Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Tìm các giá trị của m để đường thẳng y= - x+ m cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA v
Trang 1SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ
TRƯỜNG THPT LÊLỢI
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN KHỐI A LẦN THỨ 1
NĂM HỌC 2 1 – 2 1 Thời gian 1 0 phút
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
1
x y
x có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Tìm các giá trị của m để đường thẳng y= - x+ m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho
góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 60 (với O là gốc tọa độ) 0
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình:
1
2 cos 1
x x
2 Giải bất phương trình: 2 2
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
7
2
1
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng a M là điểm thuộc cạnh CD với / / / /
CM x x a , N là trung điểm cạnh A D Tính theo a thể tích của khối tứ diện / / B MC N Xác / /
định x để hai đường thẳng B M và / C N vuông góc với nhau /
Câu V (1,0 điểm)
Xác định các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nghiệm thực
I PHẦN RIÊNG (3 điểm) Chú ý Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần 1 ho c phần 2)
1 Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M1; 2là trung điểm cạnh BC còn hai cạnh AB và
AC lần lượt có phương trình 2x- y- 2= 0 và 4x+ y- 1= 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác đó
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(2;1; 0 ,) (B 0; 5;0 ,- ) (C 1; 2; 6- ) và mp(P): x+ y+ z- 4= 0
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC Tìm điểm I thuộc mp(P) sao cho + +
IA IB IC nhỏ nhất
Câu VII.a (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình sau trong tập hợp các số phức: 2 3 1
2
ïï í
ïî
2 Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) 2 2
C x y Viết phương trình tiếp tuyến của
đường tròn (C) biết tiếp tuyến đó cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện
tích nhỏ nhất
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và (P) cắt mặt cầu (S):
2 2 2
x y z x y z theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình
-ïï í
với x y, Î
–––––––HẾT––––––––
Ghi chú HS không được dùng tài liệu và Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………
Trang 2ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
MƠN TỐN KHỐI A LẦN THỨ NHẤT
+ TXĐ: \ 1{}
+ Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên:
( )2
1
1
x
-, y’ khơng xác định tại x =1
0,25
– Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ;1) và (1;+ ¥ ), hàm số khơng cĩ cực trị
– Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1
® - ¥ = ® + ¥ = Þ tiệm cận ngang y = 1
= + ¥ = - ¥ Þ tiệm cận đứng x = 1
0,25
– Bảng biến thiên:
-y
1 + ¥
- ¥ 1
0,25
1
(1,0
điểm)
+ Đồ thị:
– Đồ thị cắt Oy tại O(0; 0)
– Đồ thị cắt Ox tại O(0; 0)
– Tâm đối xứng là điểm I( )1;1
0,25
1
x
+ Đường thẳng y= - x+ m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
Û Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x ¹ 1
2
hoặc
hoặc
g
ïỵ
0,25
+ Gọi x x là hai nghiệm của (1), ta cĩ 1; 2
