Tìm điểm M thuộc cung AB của đồ thị P sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.. Từ điểm M ở ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến MC, MD với O C, D là các tiếp điểm.. Tia phân giác của g
Trang 1UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I
Câu 1: (2.0 điểm)
Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) Hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt
là -1 và 2
a Viết phương trình đường thẳng AB
b Tìm điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất
Câu 2: (2.0 điểm)
Giải các phương trình
a
20
1 ) 1 x (
1 )
2 x
(
x
1
2 =
−
−
b x+2+3 2x−5+ x−2− 2x−5 =3 2
Câu 3: (2.0 điểm)
Cho ba số y, z, t Đặt a = y + z + t; b = yz + zt + ty; c = yzt Chứng minh các phương trình ẩn x sau đều có nghiệm
x2 + 2ax + 3b = 0
ax2 - 2bx + 3c = 0
Câu 4: (3.0 điểm)
Cho đường tròn tâm O Từ điểm M ở ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến
MC, MD với (O) (C, D là các tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MAB không đi qua tâm O,
A nằm giữa M và B Tia phân giác của góc ACB cắt AB tại E
a Chứng minh MC = ME
b Chứng minh DE là phân giác của góc ADB
c Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh IM là phân giác của CID
Câu 5: (1.0 điểm)
Cho A(n) = 5n(5n+1) - 6n(3n + 2n) Chứng minh rằng: A(n) chia hết cho 91 với mọi số n nguyên dương
Trang 2UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I
Câu 1: (2.0 điểm)
- A, B thuộc đồ thị hàm số y = x2 nên có toạ độ A(-1;1), B(2;4)
- Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b (*)
- Thay toạ độ của A, B vào (*) được:
=
=
⇔
= +
= +
−
2 b
1 a 4
b a 2
1 b a
Vậy phương trình đường thẳng AB là y = x + 2
- Gọi m là hoành độ của điểm M Có M(m;m2)
và m∈ [-1, 2] Gọi C, D, N lần lượt là hình
chiếu của A, B, M lên trục hoành ta có:
NC = m+1; ND = 2-m; CD = 3
- SAMB = SABCD - (SAMNC + SMBDC)
- Tính được:
SABCD =
2
15 3 2
4 1 CD 2
BD
2
m 1 CN 2
MN
+
+
= +
2
4 m ND 2
BD
−
+
= +
- SAMB = −
2
15
) 1 m ( 2
m
+
2
4
m 2
−
+
−
2
m 4 m 8 m 2 m 1 m m
15 − − 3 − − 2 − 2 − + 3 +
=
2
3 2
m 3 m
3
6+ − 2 = − 2 − −
=
8
27 ) 2
1 m ( 2
3 ) 4
1 2 ( 2
3 )
2
1
m
(
2
−
=
8
27
≤ Dấu “=” xảy ra khi
2
1
m =
- Do [ ]- 1;2
2
1 ∈ nên SAMB lớn nhất là
8
27 (đvdt)
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
A
B
M
Trang 3Câu 2: (2.0 điểm)
a (1.0 điểm)
-
20
1 1 x 2 x
1 x
2
x
1
2
+
−
−
−
⇔
- Đặt y = x2 −2x(y ≠ 0 ; y ≠ − 1) được:
0 20 y y ) 1 y ( y ) y 1 y ( 20 20
1 1 y
1 y
+
- Giải được: y1 = 4; y2 = -5
- Tìm x với y1 và y2 vừa tìm được:
x2 - 2x = - 5 ⇔ x2 - 2x + 5 = 0 Phương trình vô nghiệm
x2 - 2x = 4 ⇔ x2 - 2x - 4 = 0 Phương trình có hai nghiệm x1 = 1 + 5 ; x2 = 1 − 5
b (1.0 điểm)
- Nhân hai vế với 2được: 2x+4+3.2. 2x−5+ 2x−4−2 2x−5 =3
- ⇔ 2 x − 5 + 9 + 3 2 2 x − 5 + 2 x − 5 + 1 − 2 2 x − 5 = 3
⇔ ( 2 x − 5 + 3 ) 2 + ( 1 − 2 x − 5 ) 2 = 3
- ⇔ 2 x − 5 + 3 + 1 − 2 x − 5 = 3
- Có 2 x − 5 + 3 + 1 − 2 x − 5 ≥ 2 x − 5 + 3 + 1 − 2 x − 5 = 4 Vậy phương trình vô nghiệm
( Trong trường hợp này không cần thử lại hoặc đặt điều kiện)
