Hàm lồi, hàm lồi đa diện và hàm toàn phương lồi

- Phạm vi nghiên cứu: Tính chính quy, bao đóng, liên hợp và cực của hàm lồi; các vấn đề quan trọng về hàm lồi đa diện và hàm toàn phương lồi.. Đây có thể là suy luận bởi việc áp dụng lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Bạch Thị Lan Hương

HÀM LỒI, HÀM LỒI ĐA DIỆN

VÀ HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Bạch Thị Lan Hương

HÀM LỒI, HÀM LỒI ĐA DIỆN

VÀ HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI

Chuyên ngành: Toán hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

ThS Trần Văn Nghị

Hà Nội – Năm 2017

Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Trần VănNghị đã hết lòng giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Bạch Thị Lan Hương

Khóa luận tốt nghiệp "Hàm lồi, hàm lồi đa diện và hàm toànphương lồi " được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiêncứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy Trần Văn Nghị.

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kếtquả của các tác giả khác

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Bạch Thị Lan Hương

1 Lý do chọn đề tài

Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp

thực nghiệm, mà cả phương pháp suy diễn lôgic Toán học còn có

tiềm năng phát triển phẩm chất đạo đức, góp phần hình thành thế

giới quan khoa học cho học sinh Toán học ra đời từ thực tiễn và lại

quay trở về phục vụ thực tiễn Toán học còn hình thành và hoàn thiện

những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong học tập, mong

muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp chung

của đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp,

trung thực, tự tin, khiêm tốn, .Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện

để đạt tới một nhân cách hoàn thiện toàn diện hơn

Mặt khác, trong những năm gần đây, vấn đề nghiên cứu về hình

học lồi đã nhận được sự chú ý và quan tâm của nhiều nhà khoa học ở

trong nước và trên thế giới Hàm lồi và các tính chất của hàm lồi có

vai trò trung tâm trong giải tích lồi, hình học lồi và tối ưu lồi

Dựa trên sự định hướng của Thạc sỹ Trần Văn Nghị, tôi chọn đề

tài: Hàm lồi, hàm lồi đa diện và hàm toàn phương lồi làm đề

tài khóa luận tốt nghiệp

- Tìm hiểu sâu hơn về các vấn đề xoay xung quanh hàm lồi.

- Tìm hiểu thêm về hàm lồi đa diện và hàm toàn phương lồi

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày một số cơ sở lý thuyết về hàm lồi

- Trình bày các kiến thức liên quan đến hàm lồi đa diện và hàm toàn

phương lồi

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Hàm lồi, hàm lồi đa diện và hàm toàn phương

lồi

- Phạm vi nghiên cứu: Tính chính quy, bao đóng, liên hợp và cực của

hàm lồi; các vấn đề quan trọng về hàm lồi đa diện và hàm toàn phương

lồi

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận

bao gồm 2 chương:

Chương 1: Hàm lồi

Chương 2: Hàm lồi đa diện và hàm toàn phương lồi

MỞ ĐẦU iii

1.1 Định nghĩa và các phép toán 2

1.2 Tính chính quy của hàm lồi 8

1.3 Bao đóng của hàm lồi 15

1.4 Liên hợp của hàm lồi 21

1.5 Cực của hàm lồi 29

2 Hàm lồi đa diện và hàm toàn phương lồi 36 2.1 Hàm lồi đa diện 36

2.2 Hàm toàn phương lồi 49

(i) Một hàm f : Rn → [−∞, ∞) là lõm, nếu −f là lồi Như vậy,cho một hàm lồi f , ta loại trừ giá trị −∞, trong khi đối với một hàmlõm ta loại trừ ∞.

