Định nghĩa nguyên hàm: Hàm số Fx dược gọi là nguyên hàm của hàm số fx trên K nếu F’x=fx.. Lưu ý: Các nguyên hàm của fx trên K sai khác nhau một hằng số C... Đôi khi thay cách đặt t=t
Trang 1345 BÀI TOÁN TÍCH PHÂN LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1 Định nghĩa nguyên hàm: Hàm số F(x) dược gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)
trên K nếu F’(x)=f(x)
Lưu ý: Các nguyên hàm của f(x) trên K sai khác nhau một hằng số C
Họ các nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu là f x dx( ) ; Vậy
( ) ( )
f x dxF x C
2 Bảng công thức nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng:
a
cosxdx sinx C; cos(ax b dx) sin(ax b) C; sinxdx cosx C; sin(ax b dx) cos(ax b) C;
3 Phương pháp tìm nguyên hàm:
a) Phương pháp đổi biến: f t x t x dx[ ( )] '( ) F t x[ ( )] C
b) Phương pháp từng phần: udvu v vdu
4 Công thức tích phân: Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn
[a;b] thì ( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
5 Phương pháp đổi biến số: Xét [ ( )] '( )
b
a
I f t x t x dx
Đặt t=t(x)dt=t’(x)dx; Đổi cận: x=bt=t(b); x=at=t(a)
Thay vào: ( )
( )
( )
t b
t a
I f t dt và tính tích phân mới này (biến t)
Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:
'( ) ( )
b
a
t x dx
t x
( )
b
t x
a
( ( )) '( )
b
a
f t x t x dx
( ( )) '( )
b
n
Trang 21 (ln ).
a
x
(sin ).cos
b
a
Đặt t=sinx Cosxdx đi kèm biểu thức
theo sinx
(cos ).sin
b
a
Đặt t=cosx Sinxdx đi kèm biểu thức
theo cosx
2
1 (tan ).
cos
b
a
x
1 cos x dx đi kèm biểu thức
theo tanx
2
1 (cot ).
sin
b
a
x
1 sin x dx đi kèm biểu thức
theo cotx
b
ax ax
a
axdx đi kèm biểu thức
theo eax
Đôi khi thay cách đặt t=t(x) bởi t=mt(x)+n ta sẽ gặp thuận lợi hơn
6 Phương pháp tích phân từng phần: ( )
b a
Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:
Với P(x) là một đa thức, ta cần chú ý các dạng tích phân sau đây:
b
a
ta đặt ( )
ta có
'( ).
1
a
b
a
ta đặt ( )
'( ).
1
a
( ).
b
ax b
a
ta đặt u P x( )ax b
ta có
'( ).
1 ax b
a
b
a
ta đặt ln( )
( )
ta có
( )
a
ax b
7 Diện tích hình phẳng: Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b],
(H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường (C1):y=f(x), (C2):y=g(x), x=a, x=b Khi
đó diện tích của hình phẳng (H) là: | ( ) ( ) |
b
a
8 Thể tích vật thể tròn xoay: Hình (H) giới hạn bởi: y=f(x), Ox, x=a,x=b Thể tích
vật thể do hình (H) quay quanh trục Ox là: 2
[ ( )]
b
a
Lưu ý: Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x), x=a,
