tiếp tuyến hàm đa thức và hàm phân thức

tiếp tuyến hàm đa thức và hàm phân thức tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả c...

BÀI 5 TIẾP TUYẾN CỦA HÀM ðA HỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC

Bài 1 Cho ñồ thị ( ): 2 2 1

1

x x

C y

x

− +

=

− CMR trên ñường thẳng ( )∆ :y=7 có 4 ñiểm sao cho từ mỗi ñiểm ñó có thể kẻ ñến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 45

Lời giải: Lấy ñiểm bất kì M m( ; 7)∈ ∆( ):y=7 ðuờng thẳng ñi qua M m( ; 7) với hệ số góc k có phuơng trình: y=k x( −m) 7+ tiếp xúc với ñồ thị hàm số (C)

⇔ hệ

2

'

2

1 2

1

x

x



−







có nghiệm

2

( 1) (1 ) 7 1

(3)

x

x

− +

−

−

Thay (3) vào (2) ñược:

2

2 2

4

k

2 2 1

(1 ) 8 (1 ) 16 2

8

0 8( 2) ( 1)

k

k

m k

m

=





−

⇔  =



ðk 2 tiếp tuyến tạo với nhau một góc 45
tương ñương với:

2

1 2

tan 45

m

−



2 2



⇔



1 2 3 3

5 2 2

5 2 2

3 2 6

3 2 6

m m m m

 = +



= −



⇔ 

= − +





= − −

 Vậy có 4 ñiểm M thảo mãn bài toán

Bài 2 Cho ñồ thị (C m):y=x3+mx2−m−1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C m) tại các ñiểm cố ñịnh mà (C m) ñi qua

Lời giải: Gọi M x( 0;y0) là ñiểm cố ñịnh mà (C m) ñi qua

2

1,

1 0





Do ñó có 2 ñiểm cố ñịnh mà (C m) ñi qua là M1(1; 0) và M2(− −1; 2)

Ta có: y′ =3x2+2mx

- Phuơng trình tiếp tuyến tại M1 là: y= y′(1)(x−1)=(2m+3)x−(2m+3)

- Phuơng trình tiếp tuyến tại M2 là: y= y′( 1)(− x+1) 2− = −( 2m+3)x−(2m−1)

Bài 3 Tìm ñiểm M∈( )C :y=2x3+3x2−12x−1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M

ñi qua gốc tọa ñộ

Lời giải: Gọi M x( 0;y0) là ñiểm cần tìm ⇒y0 =2x03+3x02−12x0− (1) 1

PTTT của (C) tại M là:

( ) :d y= y x′( )(x−x )+y = 6x +6x −12 x+y − 6x +6x −12 x

Vì (d) ñi qua gốc tọa ñộ nên ( 2 )

0 6 0 6 0 12 0

y = x + x − x (2)

2x 3x 12x 1 6x 6x 12 x

2

Vậy M −( 1;1; 2)

Bài 4 Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị ( )C :y=x3−3x2 +2 biết tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng: 5y−3x+ = 4 0

Lời giải: Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng: 5y−3x+ = có phương trình dạng: 4 0

(d):y 5 x a

3

= − +

ðiều kiện ñể (d) và (C) tiếp xúc nhau là: hệ

2

5

3 5

3









có nghiệm

3







Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán: ( 1) : 5x 29

3 27

d y = − + và ( 2) : 5x 61

3 27

Bài 5 Viết phương trình tiếp tuyến ñi qua A(0; 1− ) ñến y=2x3+3x2− 1

Lời giải: Gọi (d) là tiếp tuyến ñi qua A(0; 1− ) ñến y=2x3+3x2− và 1 x0 là hoành ñộ

( ) :d y y x′( )(x x ) y x( ) 6x 6x x 2x 3x 1

Do A∈( )d nên: − =1 2x30+3x02− 1

0

3 2

0 0

0

0

2

x

x

=





 = −



Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: y= − và 1 y 9x-1

2

Bài 6 Viết phương trình tiếp tuyến ñi qua A −( 1; 2) ñến y=x3−3x2+ 2

Lời giải: Gọi (d) là tiếp tuyến ñi qua A −( 1; 2) ñến y=x3−3x2+ và 2 x0 là hoành ñộ

( ) :d y y x′( )(x x ) y x( ) 3x 6x x x 3x 2

Do A∈( )d nên: 3 2 ( 2 )