(ii) Nếu A ⊂ Rn là một tập con, một hàm f : A → (−∞, ∞) đượcgọi là lồi nếu hàm mở rộng ef : Rn → (−∞, ∞], được cho bởi

là lồi Điều này đòi hỏi hiển nhiên A là một tập lồi

(iii) Mặt khác, ta thường chỉ quan tâm đến hàm lồi f : Rn →(−∞, ∞] tại một số điểm, trong đó f là hữu hạn Ta gọi

Định lý 1.1 ([1, Theorem 2.1.1]) Một hàm f : Rn → (−∞, ∞] là lồi,khi và chỉ khi

f (αx + (1 − α) y) ≤ αf (x) + (1 − α) f (y) ,

với mọi x, y ∈ Rn, α ∈ [0, 1]

Chứng minh Theo định nghĩa, f là lồi khi và chỉ khi

epi f = {(x, β) : f (x) ≤ β}

là lồi Các điều kiện có nghĩa

(i) Một hàm f : Rn → R là affine, khi và chỉ khi f là hàm lồi

và lõm Nếu f là affine thì epif là một nửa không gian trong Rn+1(dom f = Rn)

(ii) Cho một hàm lồi f , các tập mức {f < α} và {f ≤ α} là lồi

(iii) Nếu f và g là lồi và α, β ≥ 0, thì αf + βg là lồi

(iv) Nếu (fi)i∈I là một họ của hàm lồi, supi∈Ifi là lồi Từ đó

epi

sup

với mọi k ∈ N, xi ∈ Rn và αi ∈ [0, 1] với P αi = 1.

(vi) Một hàm f : Rn → (−∞, ∞] là thuần nhất dương (bậc 1), nếu

f (αx) = αf (x) , ∀x ∈ Rn, α ≥ 0

Nếu f là thuần nhất dương, f là lồi khi và chỉ khi nó là cộng tínhdưới, tức là nếu

f (x + y) ≤ f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ Rn.Kết quả sau là hữu ích để tạo thành hàm lồi từ tập lồi trong Rn× R

Định lý 1.2 ([1, Theorem 2.1.2]) Cho A ⊂ Rn × R là lồi và giả sửrằng

fA(x) := inf {α ∈ R : (x, α) ∈ A} > −∞,với mọi x ∈ Rn Khi đó, fA là một hàm lồi

Chứng minh Định nghĩa của fA(x) ngụ ý rằng

epi fA = (x, β) : ∃α ∈ R, α ≤ β, và một dãy αi ↓ α với (x, αi) ∈ A Rất dễ dàng để thấy rằng epi fA là lồi

và chỉ nếu

A ∩ ({x} × R) = {x} × [fA(x) , ∞) , với mọi x ∈ Rn

Định lý 1.2 cho phép ta xác định các phép toán của hàm lồi bằng cách

áp dụng các phép toán tương ứng của tập lồi cho trên đồ thị của hàm

Định nghĩa 1.2 Một hàm lồi f : Rn → (−∞, ∞] là đóng nếu epif

là đóng

Nếu f : Rn → (−∞, ∞] là lồi thì cl epi f là trên đồ thị của một hàmlồi đóng, mà ta kí hiệu bởi cl f

Để hiểu rõ điều này, ta phải thấy rằng A := cl epi f thỏa mãn

fA > −∞ Trường hợp f ≡ ∞ là tầm thường, khi đó f là đóng và

fA = f

Để cho f đúng, khi đó epi f 6= 0 Không giảm tính tổng quát, tagiả sử rằng dim domf = n Ta chọn một điểm x ∈ int dom f Khi đó,(x, f (x)) ∈ bd epi f Vì thế, có một siêu phẳng tựa E ⊂ Rn × R của

cl epi f tại (x, f (x)) Tương ứng nửa không gian tựa là trên đồ thị củamột hàm affine h ≤ f Như vậy, fA ≥ h > −∞

