Sở GD&ĐT Nghệ An.Trờng THPT Diễn Châu 2.. Môn Toán Lớp 10- Chơng trình nâng cao.. Tìm tọa độ hai đỉnh còn lại của hình vuông đó.. Đáp án và biểu điểm: đề thi chọn HSG cấp tr ờng Môn Toán
Trang 1Sở GD&ĐT Nghệ An.
Trờng THPT Diễn Châu 2
***====*****====***====
Đề thi chọn HSG cấp trờng năm học 2007 – 2008. 2008.
Môn Toán Lớp 10- Chơng trình nâng cao.
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu 1 a,(4,25 điểm) Giải phơng trình: 2x2- 3 x2+2x =- -1 4x.
b, (2,5 điểm) Tìm a để phơng trình:
4 3 0 , có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Câu 2 (3,0 điểm) Giải hệ phơng trình: x y x
ỡù + = ùớ
ùợ
2
2
Câu 3 a, (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3; 0) và C(-4; 1) là hai đỉnh đối nhau của hình vuông ABCD Tìm tọa độ hai đỉnh còn lại của hình vuông đó.
b, (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình
2x- y+ =2 0 và hai điểm A(4; 6), B(0; 4).Tìm điểm M trên đờng thẳng (d) sao cho độ dài vectơ AMuuur uuur+BM có độ dài nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó c,(2,5điểm) Cho tam giác ABC có góc không nhọn với AB= c, BC= a,CA= b.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (a b b)( c c)( a)
abc
Câu 4 (1,75 điểm) Cho x y z, , là ba số thực thỏa mãn:x2+xy+ y2+ yz+ =z2
Chứng minh rằng: x+5y+ Êz 13 2
2 2 Dấu = xảy ra khi nào?“=” xảy ra khi nào? ” xảy ra khi nào?
Hết.
Đáp án và biểu điểm: đề thi chọn HSG cấp tr ờng Môn Toán 10- ch ơng trình nâng cao
điểm
Pt đã cho tơng đơng với (x2+ x)- x2+ x+ =
Đặt t= x2+2x t, ³ 0 (0,25đ) Ta có phơng trình: t2- t+ =
2 3 1 0 (1).(0,25đ)
4.5 đ
1
Trang 2Pt (1) Û =t 1 hoặc t=1
2 (thỏa mãn đk t³ 0 ).(0,5đ) Với t=1ta có phơng trình: x2+ x=
2 1Û x2+ x= Û x2+ x- =
(0,5đ)
x
Û =- ±1 2 (0,5đ)
Với t=1
2ta có phơng trình: x2+ x =1
2
2 Û x2+ x= Û1 x2+ x- 1=
(0,5đ)
x
2 (0,5đ)
Đối chiếu với điều kiện phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là:
x=- ±1 2 (0,25đ) và x=- ±1 5
2 (0,25đ).
b Đk: x a- 2³ Û x³ a2
Pt đã cho tơng đơng với x x (0,5đ) x hoặc x
ở
2
2 2
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt Û a2< (0,5đ)Û - < <a
Vậy với -1< a < 1 thì phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.(0,5đ)
2.5 đ
Câu 2
Hệ phơng trình đã cho tơng đơng với x y xy y x
ùớ
ùợ
2 2
2
ợ
2
2 2
3 0
0 5
ỡ =
-ùù
3
6 3 6 0 (0,5đ)
x
ỡ = -ùù
=
3 18
x
ỡ = -ùù
Û ớ
ù =±
ùợ
3
3 2 .(0,5đ)
Vây hệ phơng trình đã hai cho có nghiệm là:
x y x y
ộỡù = ùờớờ
-ờùợờ ờỡù =-ờù
-ùợở
3 2
3 2 3
3 2
3 2 3
(0,5đ).
3.0đ
Câu 3
a Eẻ Oy nên E có tọa độ (0; y) (0,5đ)
Tứ giác ABEC là hình thang đáy AB và CE Û ABuur và ECuuur
cùng phơng
(0,5đ)
Ta có: uurAB
(1; -2), ECuuur
(-2; 3 – 2008.y) (0,5đ)
AB
uur
và ECuuur
cùng phơngÛ - = - y
1 2 (0,5đ)
Û y=- 1 (0,5đ)
2.0đ
Vậy M(x0;2x0+2 (0,25đ))
Ta có: AM xuuur( 0- 4 2; x0- 4)
(0,25đ) ,
BM x0 2x0- 2
uuur
(0,25đ)
3.5đ
2
Trang 3( ; )
.(0,25đ)
uuur uuur
(0,25đ)
= x 2- x +
20 64 52 (0,25đ)
0
20
5 5 5 (0,25đ) Dấu = xảy ra khi “=” xảy ra khi nào? ” xảy ra khi nào? x0 =8
5 ,
khi đó y0 =26
5 (0,5đ) Vậy min
,
5
uuur uuur
tại M( ; 8 26)
5 5 .(0,5đ)
c Do tam giác ABC có góc không nhọn, không mất tính tổng quát ta giả sử rằng)
90 (0,25đ) áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có
c2 =a2+ -b2 ab cosC³ a2+b2³ ab
2 2 ị c³ 2ab (dấu bằng xảy ra khi và
chỉ khi tam giác ABC vuông cân đỉnh C).(0,75đ)
Ta cóP (a b b)( c c)( a) abc a b a c b c b a c a c b
P
+
áp dụng BĐT cauchy, ta có: a b a b
b+ ³a 2 b a =2 , (0,25đ)
ab
P
ị ³ 4+3 2 (0,25đ)
Dấu = xảy ra khi “=” xảy ra khi nào? ” xảy ra khi nào?
ỡùù = ùù
ớù
ù +
ùù ùợ
Vậy
min
P = +4 3 2 khi ABC là tam giác vuông cân.(0.25đ)
2.5đ
Câu 4
Ta có: x2+xy+ y2+ yz+ = +z2 (x 1y)2+(3y+z)2+3y2=
áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có (x y z) ộ(x y) ( y z) yự
2 2
2
2
2 2 (0,25đ) Û x+5y+ Êz 13 2
2.0 đ
3
Trang 4Dấu = xảy ra khi “=” xảy ra khi nào? ” xảy ra khi nào?
y
ùù ùù
ùù ùù ùùợ
3
2
1
6
(0,25đ)
x
y
z
ỡùù
ù =±
ùù
ùù
ùù
ù
ùù
ùù
ù =±
ùù
ùùợ
5 2 2
2 13
2 2 13
3 2 2
2 13
(0,25đ)
Ghi chú: Học sinh làm theo các phơng án khác đúng, chặt chẽ vẫn đợc điểm tối đa.
Hết.
Ngô Trí Thụ
4