Tìm chữ số tận cùng của D.. Trong một giờ vòi thứ nhất chảy ít hơn vòi thứ hai 50 lít nước.. Vẽ Ox là tia phân giác của góc aOc; Oy là phân giác của góc cOb; Om là phân giác của góc aOb.
Trang 1UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 6
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
==================
Bài 1: ( 2,25 điểm)
Tính hợp lý: (Không dùng máy tính)
=
20
9 6 15
11 1 20
17
101
7 19
7 13
7 7
101
19 3
19 20
+ + +
+
+
=
B
110
1 90
1 72
1 56
1 42
1 30
1 20
1 12
1 6
=
C
Bài 2: ( 2,0 điểm)
Cho D= 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 20
a Chứng minh D chia hết cho 5
b Tìm chữ số tận cùng của D
Bài 3: ( 1,75 điểm)
Tìm các số tự nhiên k để 3k + 4 chia hết cho k - 1
Bài 4: ( 2,0 điểm)
Có hai vòi nước cùng chảy vào bể không chứa nước, nếu cả 2 vòi cùng chảy thì sau 48 phút sẽ đầy bể, nếu chỉ mở một mình vòi thứ nhất chảy thì sau 2 giờ sẽ đầy bể Trong một giờ vòi thứ nhất chảy ít hơn vòi thứ hai 50 lít nước Tính thể tích khi bể chứa đầy nước?
Bài 5: ( 2,0 điểm)
Cho 3 tia chung gốc O: Oa, Ob, Oc sao cho góc aOb bằng 1400; và tia Oc nằm giữa hai tia Oa và Ob Vẽ Ox là tia phân giác của góc aOc; Oy là phân giác của góc cOb; Om là phân giác của góc aOb
a Tính số đo góc xOy
b Chứng minh: Góc aOx = góc mOy
( Chú ý: HS phải vẽ hình chính xác để làm bài Hình vẽ 0,25 điểm)
Trang 2
-UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 7
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
==================
Bài 1: ( 2,0 điểm)
Thực hiện tính:
a (-1).(-1)2.(-1)3 (-1)2010
b (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33) (1000 - 20103)
Bài 2: ( 2,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:
a 19 9 310 109 4
12 2 6
9 4 15 27 2
+
+
=
A
b B= 2x4 + 3x2y2 + y4 + y2 với x2 +y2 = 1
Bài 3: ( 2,0 điểm)
a Cho x2 = yz ( x ≠y và x≠z) Chứng minh rằng:
x z
x z y x
y x
−
+
=
− +
b Cho
4 3 2
z y
x = = và x2 −y2 + 2yz= 171 Tính x, y, z
Bài 4: ( 2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AN, BP, CQ là ba trung tuyến, G là trọng tâm Trên tia AG lấy điểm E sao cho G là trung điểm của AE Chứng minh:
a BE= 2QG
b (AN+BP+CQ> AB+ AC+BC
3
4
Bài 5: ( 2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có số đo góc ABC bằng 2 lần số đo góc ACB và bằng
2α, đường cao AH Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BH; EH cắt
AC tại D
a Chứng minh: DH=DC=DA
b Trên đoạn HC lấy điểm B’ sao cho HB’=HB Chứng minh: B’C=B’A
c Chứng minh: CH=AE
Trang 3
-UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 8
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
==================
Bài 1: ( 2,0 điểm)
a Chứng minh: (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac - bd)2 + (bc + ad)2
b Cho: 1+ 1 +1 = 2
z y
x và x + y + z = xyz (x, y, z là các số khác o) Chứng minh rằng: 12 + 12 + 12 = 2
z y x
Bài 2: ( 2,5 điểm)
Giải các phương trình:
5
2025 2005
5 2004
6 2003
x
b x 4 - 2x 2 = 400x + 9999
Bài 3: ( 2,0 điểm)
a Chứng minh: x 2 - x + 1 > 0 (với mọi x)
b Chứng minh:
3
1 1
1
2
2
≥ +
−
+ +
x x
x x
c Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức:
1
1
2
2
+
−
+ +
=
x x
x x A
Bài 4: ( 3,5 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB<CD); Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, BD Đường thẳng qua A và song song với BC cắt BD tại E, cắt
CD tại A’; đường thẳng qua B và song song với AD cắt AC tại F, cắt CD tại B’ Gọi diện tích các tam giác OAB; OCD; ACD; ABC lần lượt là S1; S2; S3; S4 Chứng minh:
a EF//AB
b.