Nhận xét Clf là hàm lồi đóng lớn nhất dưới f

Nếu (fi)i∈I là một họ tùy ý của hàm fi : Rn → (−∞, ∞], ta xét

A := ∪i∈Iepi fi Giả sử convA không chứa bất kì đường thẳng đứngnào, khi đó từ Định lý 1.2 ta có conv (fi) := fconv A là một hàm lồi mà

ta gọi là bao đóng của hàm fi, i ∈ I Dễ thấy rằng conv (fi) là hàm lồilớn nhất dưới tất cả fi, i ∈ I, tức là

conv (fi) = supg : g lồi, g ≤ fi, ∀i ∈ I

Khi đó, conv (fi) tồn tại khi và chỉ khi có một hàm affine h sao cho

h ≤ fi, ∀i ∈ I

Dưới đây là một định lý tương tự về giá của các tập lồi

Định lý 1.3 ([1, Theorem 2.1.3]) Cho f : Rn → (−∞, ∞] là đóng vàlồi Khi đó,

f = suph : h ≤ f, h là hàm affine

Chứng minh Giả sử, epif là đóng và lồi Hơn nữa, ta có thể giả sửrằng f là xác định, tức epi f 6= ∅ Ta có, epif là giao của tất cả cácnửa không gian đóng H ⊂ Rn× R có chứa epif

Có ba kiểu nửa không gian đóng trong Rn × R:

H1 = {(x, r) : r ≥ l (x)} , l : Rn → R là ánh xạ affine,

H2 = {(x, r) : r ≤ l (x)} , l : Rn → R là ánh xạ affine,

H3 = ˜H × R, H là nửa không gian trong R˜ n

Các nửa không gian kiểu H2 không xảy ra, do định nghĩa của epif và

từ epi f 6= ∅ Các nửa không gian kiểu H3 có thể xảy ra, do đó ta phảichỉ ra rằng nửa không gian "thẳng đứng" có thể bỏ qua, tức là epif

là giao của tất cả các nửa không gian kiểu H1 có chứa epif Vì giaocủa các nửa không gian kiểu H1 là trên đồ thị của cận trên đúng hàmaffine tương ứng l

Cho kết quả chỉ cần giải thích nó là đủ để thấy rằng bất kì điểm(x0, r0) /∈ epi f có thể được tách bởi một siêu phẳng không gian đứng

E từ epif Vì thế, cho E3 là một siêu phẳng đứng được tách bởi (x0, r0)

và epif , cho H3 tương ứng nửa không gian thẳng đứng chứa epif Từ

f > −∞, có ít nhất một hàm affine l1 với l1 ≤ f Ta có thể lấy đạidiện H3 dạng

H3 = {(x, r) ∈ Rn × R : l0(x) ≤ 0} ,

với một số hàm affine l0 : Rn → R, và ta có thể giả sử l0(x0) > 0

Ta bắt đầu với tính chất liên tục của hàm lồi.

Định lý 1.4 ([1, Theorem 2.2.1]) Một hàm lồi f : Rn → (−∞, ∞]

là liên tục trong int dom f và liên tục Lipschitz trên tập con compactcủa int dom f

Chứng minh Cho x ∈ int dom f Tồn tại n-đơn hình P với điều kiện

P ⊂ int dom f và x ∈ int P Nếu x0, , xnlà các đỉnh của P và y ∈ P ,

ta có

y = α0x0 + · · · + αnxn,với αi ∈ [0, 1] ,P αi = 1, và do đó

sao cho x + U ⊂ P Cho z = x + αu, u ∈ bd U Khi đó,

Bây giờ cho A ⊂ int dom f là compact Khi đó tồn tại một số

% > 0 sao cho A + %Bn ⊂ int dom f Cho x, z ∈ A Từ f là liên tụctrên A + %Bn,

nếu kz − xk ≤ % Với kz − xk ≥ %, điều này vẫn đúng

Đầu tiên ta xét trường hợp

f : R1 → (−∞, ∞] Định lý 1.5 ([1, Theorem 2.2.2]) Cho f : R1 → (−∞, ∞] là lồi.(a) Với mỗi điểm x ∈ int dom f , đạo hàm bên phải f+(x) và đạohàm bên trái f−(x) tồn tại và thỏa mãn f−(x) ≤ f+(x)

