( , )∆ d1 = ∆ d2
⇔cos( ,d )∆ 1 =cos( ,d )∆ 2
2 2 2 2
⇔ 2a b a− = + 2b hoặc 2a b− = − −a 2b
⇔ −a 3b=0 hoặc 3a b+ =0
Chọn a = 3, b = 1 hoặc a = 1, b = - 3
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán 3x + y –10 = 0 và x – 3y = 0
025
025
025 025
Vectơ chỉ phương của 1
:
x− y+ z−
:
x+ y− z−
(2; 1;1), ( 2;1; 2)
ur= − vr= − Mặt phẳng (P) song song với ∆1 và ∆2 nhận cặp vectơ
025
Trang 7Va ur=(2; 1;1),− vr= −( 2;1; 2) làm cặp vectơ chỉ phương.
Ta có 1 1 1; 2 ; 2 1 ( 3; 6;0) 3(1; 2;0)
− −
r
Mặt phẳng (P) có dạng (P) : x + 2y + m = 0
Mặt cầu (S) có tâm I(- 2 ; 1 ; - 3) và bán kính R = 3 Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi ( ,( )) 22 22 2 3 3 5
m
+ + Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu là x + 2y + 3 5 = 0 và x + 2y – 3 5 = 0
025 025
025
Ta có
( )2009 ( ( )2)1004
1004
1004 1004 1004
Vậy phần thực của số phức trên là 21004
025
025 025
025 3
Các đường tiệm cận của (H) có dạng y b x
a
= ± Gọi M(x0; y0) 02 02
2 2
Các đường thẳng d1; d2 có phương trình là y b x y0 b x v y0 à b x y0 b x0
Các giao điểm của d1; d2 với các đường tiệm cận A( 0 0
Diện tích hình bình hành S = 2SOAB=OA.OB.sin∠AOB= OA OBuuur uuur2 2−(OA OBuuur uuur )2
Ta có 2 2
=
2 2
2
0 0
2 2
4
2
2 2
4
a b
2
2 2
2
0 0
2 2
4
a b
=
2
2 2
4
a b
Do đó
2
ab
S= không đổi.
025 025
025
025
Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là G(1 ; 1 ; 0)
Ta có
025
025
Trang 83
uuuur uuur uuur uuur
Vậy MA2 + MB2 + MC2 ≥GA2+GB2+GC2 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M ≡G
025 025
Ta có
4 16
2
2 2
0
x
x
x
⇔
>
2 2
8 5
8
0 log
5
0
1 0
4
x x x x x
⇔ ≤ −
>
≤ ≤
⇔
< ≤
Tập nghiệm của bất phương trình là S =
8
[1;2 ] (0; ]
4
∪
025
025
025
025