x=b(ab) Nếu f(x) và g(x) luôn cùng dấu trên [a;b] thì thể tích vật thể do (H) quay quanh Ox là: 2 2
b
a
Trang 31/ I =
0
e dx
e e
2/ I =
1
1 ln
e
x dx x
3/ I =
2
2
1
x 1 dx
( ).ln
4/I =
3
2
4
3tg x dx
5/I =
4
2
6
(2cotg x 5) dx
6/I =
2
0
1 cos x
dx
1 cos x
7/ I =2
0
sin2 x.cos2xdx
8/I = 3
0
(2cos2 x-3sin2 x)dx
9 / I = 2
2
sin( x)
sin( x)
4
10 / I =
3
6
(tgx-cotgx)
2
dx
11/ I =
4
4 0
cos x dx
12 / I =
2 3 0 sin x dx
13*/ I =
2
3
sin x sin x
cot gx dx sin x
14/I =
2 4 0 sin x dx
15/I = 3
4
2 2
2
cos 2 sin 1
16/I = 4
6
cotg2x dx
17/I =
2
2 sin x
4
e sin 2x dx
18/ I = 4
0 2
2
cos
x
etgx
34/I =
1
3
1
dx
x 4 x
35/I = 4
2 2
1
dx
x 16 x
36*/I =
6
2
2 3
1
dx
x x 9
Trang 419/ I = 2
4
4
sin
1
20/ I = 4
0
6
cos
1
x dx
21/I = cos2x(si n4x cos4 x)dx
2
0
22/ I =
2
3 0
cos xdx
23/ I =
3 2
0
4sin x
dx
1 cosx
24/ I =
1
0
x 1 x dx
25/I =
1
0
x 1 x dx
26/I =
1
0
x
dx 2x 1
27/I =
1
x
0
1
dx
e 4
28/I =
2
x 1
1
dx
1 e
29/I =
2x
2
x
0
e
dx
e 1
30/I =
x
1
x
0
e
dx
e 1
31/I =
e
2 1
ln x
dx x(ln x 1)
32/I =
7
3
3
0
x 1
dx 3x 1
37/I =
2
1
x 4 x dx
38/I =
2
0
x (x 4) dx
39/I =
2 4
4 3 3
x 4
dx x
40*/I =
2 2
2 2
x 1
dx
x x 1
41/I =
ln 2 x 0
e 1dx
42/I = 1 0
1 dx
3 2x
43/I =
2 5 0 sin xdx
44*/I =
3 0
1 dx cos x
45/I =
2x 1 x 0
e
dx
e 1
46/I =
ln 3
x 0
1 dx
e 1
47/I =
4 2 6
1
dx sin x cot gx
48/I =
e 1
ln x 2 ln x
dx x
64/I =
2 0 sin x.sin 2x.sin 3xdx
Trang 533/I =
2
0
(x 3) x 6x 8 dx
49/I =
e
1
sin(ln x)
dx x
50/I =
1
0
x (x 1) dx
51/I =
1
2 3 0
(1 2x)(1 3x 3x ) dx
52/I =
2
3 1
1 dx
x 1 x
53/I =
3
6
tg x cot g x 2dx
54/I =
1
2 3 0
(1 x ) dx
55*/I =
1
2x
0
1 dx
e 3
56/I =
x
ln 3
0
e
dx (e 1)
57/I =
0
2x 3 1
x(e x 1)dx
58/I =
2
0
1 cos x sin x.cos xdx
59*/I =
2 3
2 5
1 dx
x x 4
60/I =
4
0
x dx
1 cos 2x
61/I =
2x
ln 5
x
ln 2
e dx
e 1
65/I =
2
0 cos 2x(sin x cos x)dx
66*/I =
2
0 ( cos x sin x )dx
67/I =
7 3
2
x
dx
1 x 2x
68*/I =
2 0
4cos x 3sin x 1
dx 4sin x 3cos x 5
69/I =
9 3 1
x 1 xdx
70/I =
2 3 0
x 1
dx 3x 2
71*/I = 6
0
x sin dx 2
72*/I =
2
0
x
dx
2 x 2 x
73/I =
3
0
x 1 x dx
74**/I =
1 2 0
ln(1 x)
dx
x 1
75/I =
2 0
sin x
dx sin x cos x
76/I = e 1 cos(ln x)dx
77*/I =
2
2 0
4x dx
78/I =
2
1
x
dx
1 x 1
Trang 6
62/I =
2
e
1
x 1
.ln xdx x
63/I =
2 1
0
x
dx (x 1) x 1
79/I =
e
1
1 3ln x ln x
dx x
80/I =
3
2 2
ln(x x)dx
81/I =
e
2 1
(ln x) dx
82/I =
2
e
e
ln x
dx x
83/I =
2
e
1
ln x
dx
ln x
84/I =
2
2 1
x ln(x 1)dx
85/I =
3
2
3
1
dx
x 3
86/I =
1
2 0
1
dx
4 x
87/I =
2
4
0
sin xdx
88/I =
3
2 6
ln(sin x)
dx cos x
89/I =
2
1
cos(ln x)dx
90*/I =
2
2 0
ln( 1 x x)dx