(b) Trên int dom f , hàm f+và f− là đơn điệu tăng với gần như tất

cả x ∈ int dom f (liên quan đến độ đo Lebesgue λ1trên R1) Ta có

f−(x) = f+(x), do đó f là khả vi hầu khắp nơi trên cl dom f

(c) Hơn nữa, f+ là liên tục phải và f− là liên tục trái, f là tíchphân không xác định của f+ (của f− và của f0) trong int dom f

Chứng minh Không giảm tính tổng quát, ta tập trung vào các trườnghợp dom f = R1

(a) Nếu 0 < m ≤ l, 0 < h ≤ k, các lồi của f có nghĩa

f (x − m) = f



1 − ml



x + m

l (x − l)



h ≡ c = 0 bởi vì ta có g(a) = f (a).

Bây giờ ta xét các trường hợp n-chiều Nếu hàm f : Rn → (−∞, ∞]lồi và x ∈ int dom f , thì với mỗi u ∈ Rn, u 6= 0, phương trình

g(u)(t) := f (x + tu) , t ∈ R,

xác định một hàm lồi g(u) : R1 → (−∞, ∞] và ta có 0 ∈ int dom g(u).Theo Định lý 1.5, tồn tại đạo hàm phải g+(u)(0) Đây chính là đạohàm theo hướng

f0(x, u) := lim

t↓0

f (x + tu) − f (x)

của f trong phương u

Hệ quả 1.1 ([1, Corollary 2.2.3]) Cho hàm f : Rn → (−∞, ∞] lồi

và x ∈ int dom f Khi đó, với mỗi u ∈ Rn, u 6= 0, đạo hàm theo hướng

f0(x, u) của f tồn tại

Hệ quả không có nghĩa rằng f0(x, u) = −f0(x, −u) luôn đúng Trênthực tế, các phương trình sau chỉ đúng nếu g−(u)(0) = g+(u)(0) Nhưvậy, các đạo hàm riêng f1(x) , , fn(x) của f không cần phải tồn tạitrong mỗi điểm x Tuy vậy, tương tự với Định lý 1.4 trên, có thể thấyrằng f1, , fn tồn tại hầu khắp nơi (đối với độ đo Lebesgue λn trong

Rn) và tại các điểm x, nơi các đạo hàm riêng f1(x) , , fn(x) tồn tại,hàm f đều là khả vi Hơn nữa, một hàm lồi f là hai lần khả vi hầukhắp nơi trên Rn (trong một hướng phù hợp)

Vế phải của (1.2) cũng có nghĩa cho u = 0 và sinh ra giá trị 0 Do

đó, ta định nghĩa f0(x, 0) := 0 Khi đó u 7→ f0(x, u) là hàm thuầnnhất dương trên Rn và nếu f là lồi thì f0(x, ) cũng là lồi

Cho một hàm f khả vi hoặc hai lần khả vi, các đạo hàm thứ nhấthoặc đạo hàm thứ hai được sử dụng để mô tả độ lồi của f

Nhận xét

(i) Cho A ⊂ R là một tập lồi mở và f : A → R là một hàm thực.Nếu f khả vi thì f là lồi khi và chỉ khi f0 là đơn điệu tăng trên A.Nếu f khả vi hai lần thì f là lồi khi và chỉ khi f00 ≥ 0 trên A

(ii) Cho A ⊂ Rn là mở và lồi Cho f : A → R là một hàm thực

Nếu f khả vi thì f là lồi khi và chỉ khi

hgrad f (x) − grad f (y) , x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ A

(tại đây, grad f (x) := (f1(x) , , fn(x)) là gradient của f tại x.)Nếu f khả vi hai lần thì f là lồi khi và chỉ khi ma trận Hessian