2=x −3x + −2 3x −6x

3 2

0 2

0

0

x

x

=







= +

 Vậy có 3 tiếp tuyến cần tìm là: y= và 2

Bài 7 Viết phương trình tiếp tuyến ñi qua A( 2; 6 3) ñến y=x3−3x2−6x+ 8

Lời giải: Làm tương tự Bài 5 và Bài 6

Bài 8 Cho ( )C :y=2x3−3x2−12x−5 Viết phương trình tiếp tuyến biết

a, Tiếp tuyến ñó song song với ñường thẳng y=6x− 4

b, Tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng 1 2

3

y= x+

c, Tiếp tuyến tạo với ñường thẳng 1 5

2

y= − x+ góc 45

Lời giải: a, Tiếp tuyến song song với ñt: y=6x− có dạng 4 ( )d :y=6x b+ với b ≠ −4

ðK ñể ( )d và ( )C tiếp xúc là hệ sau có nghiệm:

3 2 2







3

x

x

= −



=

- Với x= − ⇒1 b= 8

- Với x= ⇒3 b= −32

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: ( )d1 :y=6x+8 và (d2):y=6x−32

b, Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 1 2

3

y= x+ sẽ có hệ số góc k = −3

Phương trình hoành ñộ tiếp ñiểm là:

1

2

2

2

x

x

=





=





- PTTT tại 1 1 7

2

x = + là: y= −3(x−x1)+y x( )1 = −3x+(4 3 7− )

- PTTT tại 2 1 7

2

x = − là: y= −3(x−x2)+y x( 2)= −3x−(4 3 7+ )

c, Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm Theo giả thiết ta có:

1

1

2

1 2

k

k k

k

= −

+

- Với k =1 ta có pt hoành ñộ tiếp ñiểm:

1

2

3 87 6

3 87 6

x

x

=





=





PTTT tại 1 3 87

6

3

PTTT tại 2 3 87

6

3

- Với k = -1 ta có pt hoành ñộ tiếp ñiểm:

3

4

3 5 3 6

3 5 3 6

x

x

=





=





PTTT tại 3 3 5 3

6

3

= − − + = − − + 

PTTT tại 2 3 87

6

3

= − − + = − − − 

Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán

Bài 9 Tìm các ñiểm trên trục hoành mà từ ñó kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số

( )C :y=x3+3x2 trong ñó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

Lời giải: Lấy M m( , 0) bất kì thuộc trục hoành Ox ðường thẳng ñi qua M với hệ số góc

k có phương trình y=k x( −m)=kx−km tiếp xúc với ( )C ⇔ hệ

3 2

2





Thế (2) vào (1) ta có: x3+3x2 =(3x2+6x) (x−m)

2

2

0

x

=



⇔ 



ðể từ M kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ( )C trong ñó có 2 tiếp tuyến vuông góc thì phương trình g x( )=2x2 +(3 3− m x) −6m=0 phải có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 khác 0 sao cho

1 2 1

k k = − (k xác ñịnh theo x trong (2))





27 0

27

m



Vậy có 2 ñiểm thỏa mãn là: 1 3 6; 0

27

; 0 27

Bài 10 Cho ñồ thị ( ): 3 1

3

x

x

+

=

− và ñiểm M bất kì thuộc ( )C Gọi I là giao của 2 tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B CMR:

a, M là trung ñiểm của AB

b, Diện tích tam giác IAB không ñổi

Lời giải:

a, ðồ thị ( )C có TCN: ( )d1 : y = 3 và TCð: (d2): x = 3⇒ tọa ñộ ñiểm I(3;3)

Lấy ñiểm bất kì M 3 m;3 10 ( )C ,m 0

m

  Tiếp tuyên tại M có dạng:

( )d :y y (3 m) (x (3 m) ) 3 10 y 102 x 3 20 302

′

Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của ( )C và ( )d là:

3

x

−

Dễ thấy pt trên có 2 nghiệm phân biệt x1<x2 Gọi A x y( 1; 1) và B x( 2;y2) Ta có:

1 2 2

2

m

+

1 2 ( 1 2)

Vậy m là trung ñiểm của AB (ñpcm)

b, Do tam giác IAB vuông tại I, mà có M là trung ñiểm của AB nên ta có:

( )

( 1 ) ( ( 2) )

2

IAB

m

Vậy diện tích ∆IAB không ñổi

……… Hết………

Nguồn: hocmai.vn