91*/I =
3
2 2
1 dx
x 1
94/I =
6
2 0
cos x
dx
6 5sin x sin x
95*/I =
2
e 2 e
1 1
ln x
ln x
96/I =
3 2 4
x 4 dx
97/I =
2
1
x 2x x 2 dx
98/I =
3 4
4
cos 2x 1dx
99/I =
0
cos x sin xdx
100/I =
2
0
1 sin xdx
101/I =
3 4
4
sin 2x dx
102/I =
0
1 sin xdx
103/I =
2 1
ln(x x 1) dx
104*/I =
2 0
x sin x
dx
1 cos x
105*/I =
1
1
1
dx (x 1)(4 1)
106*/I =
4 1
x 1
x dx
1 2
107/I =
2
4 0
x sin xdx
Trang 792/I =
3
8
1
x 1
dx x
93/I =
3 3
2
1
x
dx
x 16
109/I =
6
2 0
x.sin x cos xdx
110*/I =
2 x 1
2 0
x e
dx (x2)
111/I = 2x 2
0
e sin xdx
112/I =
2
2
1
1
x ln(1 )dx
x
113/I =
e
2 1
e
ln x
dx (x 1)
114/I =
1
2
0
1 x x.ln dx
1 x
115/I =
2 t
1
ln x
dx I 2 x
116/I =
3
0
sin x.ln(cos x)dx
117/I =
2
e
2 1
cos (ln x)dx
118/I =
4
0
1
dx cos x
119*/I =
4
3 0
1 dx cos x
120/I = 2
1
3 x
x e dx
108/I =
4 0
x cos xdx
123/I =
1 2 0
3
dx
x 4x 5
124/I =
2 2 1
5
dx
x 6x9
125/I =
1 2 5
1
dx 2x 8x 26
126/I =
1
0
2x 9
dx
x 3
127/I =
4 2 1
1 dx
x (x 1)
128*/I =
0
2 2
sin 2x
dx (2 sin x)
129/I =
1
2 0
x 3
dx (x 1)(x 3x 2)
130/I =
1 3 0
4x dx (x 1)
131/I =
1
0
1
dx (x 4x 3)
132/I =
3 3
2 0
sin x
dx (sin x 3)
133/I =
3 3
6
4sin x
dx
1 cos x
134/I =
3
2 6
1
dx cos x.sin x
Trang 8121/I =
2
2
0
e sin x cos xdx
122/I =
2
4 0
sin 2x
dx
1 cos x
137/I =
3 4
0
sin x
dx (tg x 1) cos x
138/I =
3
3
1
dx sin x 9 cos x
139/I =
2
2
cos x 1
dx cos x 2
140/I =
2
0
1 sin x
dx
1 3cos x
141/I =
2
0
cos x
dx sin x cos x 1
142/I =
4
2
1
1 dx
x (x 1)
143/I =
1
3 3
1
dx
x 4 (x 4)
144/I =
3 3
0
sin x
dx cos x
145/I =
1
0
x 1 xdx
146/I =
6
4
x 4 1
dx
x 2 x 2
147/I =
0
2 1
1
dx
x 2x 9
135/I =
3 0 sin x.tgxdx
136/I =
3
4
1 dx sin 2x
152/I =
1
2
2x 0
3e e
dx
1 e
153/I =
4
2 7
1
dx
x 9x
154/I =
2
0
e sin xdx
155/I =
4 2
0
cos x
dx cos x sin x
156/I =
1
0
3
dx
x 9 x
157/I =
0
x sin xdx
158/I = 2 2
0
x cos xdx
159/I =
1
0
cos x dx
160/I =
1
0
sin x dx
161/I =
2
4 0
x sin x dx
162/I =
2
4 0
x cos x dx
Trang 9148/I =
3
2 1
1
dx 4xx
149/I =
2
2 1
4x x 5 dx
150/I =
2
2 2
2x 5
dx
x 4x 13
151/I =
1
x 0
1 dx
3 e
167/I = 2x 2
0
e sin x dx
168/I =
2 x 1
2 0
x e
dx (x2)
169/I =
e
1
(1 x) ln x dx
170/I =
e
2 1
x ln x dx
171/I =
1
e
2
1
ln x dx
172/I =
e
1
x(2 ln x) dx
173/I =
2
e
2 e
1 1
ln x
ln x
174/I =
2
2
1
(x x) ln x dx
175/I =
2
2
1
1
x ln(1 ) dx
x
176/I =
2
5
1
ln x
dx x
177/I =
e
2 1
e
ln x
dx (x 1)
178/I =
1
x ln dx
1 x
0
x cos x sin x dx
164/I =
6
2 0
x cos x sin x dx
165/I =
4 x 1
e dx
166/I =
4 3x 0
e sin 4x dx
182/I =
2
4 0
sin 2x
dx
1 cos x
183/I =
2 2 1
5
dx
x 6x9
184/I =
