Sự biến thiên của hàm số: a Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: * Do đó đường thẳngx 1là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số... Khi đó tìm quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng AB... Tìm q
Trang 1Câu Đáp án Điểm 1.a
(1,0
điểm)
1
x y
x
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
A Giải theo chương trình nâng cao
2) Sự biến thiên của hàm số:
a) Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:
*
Do đó đường thẳngx 1là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Do đó đường thẳngy 2là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
0,25
b) Bảng biến thiên:
Ta có:
2
2
1
x
Bảng biến thiên:
x - -1 +
y
+
2
2
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 1và 1;
0,25
3) Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục tung tại0; 4 và cắt trục hoành tại điểm2;0
+ Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểmI 1; 2của hai tiệm cận làm tâm đối xứng
(Người giải: Nguyễn Xuân Nam)
0,25
Trang 2B Giải theo chương trình chuẩn
2) Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
2
2
1
x
Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1và 1;
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn:
*
Do đó đường thẳngx 1là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Do đó đường thẳngy 2là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
+ Bảng biến thiên:
x - -1 +
y
+
2
2
0,25
3) Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm 0; 4
+ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm 2;0
+ Đồ thị hàm số nhận giao điểmI 1; 2của hai tiệm cận làm tâm đối xứng
0,25
4) Vẽ đồ thị:
(Người giải: Nguyễn Xuân Nam)
0,25
1.b
(1,0
điểm)
Tìm m để đường thẳng d :y2x m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Khi đó tìm quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng AB
Trang 3
2 1
x
x m x
1
x
( ) :d y2xmcắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lớn hơn 1 khi và chỉ khi
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 (*)
Đặt x 1 t x t 1;x 1 t 0
0,25
1 2t m8 t2 m 5 0 2
(*) tương đương với (2) có hai nghiệm phân biệt cùng dương
8
8 0
2
5
m
m m m
0,25
Kết luận không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán Quỹ tích không tồn tại
(Người giải:Hoàng Minh Thi) 0,25
2
(1,0
điểm)
Giải phương trình:
2 cos 2
x
Điều kiện: sin 0
x x
(1) cosxsinx 1 cos sin x x 2 cosxsinx cosxsinx sinx cosx
0,25
+ Nếu cosxsinx0 cos 0
x
x
0,25
+ Nếu 1 cos sin x x2 cos xsinx sinx cosx
Ta có:
2
2
=>
2 3 2
VP VT
0,25
4
x k k Z
(Người giải: Nguyễn Xuân Nam) 0,25
3
(1,0
điểm) Giải hệ phương trình: 2 2
(1)
Điều kiện: x0
Trang 4+ TH2:y0
Hệ tương đương:
2 2
1 2 2 1
2
y
y
2
1
2 2
1
2
y
0,25
2
2
1
2 2
1
2
y y
y
y
Đặt:
2
1 2
x y a
y x
Hệ phương trình (1) trở thành:
2
2
1(*)
1 2
x y
y
0,25
2
mặt khác từ (*) ta có: y0
Vậyy0thì hệ phương trình vô nghiệm
Kết luận: hệ phương trình có nghiệm x y; 0;0
(Người giải: Nguyễn Bá Giáp)
0,25
4
(1,0
điểm) Tính tích phân:
4 3 2 1 2
1 2
1
x
x
Xét nguyên hàm
4 3 2
1
x
x
Đặt
3 1
xdx
0,25
Trang 5Vậy
3 4
3
2
x
dx
x
Như vậy tích phân
1
1 2
2
2
ln
16 1 8
7 3 1
ln
18 1
I
x
(Người giải: Trần Quang Minh, Nguyễn Xuân Nam)
0,25
5
(1,0
điểm)
Cho hình chópS ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, tam giác ABC vuông tại B có
ABa, ACa 3, mặt phẳng SBC hợp với mặt phẳng ABC một góc 300, gọi M là điểm di động trên AB, gọi H là hình chiếu của S trên CM Tìm quỹ tích điểm H và khoảng cách AC đến
SM khi M là trung điểm của AB
Hay tam giác AHC vuông tại H, suy ra H
thuộc đường tròn đường kính AC
Vì M nằm trên đoạn AB nên CM luôn nhỏ
hơn hoặc bằng AC hoặc BC, như vậy điểm H
sẽ nằm trong tam giác ABC và trên nửa
đường tròn đường kính AC
+ Khi M A H M A, CM suy biến
thành AC
+ Khi M B HM B, CM suy biến
thành BC
0,25
b Gọi (d) là đường thẳng song song với AC, trên (d) lấy điểm D sao cho MD AC
Suy ra d SM AC , d SM SMD( , ( ))
Kẻ AE vuông góc với DM => (SAE)DM, kẻ AK vuông góc với SE => AK DM
Như vậy AK(SDM)d SM SMD( , ( )) AK
0,25
Kẻ MN//AE, suy ra AE MN và MNAC , xét ANM ABC Ta có
6 3
AC
AM
SA BC
0,25
Trang 6Xét tam giác SAB vuông tại A ta có: 0 3
3
Xét tam giác SAE vuông tại A có đường cao AK, ta có:
.
3
.