Câu 3: (2.0 điểm)
a.(0.75 điểm): Phương trình x2 + 2ax + 3b = 0 (1)
- ∆’=a2 - 3b = (y + z + t)2 - 3(yz + zt + ty) = y2 + z2 + t2 -yz - zt - ty
- =
2
1
[(y-z)2 + (z-t)2 + (t-y)2]
- ∆’≥ 0 nên (1) luôn có nghiệm
b (1.25 điểm): Phương trình ax2 - 2bx + 3c = 0 (2) Xét a = 0:
- Nếu b = 0 ⇒ a2 - 3b = 0 ⇒ 21[(y-z)2 + (z-t)2 + (t-y)2] = 0
⇒ y = z = t = 0 ⇒ c = 0 Lúc đó phương trình (2) có vô số nghiệm
- Nếu b ≠ 0 ⇒ Phương trình (2) có nghiệm duy nhất
Xét a ≠ 0:
- ∆’= b2 -3ac = (yz + zt + ty)2 - 3(y + z + t)yzt
= (yz)2 + (zt)2 + (ty)2 +2z2yt + 2y2zt + 2t2zy - 3y2zt- 3z2yt - 3t2zy
Trang 4- =
2
1
[(yz-zt)2+(zt-ty)2+(ty-yz)2]
- ∆’≥ 0 nên (2) luôn có nghiệm
Câu 4: (3.0 điểm)
a.(1.0 điểm)
- Gọi F là giao điểm của CE với (O) Có AF =
BF
- sđ AEC = sđ
2
BF
AC +
=sđ
2
F A
AC +
= sđ
2
CF
= sđ MCF
- ⇒∆ MCE cân tại M nên MC = ME
(Mỗi ý cho 0,25 điểm- Riêng ý 2 cho 0,50 điểm)
b.(1.0 điểm)
Gọi G là giao điểm của DE với (O)
- sđ MDE = sđ
2
DG
= sđ
2
AD
+ sđ
2
AG
- sđ MED = sđ
2
AD
+ sđ
2 GB
- ⇒ sđ
2
GB
= sđ
2
AG
⇒∠ ADG = ∠ GDB hay DE là phân giác của góc ADB
c.(1.0 điểm)
- I là trung điểm của dây AB ⇒ OI ⊥IM
- MC, MD là tiếp tuyến của (O) nên OC ⊥ CM; OD⊥DM
- ⇒ Các điểm M, C, I, O, D nằm trên đường tròn đường kính MO
- MC = MD ⇒MC = MD ⇒∠ CIM = ∠ DIM Hay IM là phân giác của góc CID
(Mỗi ý của b,c cho 0,25 điểm)
Câu 5: (1.0 điểm)
- A(n) = 25n + 5n - 18n - 12n
= (25n - 18n) - (12n - 5n)
- (25n - 18n); (12n - 5n) đều chia hết cho 7 nên A(n) chia hết cho 7
- A(n) = (25n - 12n) - ( 18n - 5n )
- (25n - 12n); ( 18n - 5n ) đều chia hết cho 13 nên A(n) chia hết cho 13
- (13,7) = 1 nên A(n) chia hết cho 13.7 = 91
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
M
C
D
B A
O I E
F G
Trang 5UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II
Câu 1: (2.0 điểm)
a Cho a, b là các số thực không âm tuỳ ý Chứng tỏ rằng:
) b a ( 2 b a b
a + ≤ + ≤ + Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
b Cho x, y, u, v là các số thực không âm thay đổi và có tổng bằng 1
- Chứng minh x + y + u + v ≥ 1
- Hãy tìm giá trị lớn nhất của S = x + y + u + v
Câu 2: (2.0 điểm)
Giải các hệ phương trình sau:
a
= +
−
= +
−
0 5 xy 3 x 2
0 y 2 xy 3 x
2
2 2
b
−
=
=
− + +
2
2 3
x 3 xy
0 y 6 x 3 x y y
Câu 3: (2.0 điểm)
Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm
N sao cho góc MBN bằng 450 Đường chéo AC cắt BM tại E và cắt BN tại F
a Tính số đo góc ENB
b Gọi G và H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EBC và EDF Chứng minh GH song song với MB
Câu 4: (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm M, N,
P sao cho
2
1 PB
PA NA
NC MC
của CP và AM, C’ là giao điểm của AM và BN Đường thẳng qua N song song với
BC cắt AM tại Q Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng CP tại D
a Tính các tỉ số:
Q C'
M C' ; AM
AB' ; MC
AD
b Chứng minh: B' A = B' C'
c Gọi S là diện tích tam giác ABC Tính diện tích tam giác A’B’C’ theo S Câu 5: (1.0 điểm)
Trang 6Không tồn tại các số nguyên x, y, z để x3 + y3 + z3 = 2008 + x + y + z.