2 1 0
x 3x 2
dx
x 3
185/I =
4 2 1
1 dx
x (x 1)
186/I =
1 2 0
ln(1 x)
dx
x 1
187/I
4 1
6 0
1 x
dx
1 x
188/I =
1
0
x 1 x dx
189/I =
x 1
0
e
dx
e e
190/I=
e
1 e
ln x dx
191/I =
2 sin x 0 (e cos x) cos x dx
192/I =
2sin 2x.cos x
dx
1 cos x
Trang 10179/I =
2
3
cos x.ln(1 cos x) dx
180/
2
2
0
e sin x cos x dx
181/I=
2
4 0
sin 2x
dx
1 sin x
197/I =
2
2 1
x 1
( ) dx
x 2
198/I =
4
2 0
x.tg x dx
199/I =
5
3
( x 2 x 2 ) dx
200/I =
4
1
2
dx
x 5 4
201/I =
2
1
x
dx
x 2 2 x
202/I =
2
2 1
ln(1 x)
dx x
203/I =
2
0
sin 2x
dx
1 cos x
204/I =
2008 2
0
sin x
dx sin x cos x
205/I =
2
0
sin x.ln(1 cos x) dx
206/I =
2 3
2 1
x 1
dx x
193/I =
2 0
sin 2x sin x
dx
1 3cos x
194/I =
2 4
0
1 2sin x
dx
1 sin 2x
195/I =
3 2 0
x 2x
dx
x 1
196/I =
3
2 4
tgx
dx cos x 1 cos x
212/I =
2 1
2 0
x dx
4 x
213/I =
1
2 0
x dx
4 x
214/I =
1 4 2 2 0
x dx
x 1
215/I =
2 0
sin 3x
dx cos x 1
216/I =
2 2 2
2 0
x dx
1 x
217/I =
2 2
4 1
1 x
dx
1 x
218/I =
3 7
0
x dx
1 x
219/I =
x
ln 2
x 0
1 e
dx
1 e
220/I =
1
0
x 1 x dx
221/I =
1 2 0
x 1dx
Trang 11207/I =
3 4
2 0
sin x
dx cos x
208/I =
2
2 0
cos x.cos 4x dx
209/I =
1
0
1 dx
e e
210/I =
e
2 1
e
ln x
dx (x 1)
211/I =
1
0
1
dx
x 1 x
227/I =
2
6
1 sin 2x cos 2x
dx cos x sin x
228/I =
x 2 1
2x 0
(1 e )
dx
1 e
229/I =
3
0
x (1 x) dx
230/I =
3 2
2 0
sin x.cos x
dx cos x 1
231/I =
1
2
2
0
4x 1
dx
x 3x 2
0
x sin x.cos xdx
233/I =
2
0
cos x
dx cos 2x 7
234/I =
4
2
1
1 dx
x (x 1)
235/I =
2
2 3 0
sin 2x(1 sin x) dx
222/I =
2
0 (cos x sin x) dx
223/I =
2 3 0
x 1
dx
x 1
224/I =
1
2 2x 0
(1 x) e dx
225/I =
2
2 0
cos x
dx cos x 1
226/I =
7 3 3 0
x 1
dx 3x 1
242/I =
2 0
sin 2x sin x
dx cos 3x 1
243/I =
4
0
sin 2x
dx sin x 2cos x
244/I =
2 3 2
2 0
x dx
1 x
245/I =
2 3 2
2 0
x dx
1 x
246/I =
2 1
2 2 2
1 x
dx x
247/I =
2 1
2 0
x dx
4 x
248/I =
2
2 2
3
1 dx
x x 1
249/I =
1
0
x (1 x ) dx
Trang 12236/I =
2
3
0
x 1
dx 3x 2
237/I =
4
2 7
1
dx
x x 9
0
x sin x cos xdx
239/I =
2
3
2
cos x cos x cos xdx
240*/I =
1
2 1
ln( x a x)dx
241/I =
2
x 0
1 sin x
dx (1 cos x)e
255/I =
2
3
2
cos x cos x cos xdx
256/I =
3
4
4
tg xdx
257*/I =
2
x 0
1 sin x
e dx
1 cos x
258/I =
1
2 3 0
(1 x ) dx
259/I =
4
2 0
x.tg xdx
260/I=
2
2 2 0
1 dx (4x )
261/I =
2 1
3 0
3x
dx
x 2
262*/I =
5 2
5 1
1 x
dx x(1 x )
250/I =
2 0
sin x
dx
1 sin x
251/I =
2 0
cos x
dx
7 cos 2x
252/I =
4
2 1
1 dx (1 x)x
253/I =
2 3 0
x 1
dx 3x 2
254*/I =
3
4
cos x sin x
dx
3 sin 2x
267/I =
2 2 0
sin x
dx cos x 3
268/I =
2
0
sin x
dx x
269/I =
2
2 0
sin x cos x(1 cos x) dx
270/I =