SA AE
,
3
d SM AC a
(Người giải: Nguyễn Thị Thi Anh, Nguyễn Xuân Nam)
0,25
6
(1,0
điểm)
Choa b c, , 0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
S a b b c c a a b c
S Q a b b c c a a b c
Không mất tính tổng quát ta giải sử
0 c b a 1 Q (a b b c c )( )( a a b c)( )
0,25
Đặt:Q b c f ( , , )a b c
Ta có: f( )a (a b a c a b c )( )( )
'
0
a
f a c a b c a b a b c a b a c
Nên ta có: f( )b f( )a f(1) (1 b)(1c)(1 b c)
Do đó ta có:Q b c1b1c1 b c 1 b g ( )c
Trong đó:g( )c (b c)(1c)(1 b c)
(
2
c
g c b c c b b c b c c c b b
0,25
Vì 1 b c 0 nên ta có1 b b2c2 g'( )c 0 g( )c g(0) b(1b)
( )
Q b g b b T
Ta có:
2
0,25
9
, , (1, , 0)
3
a b c và các hoán vị
(Người giải: Trần Quang Minh)
0,25
7.a
(1,0
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2
x y x y Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng ( ) :d x y 2 0 sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến ME, MF (E, F là các tiếp điểm) thỏa mãn diện tích tứ giác MIEF bằng 6 2
Trang 7điểm) Đường tròn (C) có tâm (1; 2)I , bán kính
3
R
Khoảng cách từ I đến đường thẳng (d) là:
,
3 2
2
I d
thẳng (d) không cắt đường tròn (C), suy ra từ
một điểm bất kỳ nằm trên (d) sẽ luôn kẻ được
hai tiếp tuyến tới đường tròn (C)
0,25
Gọi M a a( ; 2) ( )d
IM a a a a
ME IM IE a a a a
0,25
Theo bài ra ta có: S MIEF 6 2SMEI SMFI 2SMEI SMEI 3 2
2
2
3
a
Kết luận: M(0; 2) hoặc M( 3; 1)
(Người giải: Nguyễn Xuân Nam)
0,25
8.a
(1,0
điểm)
4 x x 2x 4 x 2x x (1)
Đk: x 2
(1)4 4x x 2x 4 4 x 2 2x x 0,25
4 x 4 x 4 2x 2 x 1
16
x
+ Nếu: 16x 16 0 x 1(tm)
+ Nếu: 4 x2 2x342 x 2 x34
3
2 3
4
x
0,25
Trang 83
2( ) 4
4
(2) ( 2)( 2 4 4) 0
x tm x
x
f x x x trên 3
4;
( )
'x 5 8 12 0
4;
x
Như vậy hệ phương trình (2) vô nghiệm
Kết luận: Phương trình có nghiệm là x1; x2
(Người giải: Nguyễn Xuân Nam)
0,25
9.a
(1,0
điểm)
Lấy đạo hàm hai vế 1 ta được:
2011 1 x C 2xC 3x C 2011x C
Nhân hai vế với x ta được:
2011x 1 x xC 2x C 3x C 2011x C (2)
0,25
Lấy đạo hàm hai vế 2 ta được:
2011 1 x 2010x 1 x C 2 xC 3 x C 2011 x C (3) 0,25 Thayx1vào hai vế của (3) ta được:
2011 2 2010.2 1 C 2 C 3 C 2011 C
Vậy S=2011.2012 2009
2
(Người giải:Nguyễn Nam Tài)
0,25
8.b
(1,0
điểm)
1
y x
x
Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tổng khoảng cách
từ M tới hai đường thẳng đạt giá trị lớn nhất
Tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho lần lượt là x1 ;y2x1
1
m
0,25
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 m1
Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là
2
1
5 1
d
m
Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là 1 1
5 1
m
0,25
Trang 9Giá trị nhỏ nhất của d là
4
2 5
, đạt được khi
4
m
(Người giải:Hoàng Minh Thi)
0,25
9.b
(1,0
điểm)
Giải bất phương trình:
3
32
8
x
x
Đk: x0
2 (1) log log 9 log 4 log
2
x
x
0,25
2
2
x
log x 9 log x 2log x 1 45 18log x 4log x 0
0,25
log x 13log x 36 0
2
2 2
2 2
x
x
x x
0,25
Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là: 1 1
; 4;8
8 4
x
(Người giải: Nguyễn Xuân Nam) 0,25
Chú ý:
I – Cách chấm một bài thi tự luận:
1) Học sinh dùng mực đỏ để gạch chân các chỗ sai trong bài thi
2) Học sinh làm cách khác với đáp án , nếu đúng thì cho điểm tối đa câu đó !
3) Học sinh làm sai hoặc sót ở bước 0, 25 đ nào thì cắt 0, 25 điểm tại đó
4) Một bài toán nếu bước trên(0,25 đ) sai và kết quả bước phía dưới (0,25 đ) liên quan đến
bước trên thì cắt điểm từ chỗ làm sai và các bước sau có liên quan
5) Một bài toán nếu bước trên(0,25 đ) sai và bước phía dưới (0,25 đ) không liên quan đến
bước phía trên nếu đúng vẫn cho 0, 25 đ
6) Học sinh cho điểm của từng câu Sau đó cộng điểm của các câu để có điểm của bài thi
Trang 10II – Phương pháp học tập:
viết tắt (trừ các ký hiệu toán học cho phép ), không được làm bài quá ngắn gọn hơn với đáp án
2) Cần tích cực, chủ động đọc các tài liệu tham khảo, tự làm các đề thi thử, các đề tham khảo ,
các đề đã thi để nâng cao trình độ kiến thức và kỹ thuật, kỹ năng trình bày một bài thi tự luận
3) Học sinh cần tích cực tự học, tự tư duy, tránh tình trạng ỉ lại các chuyên gia của THS
III – Việc post câu hỏi lên trang mạng:
1) Cố gắng đọc đi đọc lại đề để đảm bảo tính chính xác cho mỗi câu hỏi
2) Tag tên các chuyên gia bạn biết để được giải đáp nhanh chóng và chính xác nhất
Mọi thắc mắc về đáp án, đề thi và các vấn đề lien quan xin lien hệ qua địa chỉ:
truonghocso@gmail.com
CHÚC CÁC EM HỌC TẬP TỐT!
“Con đường thành công không phải là con đường được vẽ sẵn”