1 2
1 2
0
ïï
í ïï
ïỵ
(**)
+ Các giao điểm là A x( 1;- x1+ m B x) (, 2;- x2+ m) và ( )
1 1
2 2
;
;
ïï í
ïïỵ
OA OB
0,25
I
(2,0
điểm)
2
(1,0
điểm)
2
1
-(do (**))
0,25
Trang 32 2 4 { 2; 0; 6}
m
ê
-êë Kết hợp với (*) ta cĩ m= - 2 hoặc m= 6 + ĐK: cos 1
2
+ Ta cĩ
2
PT
÷ ç
-ç
-0,25
3
x
x k k
0,25
1
(1,0
điểm)
+ Kết hợp điều kiện, ta cĩ nghiệm của phương trình là 4 2 ,
3
ĐK: 2
TH2 Xét x Ỵ - ¥ -( ; 1] [ )È 1; 2
2
2
2 2
x x
x
éì + £ïïêí
êï - ³ ïỵê
-ì + >
ï êï êí
ïỵë
0,25
II
(2,0
điểm)
2
(1,0
điểm)
TH3 Xét x Ỵ (2;+ ¥ )
( )2
4
-So sánh điều kiện đang xét, nghiệm của (1) trong TH3 là x > 2 Kết luận Tập nghiệm của bất phương trình là ; 5 [2; )
4
S= - ¥ -ỉçççè ùúúûÈ + ¥
0,25
Tính
7
2
1
t= x+ Þ x= t - và dx= 2tdt
ïï í
ïỵ
0,25
2
÷ ç
÷
2
III
(1,0 điểm)
1 24 ln7
6
Trang 4H N
D C
A
A'
D'
B
M
1
3
B MC N M B C N B C N
3
1 1
a
A B B C AA
ç
* Tìm x để B’M C’N
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (A’B’C’)
Þ B’H là hình chiếu vuông góc của B’M trên (A’B’C’)
Vậy B M' ^ C N' Û B H' ^ C N'
0,25
IV
(1,0 điểm)
2
a x
0,25
+ ĐK: x £ 1
+ Đặt
2
-ïï
-ïïî
+ Ta có ( ) ( )
2 1 2
1
t
+ +
Î êë úû
( )
2
1
t
Þ = + > " Î êë úû nên f t( ) đồng biến trên 1; 2éê ùú
ë û
0,25
V
(1,0 điểm)
1; 2 1; 2
3 2 2 1
0,25
VIa
(2,0
điểm)
1
(1,0
điểm)
N
M A
Trang 5+ Tọa độ của A là nghiệm của hệ
1
; 1 2
1
A
y
ìï
-0,25
+ Gọi N là trung điểm AC thì MN song song AB nên nMN = nAB= (2; 1- )
Suy ra phương trình MN: 2(x- 1) ( )(+ - 1 y- 2)= 0Û 2x- y= 0
Tọa độ của N là nghiệm của hệ
1
;
3
x
N
y
ìï
ï = ï
÷
ïï ïỵ
0,25
+ N là trung điểm AC suy ra
1 2
1 5 6
;
2
3
C
ìï
÷
ïï ïỵ
+ M là trung điểm BC suy ra
13 2
13 7 6
;
2
3
B
ìï
÷
ïï ïỵ
+ Ta cĩ IA+ IB+ IC= 3IG
Suy ra IA+ IB+ IC
nhỏ nhất Û 3IG
nhỏ nhấtÛ IGnhỏ nhất
Û I là hình chiếu vuơng gĩc của G trên (P)
0,25
+ Đường thẳng d qua G, vuơng gĩc với (P) cĩ phương trình
1 2 2
ïï
í
ïïỵ
0,25
2
(1,0
điểm)
+ Tọa độ M là nghiệm của hệ
1
2 2
1 2
3
x
y
z
ïỵ
Hay tọa độ M là (2; 1;3- ) 0,25
+ Ta cĩ
2
ì
0,25
(2 )
i y
i
ïïï
ï =
ïỵ
0,25
2
y
ïï ï
ïỵ
0,25
VIIa
(1,0 điểm)
VIb
(2,0
điểm)
1
(1,0
điểm)
( )
0; 0
Tâm : Bán kính
ìï ïï í
= ïïỵ
Gọi tọa độ A a( ; 0 ,) (B 0;b) với a> 0,b> 0 0,25
Trang 6+ Phương trình AB: x y 1 x y 1 0
a+ b = Û a+ b- =
AB tiếp xúc (C) ( )
2 2
2 2
1
ab
d O AB
+ +
2 2 2 2
2 2 2
S
+
Þ SDOAB nhỏ nhất khi a= b
0,25
Từ a= b và (***) suy ra a= b= 2 Kết luận: Phương trình tiếp tuyến là 1 0
+ Phương trình (S): ( )2 ( )2 ( )2 2
( )
1; 3; 2
Tâm : Bán kính S
R
-ï
Þ í
ïỵ
0,25
+ (P) chứa Oy nên phương trình cĩ dạng Ax+ Cz= 0 với ( 2 2 )
0
A + C ¹
(P) cắt (S) theo một đường trịn cĩ bán kính r=2 ( ) 2 2
0,25
2 2
2
+
2
(1,0
điểm)
Chọn A=1 Þ C=2 Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x+ 2z= 0 0,25 ĐK: x> 0,y> 0 hệ viết lại
-ïï í
ïïỵ
Xét hàm số ( ) 2
f t = t + t+ - t với t Ỵ
0,25
2 /
1
t
+
Þ f t( ) nghịch biến trên
0,25
Từ (1), ta cĩ f(lnx)= f (lny)Û lnx= lnyÛ x= y 0,25
VIIb
(1,0 điểm)
x
g x = ỉ ưçç ÷÷ + ỉ ưçç ÷÷
è ø è ø nghịch biến trên )
Kết luận Hệ cĩ nghiệm duy nhất x= y=1
0,25
Ghi chú Đáp án chỉ trình bày một cách giải Cịn nhiều cách giải khác, nếu HS trình bày đúng thì cho điểm
tối đa theo thang điểm của từng bài
Thành phố Đơng Hà – Quảng Trị