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II
Câu 1: (2.0 điểm)
a (1.0 điểm)
- a + b ≤ a + b ⇔ a + b ≤ a + b + 2 ab ⇔ 2 ab ≥ 0
- Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0
- a + b ≤ 2 ( a + b ) ⇔ a + b + 2 ab ≤ 2 ( a + b ) ⇔ a + b − 2 ab ≥ 0 ⇔ ( a − b ) 2 ≥ 0
- Dấu “=” xảy ra khi a = b
b (1.0 điểm)
- S = x + y + u + v ≥ x + y + u + v ≥ x + y + u + v = 1 = 1
- S = x + y + u + v ≤ 2 ( x + y ) + 2 ( u + v )
2 4 ) v u y x ( 4 )) v u ( 2 ) y x ( 2 (
- Dấu “=” xảy ra khi x = y và u = v và x + y = u + v và x + y + u + v = 1
-
4
1 v u
y
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 2: (2.0 điểm)
a (1.0 điểm)
- Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn x Giải phương trình này được x1 = 2 y ; x2 = y
- Với x = 2y Thay vào (2) được:
2(2y)2 - 3.(2y).y + 5 = 0 ⇔ 8y2 - 6y2 + 5 = 0 ⇔ 2y2 + 5 = 0 PT vô nghiệm
- Với x = y Thay vào (2) được:
2x2 - 3x2 + 5 = 0 ⇔ x2 = 5 ⇔ x1 = 5 ; x2 = − 5
- Hệ có nghiệm:
=
=
5 y
5 x
và
−
=
−
=
5 y
5 x
b.(1.0 điểm)
- Thay xy từ (2) vào (1) được:
⇔
−
=
=
− +
− +
2
2 3
x 3 xy
0 y 6 x 3 ) x 3
(
y
y
⇔
−
=
=
− +
− +
2
2 3
x 3 xy
0 y 6 x yx y 3 y
- ⇔
−
=
=
−
− +
−
2 x 3 xy
0 ) x y ( 3 ) x y )(
x
y
(
y
⇔
−
=
=
− +
−
2
2 x 3 xy
0 ) 3 xy y )(
x y (
Trang 7- Tiếp tục thay, được:
−
=
=
−
−
2
2 2 x 3 xy
0 ) x y )(
x y (
⇔
−
=
= +
−
2
2 x 3 xy
0 ) x y ( ) x y (
- ⇔
−
=
−
=
−
=
=
2
2
x 3
xy
y x
x 3
xy
y x
⇔
−
=
−
−
=
−
=
=
2 2
2 2
x 3 x
y x
x 3 x
y x
⇔
=
=
3 x 2
y x
±
=
=
2
3 x
y x
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 3:(2.0 điểm)
- ∠ EBN = 450 (gt);
- ∠ ECN = 450(AC là đường chéo hình vuông)
- ⇒ tứ giác BCNE nội tiếp
- ⇒∠ENB = ∠ECB = 450
- ⇒ EBCN nội tiếp đường tròn đường kính BN ⇒
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ECB là trung
điểm G của BN và EM ⊥ EN
- Tương tự chứng minh được ABFM nội tiếp ⇒ MF
⊥ BN
- ⇒D, M, E, F, N cùng thuộc đường tròn đường kính
MN ⇒ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là
trung điểm H của MN
- HG là đường trung bình của tam giác MNB nên HG
song song với BM
(Mỗi ý cho 0,25 điểm) Câu 4:(3.0 điểm)
-
2
BC AD 2
1 PB
PA
BC
AD = = ⇒ =
-
3
BC 2 MC 3
2
BC
MC
=
⇒
=
4
3 MC
AD
=
⇒
-
7
3 AM
' AB 4
3 MC
AD
M
'
B
A
'
-
3
MC 2 QN 3
2 AC
AN
MC
QN
=
⇒
=
=
-
2
MC BM 2
1
MC
BM = ⇒ =
2
MC QN
BM
Q
'
C
M
'
C
=
=
=
- C'M = 3 ⇒ C ' M = 3MQ Do MQ = AMnên C’M =1 AM.
A M
B E
D
H
G I
F
C
A
N P
D
Q
B’
Trang 8- Từ (1) có AB’ = AM
7
3 AM 7
3 AM 7
1 AM ' C ' B AM 7
3 ⇒ = − − =
- Vậy B’A =B’C’
3
2
⇒ SAMC = S
3
2
B’M = AM
7
4
⇒ SCMB’=
7
4
SAMC =
7
4
3
2
S
- A’B’=
2
1
B’C ⇒ SA’MB’ =
2
1
SCMB’ =
2
1
7
4
3
2
S
- C’B’ =
4
3
B’M ⇒ SA’B’C’=
4
3
.SA’MB’ =
4
3
2
1
7
4
3
2
S =
7
1
S
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 5: (1.0 điểm)
- x3 + y3 + z3 = 2008 + x + y + z ⇔ x3 -x + y3 - y + z3 - z = 2008
- Có x3 - x= x(x2 - 1) = (x-1)x(x+1) chia hết cho 3 (Tích của ba số tự nhiên liên tiếp) Tương tự + y3 - y ; z3 - z chia hết cho 3
- ⇒ x3 -x + y3 - y + z3 - z chia hết cho 3
- 2008 không chia hết cho 3 nên không tồn tại x, y, z nguyên thoả x3 + y3 + z3 =
2008 + x + y + z
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)