b Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để P có giá trị là một số nguyên.. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax, By cùng vuông góc với AB.. Trên tia Ax lấy điểm D b
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆNNĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN LỚP 8 Ngày thi 05 tháng 4 năm 2011
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: ( 4 điểm)
Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để P có giá trị là một số nguyên.
Bài 2: ( 3 điểm)
Giải phương trình sau:
Bài 3: ( 3 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
( − + ) ( − + ) ( − )
b) Cho a, b thoả mãn a2 + b2 ≤ 8 Chứng minh − ≤ + ≤ 4 a b 4
Bài 4: ( 8 điểm)
Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax, By cùng vuông góc với AB Trên tia
Ax lấy điểm D bất kỳ, qua O vẽ đường thẳng vuông góc với DO tại O cắt By tại C.
a) Chứng minh BC.AD a = 2
b) Chứng minh DO và CO lần lượt là tia phân giác của ·ADC và ·BCD.
c) Vẽ OH CD H CD Gọi I là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm ⊥ ( ∈ )
của AH và DO, F là giao điểm của BH và CO Chứng minh ba điểm E, I, F thẳng hàng.
d) Xác định vị trí của điểm D trên tia Ax để tích DO.CO có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a.
Bài 5: ( 2 điểm)
Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện ( x2 − y2)2 + 4x y2 2 + x2 − 2y2 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x = 2 + y2
Họ và tên thí sinh:……… .Chữ ký của giám thị 1:………
Số báo danh :……… … Chữ ký của giám thị 2:………
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH
**********
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG
MÔN TOÁN 8 Năm học 2010 -2011
m
Bài 1 (4điểm)
a) 2điểm
Tìm được ĐKXĐ của P là : x 0; x 5; x 5
2
0,25
( ) (x ) (x 5 ) 2x 5( ) 2x
x 5 x 5 x x 5 x x 5 5 x
2 2
:
x x 5 x 5
− −
=
+ − x x 52x 5( ) 5 x2x
x x 5 x x 5 x x 5 2x
5 2x 5 2x
x 5 x 5 x 5
+
b) (2điểm)
P Z∈ x 0; x 5; x Z *( )
5 2x
Z
x 5
−
0,5
Ta có 5 2x 2 15
Vì x Z∈ ⇒ − ∈x 5 Z P Z 15 Z x 5 ¦ 15( )
x 5
−
Lí luận x 5 U 15− ∈ ( ) {= ± ± ± ±1; 3; 5; 15}
Mà x lớn nhất nên x-5 lớn nhất Do đó x 5 15− = ⇔ =x 20 ( thoả mãn (*))
0,75
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của x = 20 để P có giá trị là một số nguyên 0,25 Bài 2 (3điểm)
Ta có
2
2
4 2
Điều kiện xác định của phương trình (1) là x≠0
Ta có x4+x2+ =1 x4+2x2+ −1 x2 =(x2− +x 1 x) ( 2+ +x 1) 0,5 Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu
(1) ⇒2010x x 1 x( + ) ( 2− + −x 1) 2010x x 1 x( − ) ( 2+ + =x 1) 2011 1
2010x x 1 2010x x 1 2011
2010x x 1 x 1 2011
Trang 3x
I
F E
H
D
C
A
2010x.2 2011
2011
x
4020
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2011
4020
Bài 3 (3điểm)
a) ( 1.5 điểm)
a) a b c4( − +) b c a4( − +) c a b4( − ) =a b c4( − −) b a c4( − +) c a b4( − )
= − − − + − + −
( ) ( ) ( ) ( )
= − − − − − + −
= − − − − −
= − − + + − − − + +
= − − + + + − − − −
= − − − + + + − + − +
( a b b c a c a ) ( ) ( ) ( 2 b2 c2 ab bc ca )
Có nhiều cách phân tích khác nhau, mỗi lần xuất hiện một nhân tử a b;b c;a c − − −
cho 0,5điểm
1,5
b) (1,5 điểm)
Ta có: ( )2 2 2
a b− ≥ ⇔0 a +b ≥2ab mà 2 2
4 a b 4
Bài 4 ( 8 điểm)
a) (2 điểm)
Chứng minh ADO∠ = ∠BOC ( cùng phụ với AOD∠ ) 0,5
2
BC.AD a
b) (2 điểm)
Trang 4Chứng minhOB OD
BC = OC Từ đó chứng minh ∆ODC ~ BOC cgc∆ ( ) 0,5 Suy ra và kết luận CO là tia phân giác của góc BCD 0,5 Chỉ ra ADO ~ ODC∆ ∆ ( cùng đồng dạng BOC∆ )
Chứng minh DO là tia phân giác của góc ADC
1
c) (2 điểm)
Chứng minh ∆VOBC= ∆VOHC ( cạnh huyền-góc nhọn)⇒CB CH=
Chứng minh OC là đường trung trực của HB
Tương tự chứng minh AD DH= và OD là đường trung trực của HA
0,5 Chứng minh EF là đường trung bình của tam giác AHB ⇒EF// AB 0,5 Chỉ ra EH//OC DE DH AD
AD//BC AD DI
BC IB
Suy ra DE DI
EO = IB Áp dụng định lý Ta lét đảo cho cho tam giác DOB ⇒EI// OB
0,25 0,25 0,25 Theo tiên đề Ơclit kết luận E, I, F thẳng hàng 0,25 d) (2 điểm)
Chỉ ra 2SDOC =OC.OD OH.DC a.DC= = nhỏ nhất
⇔DC nhỏ nhất ⇔ DC ⊥Ax ⇔ABCD là hình chữ nhật ⇔AD=BC; CD=AB 1
Mà BC.AD a= 2 2 2
Xét tam giác vuông AHB có HO là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền
AB
2
Suy ra GTNN của OD.OC bằng 2a2 khi và chi khi D∈Axvà AD = a
0,25 0,25
Bài 5 (2 điểm)
2 2
x 0
=
A 2
x 0 max A 2
=
Lưu ý: Nếu HS giải theo cách khác, mà đúng và phù hợp với kiến thức trong chương trình
thì Hội đồng chấm thi thống nhất việc phân bố điểm của cách giải đó, sao cho không làm thay đổi tổng điểm của câu (hoặc ý) đã nêu trong hướng dẫn này.