∂2f (x) := ((fij(x)))n×ncủa f tại x là nửa xác định dương, với mọi x ∈ A

Tính liên tục của một hàm tuyến tính là một hệ quả của tính chất đại

số và tính chất tuyến tính Với các hàm lồi, điều này không đơn giảnnhư vậy, nhưng vẫn còn rất nhiều tính chất hình học tô pô được suy

ra từ tính lồi Đây có thể là suy luận bởi việc áp dụng lý thuyết vàobao đóng và phần trong tương đối của tập lồi đến trên đồ thị hoặctập mức của hàm lồi Một trong những kết luận chính có thể thu được

là nửa liên tục dưới là một tính chất "xây dựng" cho hàm lồi Nó sẽđược chứng minh dưới đây, cụ thể là có một phép toán bao đóng đơngiản làm cho bất kỳ hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới chỉ bằngcách xác định lại nó tại điểm biên tương đối đã biết trong miền hữuhiệu của nó

Từ định nghĩa, hàm giá trị thực mở rộng đã cho trên một tập

S ⊂ Rn được cho là nửa liên tục dưới tại điểm x thuộc S nếu

f (x) ≤ lim

i→∞f (xi) ,với mọi dãy x1, x2, trong S sao cho xi hội tụ đến x và giới hạn của

f (x1) , f (x2) , tồn tại trong [−∞, +∞] Điều kiện này có thể được

biểu diễn như sau

f (x) = lim

y→x inf f (y) = lim

ε↓0 (inf {f (y) : ky − xk ≤ ε}) Tương tự, f được cho là nửa liên tục trên tại x nếu

(c) Trên đồ thị của f là tập đóng trong Rn+1

Chứng minh Nửa liên tục dưới tại x có thể không giống như điềukiện mà µ ≥ f (x) khi µ = lim µi và x = lim xi với dãy µ1, µ2, và

x1, x2, thỏa mãn µi ≥ f (xi) với mọi i Nhưng điều kiện này cũnggiống như (c) Nó cũng suy ra (b) ( lấy α = µ = µ1 = µ2 = ) Mặtkhác, giả sử (b) cố định Giả sử xi hội tụ đến x và f (xi) hội tụ đến

µ Với mỗi số thực α > µ, hàm f (xi) phải nhỏ hơn α, và khi đó

x ∈ cl {y : f (y) ≤ α} = {y : f (y) ≤ α}

Do đó f (x) ≤ µ Điều này có nghĩa (b) suy ra (a)

Cho hàm f bất kì trên Rn, tồn tại một hàm nửa liên tục dưới cựcđại (không nhất thiết hữu hạn) làm trội bởi f , tức hàm của trên đồ

thị là bao đóng trong Rn+1 của trên đồ thị của f Tổng quát, hàm nàyđược gọi là bao nửa liên tục dưới của f

Bao đóng của một hàm lồi f được định nghĩa là bao nửa liên tụcdưới của f nếu f không nhận giá trị −∞; ngược lại bao đóng của

f được xác định nghĩa là hàm bất biến −∞ nếu f là hàm lồi khôngchính thường, sao cho f (x) = −∞ với mỗi x Dù sao đi nữa, bao đóngcủa f là hàm lồi khác; nó được kí hiệu bởi clf (mục đích khác trongđịnh nghĩa của clf là làm cho f∗∗ = cl f có hiệu lực ngay cả khi f làkhông chính thường, nhất là trong lý luận của hàm yên ngựa)

Một hàm lồi được gọi là đóng nếu clf = f Đối với một hàm lồichính thường, tính đóng cũng giống như tính nửa liên tục dưới Nhưngchỉ hàm lồi không chính thường đóng là hàm bất biến +∞ và −∞

Nếu f là một hàm lồi chính thường sao cho domf là đóng và f làliên tục đều đến domf , thì f là bao đóng bởi điều kiện (b) của Định

lý 1.6 Tuy nhiên, một hàm lồi có thể đóng nếu nó không có miền hữuhiệu là đóng; ví dụ hàm trên R được cho bởi f (x) = 1x khi x > 0,

y→x inf f (y)

Mặt khác, (clf )(x) có thể coi như cận dưới đúng của giá trị µ sao cho

x thuộc vào cl {x : f (x) ≤ µ} Như vậy

{x : (cl f ) (x) ≤ α} = ∩

µ>αcl {x|f (x) ≤ µ}

Trong trường hợp bất kì cl f ≤ f và f1 ≤ f2 kéo theo cl f1 ≤ cl f2.Hàm f và clf hiển nhiên có cùng cận dưới đúng trên Rn.