4 0
sin x cos x
dx sin x cos x 1
271/I =
4 0
sin x cos x
dx sin x cos x 1
272/I =
2 0
sin x cos x cos x
dx sin x 2
273/I =
1
1 x 3 a
e dx x
Trang 13263/I =
3
2 0
cos x
dx
1 sin x
264/I =
2 3
6 0
sin x
dx cos x
265/I =
3 6
0
sin x sin x
dx cos 2x
265/I =
2
3
1
dx sin x 1 cos x
266/I =
3
1
1
dx
x (1 x )
281*/I =
2 1
2 0
x ln(x 1 x )
dx
1 x
282/I =
4
2 1
(x 1) ln x dx
283/I =
3
2
0
x ln(x 1) dx
284/I =
3 2
2
1
3x
dx
x 2x 1
285/I =
1
0
4x 1
dx
x 2x x 2
286/I =
1
2
2 1
2
1
dx (3 2x) 5 12x 4x
287/I =
1
0
1
dx
x 1 x
288/I =
2
0
cos x
dx
2 cos 2x
274/I =
1
2 0
x 2x 10x 1
dx
x 2x 9
275/I =
3 1
0
x
dx (x 1)
276/I =
1 3 0
3 dx
x 1
277*/I =
4 1 6 0
x 1
dx
x 1
278/I =
1
3 0
x dx (2x 1)
279/I =
7 2
1
dx
2 x 1
280/I =
3 2
2 1
2
1 dx
x 1 x
295/I =
2
2 2
3
1 dx
x x 1
296/I =
3 7
0
x dx
1 x
297*/I =
2
3 1
1 dx
x 1 x
298/I =
3 1
2 0
x
dx
x 1 x
299/I =
1
2 1
1
dx
1 x 1 x
300/I =
3 4 6
1
dx sin x cos x
Trang 14289/I =
2
4
cos x sin x
dx
3 sin 2x
290/I =
2
0
(cos x sin x)dx
291/I =
2
0
cos x sin xdx
292/I =
2
0
cos 2x(sin x cos x)dx
293/I =
2
0
1 dx
2 sin x
294/I =
2
0
1 dx
2 cos x
308*/I =
1
2x 1
1 dx
3 e
309*/I =
2 x
sin x
dx
3 1
310*/I =
2
0
sin x
dx cos x sin x
311/I =
4 2
0
sin x
dx cos x sin x
312*/I =
2
2 0
tgx
dx
1 ln (cos x)
313*/I =
2
0
sin x
dx cos x sin x
314*/I =
1
1
1
dx (e 1)(x 1)
301/I =
2 0
cos x
dx cos x 1
302/I =
2 0
cos x
dx
2 cos x
303/I =
2 0
sin x
dx sin x 2
304/I =
3 2
0
cos x
dx cos x 1
305/I =
2 0
1
dx 2cos x sin x 3
306/I =
2
2 3
cos x
dx (1 cos x)
307/I =
4 3 0
tg x dx
321*/I =
4 5 0
tg x dx
322/I =
4
3
6 cotg x dx
323/I =
3 4
4
tg x dx
324*/I =
4 0
1 dx
2 tgx
325/I =
5 2 0
sin x
dx cos x 1
Trang 15315*/I =
1
3x 1 0
e dx
316*/I =
2 1
2 0
x
dx
x 4
317*/I =
3 2
0
cos x
dx cos 3cos x 3
318*/Tìm x> 0 sao cho
2 t x
2 0
t e
dt 1 (t 2)
319*/I =
3
2 4
tan x
dx cos x cos x 1
320*/I =
1
2 0
3x 6x 1dx
334/
0
3
sin
x I
335/ 2
0
2 2
cos 4 sin 3
) cos 4 sin 3
(
x x
dx x x
I
0
4 4
).
sin (cos
2 cos
dx x x
x I
340/
1
0
2x x
e e
dx I
342/ 2
0
3 sin
cos sin
2
dx x x e
344/
2
ln
0
2
1
.
x x
e
dx e
I
345/
3
2
2
).
I
CHÚC CÁC CON HỌC TỐT!
THÂN ÁI
326/I =
3
2 6
cos 2x
dx
1 cos 2x
327*/I =
4
2 0
t gx 1 ( ) dx tgx 1
328*/I =
1 3 1 2
x dx
x 1
329*/I =
2 4 1
x x
dx x
330/I =
x
ln 3
0
e
dx (e 1) e 1
331/I =
1 4
e
2 1
e
1
dx
x cos (ln x 1)
333*/I =
4 0 ln(1 tgx)dx
336/ 4
0
2
cos 1
4 sin
x
dx x I
337/
3
6sin .sin 6
x x
dx I
339/ 2
0
2
cos
dx x x I
341/ 4
0
2
2 sin 1
) sin 2 1 (
x
dx x I
343/ e
x
xdx x I
1
ln ln 3 1
THE END!