Để có được một hướng đi đúng về các phép toán bao đóng, xét hàmlồi f trên R xác định bởi f (x) = 0 với x > 0, f (x) = ∞ với x ≤ 0 Ởđây clf thỏa mãn với f hầu khắp nơi trừ tại điểm gốc, trong đó giátrị của nó là 0 thay vì +∞ Cho ví dụ khác, lấy bất kì hình tròn Ctrong R2 Cho f (x) bằng 0 trong phần trong của C và +∞ bên ngoài

C Khi đó f là hàm lồi chính thường trên Rn Bao đóng của f thuđược bởi định nghĩa lại f (x) là 0 trên đường biên của C

Bây giờ ta tiến hành so sánh chi tiết clf và f trong trường hợptổng quát Phương pháp này đề cập đến hàm lồi không chính thườngđầu tiên Đây thực sự là định lý cơ bản có thể chứng minh về hàm lồikhông chính thường

Định lý 1.7 ([3, Theorem 7.2]) Nếu f là hàm lồi không chính thườngthì f (x) = −∞ với mọi x ∈ ri (dom f ) Như vậy, một hàm lồi khôngchính thường là tất yếu vô hạn, có thể loại trừ tại những điểm biêntương đối thuộc miền hữu hiệu của nó

Chứng minh Nếu miền hữu hiệu của f bao gồm tất cả các điểm bất

kỳ thì nó bao gồm tất cả các điểm trong đó f nhận giá trị −∞ (theođịnh nghĩa của "không chính thường") Cho u là một điểm như vậy

và x ∈ ri (dom f ) Tồn tại µ > 1 sao cho y ∈ dom f , trong đó y =(1 − µ) u + µx Ta có x = (1 − λ) u + λy trong đó 0 < λ = µ−1 < 1.Khi đó

Chứng minh Tập của các điểm x, trong đó f (x) = −∞ phải bao gồm

cl (ri (dom f )) bởi nửa liên tục dưới và

cl (ri (dom f )) = cl (dom f ) ⊃ dom f

Hệ quả 1.3 ([3, Corollary 7.2.2]) Cho f là một hàm lồi không chínhthường Khi đó, clf là hàm lồi không chính thường đóng thỏa mãn với

Như một ví dụ điển hình của hệ quả này, xét hàm lồi hữu hạn fbất kỳ trên R2 Hàm

Bổ đề 1.1 ([3, Lemma 7.3]) Đối với một hàm lồi f bất kỳ, ri(epif )chứa các cặp (x, µ) sao cho x ∈ ri (dom f ) và f (x) < µ < ∞.

Hệ quả 1.5 ([3, Corollary 7.3.1]) Cho α là một số thực và f là mộthàm lồi sao cho với mỗi x, f (x) < α Khi đó f (x) < α thực sự vớimỗi x ∈ ri (dom f )

Hệ quả 1.6 ([3, Corollary 7.3.2]) Cho f là một hàm lồi và C là mộttập lồi sao cho ri C ⊂ dom f Cho α là một số thực sao cho f (x) < αvới mỗi x ∈ cl C Khi đó f (x) < α thực sự với mỗi x ∈ ri C

Hệ quả 1.7 ([3, Corollary 7.3.3]) Cho f là một hàm lồi trên Rn và

C là một tập lồi trên đó, f là hữu hạn Nếu f (x) ≥ α với mọi x ∈ Cthì hơn nữa f (x) ≥ α với mọi x ∈ cl C

Định lý 1.8 ([3, Theorem 7.4]) Cho f là một hàm lồi chính thườngtrên Rn Khi đó clf là một hàm lồi chính thường đóng Hơn nữa, clfthỏa mãn với f có thể ngoại trừ tại các điểm biên tương đối của domf

Hệ quả 1.8 ([3, Corollary 7.4.2]) Nếu f là một hàm lồi chính thườngsao cho domf là một tập affine (nói riêng nó đúng nếu f là hữu hạntrên Rn), thì f là đóng

Định lý 1.9 ([3, Theorem 7.5]) Cho f là một hàm lồi đóng chínhthường và x ∈ ri (dom f ) Khi đó

Định lý 1.10 ([3, Theorem 7.6]) Cho f là hàm lồi chính thườngbất kì và cho α ∈ R, α > inf f Các tập mức lồi {x : f (x) ≤ α} và{x : f (x) < α} có cùng bao đóng và phần trong tương đối, cụ thể là

{x : (cl f ) (x) ≤ α} , {x ∈ ri (dom f ) : f (x) < α} tương ứng

Hơn nữa, chúng có cùng số chiều với domf (và f )

Hệ quả 1.10 ([3, Corollary 7.6.1]) Nếu f là một hàm lồi chính thườngđóng có miền hữu hiệu là mở tương đối (đặc biệt nếu domf là một tậpaffine), thì với inf f < α < +∞ ta có:

ri {x : f (x) ≤ α} = {x : f (x) < α} ,

cl {x : f (x) < α} = {x : f (x) ≤ α}

Định nghĩa liên hợp của một hàm phát triển ra ngoài thực tế thànhtrên đồ thị của một hàm lồi chính thường đóng trên Rn là giao củacác nửa không gian đóng trong Rn+1 có chứa nó

Các siêu phẳng trong Rn+1 có thể được biểu diễn bởi

Đây là các đồ thị của hàm affine h (x) = hx, bi − β trên Rn.

Mọi nửa không gian đóng trong Rn+1 là một trong các dạng sau đây:

f như vậy

Do đó, đi chứng minh định lý, ta phải thấy rằng giao của trục thẳngđứng và nửa không gian đóng trên chứa epif là phép giao đồng nhấtcủa chính các nửa không gian đóng trên chứa epif Giả sử rằng

V = {(x, µ) : 0 ≥ hx, b1i − β1 = h1(x)}

là một nửa không gian thẳng đứng chứa epif , và (x0, µ0) là mộtđiểm không thuộc V Nó là đủ để chứng minh rằng tồn tại mộthàm affine h sao cho h ≤ f và µ0 < h (x0) Ta đã biết tồn tại ítnhất một hàm affine h2 thỏa mãn h2 ⊃ epif, tức là h2 ≤ h Với mọi

h (x0) > µ0 như yêu cầu.

Hệ quả 1.11 ([3, Corollary 12.1.1]) Nếu f là hàm bất kì từ Rn vào[−∞, +∞] thì cl(convf ) là cận trên đúng của tập hợp tất cả các hàmaffine trên Rn được làm trội bởi f

Chứng minh Từ cl(convf ) là hàm lồi đóng cực đại được làm trội bởi

f , hàm affine h thỏa mãn h ≤ cl (convf ) giống như thỏa mãn h ≤ fđó

Hệ quả 1.12 ([3, Corollary 12.1.2]) Cho hàm lồi chính thường f bất

kì trên Rn Khi đó tồn tại một số b ∈ Rnvà β ∈ R sao cho f (x) ≥

hx, bi − β với mọi x

Trong thực tế, nếu f là một hàm chỉ của một tập lồi C và h (x) =

hx, bi − β, ta có h ≤ f khi và chỉ khi h (x) ≤ 0 với mọi x ∈ C, tức làkhi và chỉ khi C ⊂ {x : hx, bi ≤ β}

Cho f là hàm lồi đóng bất kì trên Rn Theo Định lý 1.11, có mộtphương pháp kép mô tả f : một có thể mô tả tập F∗ bao gồm tất cảcặp (x∗, µ∗) trong Rn+1 thỏa mãn hàm affine h (x) = hx, x∗i − µ∗ làlàm trội bởi f Ta có h (x) ≤ f (x) với mọi x khi và chỉ khi

µ∗ ≥ sup {hx, x∗i − f (x) : x ∈ Rn}