BD
BE CD
AB = và AB2 =EF.CD
3
2 4
1 + =
S
S S
S
Trang 4
-UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 8
HƯỚNG DẪN CHẤM :
Bài 1: ( 2,0 điểm)
a (0,75 điểm)
VT = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2
= a 2 c 2 + b 2 d 2 - 2abcd + a 2 d 2 + b 2 c 2 + 2abcd
= (ac - bd) 2 + ( bc + ad) 2 =VP
( Mỗi ý ghi 0,25 điểm)
b (1,25 điểm) Với x, y, z khác 0:
Bình phương 2 vế: 1 +1 +1 = 2
z y
x ta có:
4 2 2 2 1 1 1
2 2
yz xz xy z y
x
4 2 2 2 1 1 1
2 2
⇔
xyz
x xyz
y xyz
z z y x
4 ) (
2 1 1 1
2 2
⇔
xyz
z y x z
y x
4 2
1 1 1
2 2
⇔
xyz
xyz z
y
x (Vì x+y+z=xyz)
2 1 1 1 4 2 1 1 1
2 2 2 2
2
⇔
z y x z
y
x ( Mỗi ý ghi 0,25 điểm)
Bài 2: ( 2,5 điểm)
a.(1,25 điểm)
5
2025 2005
5 2004
6 2003
x
0 3 5
2025 1
2005
5 1
2004
6 1
2003
+
0 5
15 5
2025 2005
2005 2005
5 2004
2004 2004
6 2003
2003 2003
+
0 5
2010 2005
2010 2004
2010 2003
+
0 ) 5
1 2005
1 2004
1 2003
1 )(
2010
2010 0
2010 = ⇔ = − +
⇔ x x ( Mỗi ý ghi 0,25 điểm)
Trang 5b.(1,25 điểm)
x 4 - 2x 2 = 400x + 9999
⇔ x4 + 2x2 + 1 = 4x2 + 400x+ 10000 (thêm 4x 2 +1 vào 2 vế )
⇔(x2 + 1)2 =(2x+ 100)2
⇔(x2 + 1 − 2x− 100)(x2 + 1 + 2x+ 100)= 0⇔
−
= + +
= +
−
) 2 ( 100 1
2
) 1 ( 100 1 2
2
2
x x
x x
(1)⇔x2 − 2x+ 1 = 100 ta được
=
−
= 11
9
x
x
; PT(2) x2 + 2x+ 1 = − 100 vô nghiệm Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x=11; x=-9
( Mỗi ý ghi 0,25 điểm)
Bài 3: ( 2,0 điểm)
a.+ x 2 – x + 1 = x 2 –x + 1/4 + 3/4 = (x-1/2) 2 + 3/4 > 0
+ (x-1/2) 2≥0; 3/4 > 0 nên (x-1/2) 2 + 3/4 > 0
b.
+ Từ kết quả (a) nhân 2 vế của BĐT với số dương 3( x 2 – x + 1) được :
3x 2 + 3x + 3 > x 2 –x + 1 + Biến đổi : ⇔ 2x 2 + 4x + 2 > 0
⇔ 2(x+1) 2 > 0
+ 2(x+1) 2 > 0 luôn đúng Suy ra:
3
1 1
1
2
2
≥ +
−
+ +
x x
x x
c
+
1
) 1 (
3 1 )
1 (
3 1
1
2
2 2
2 2
2
+
−
+
−
− + + + +
−
= +
−
+ +
x x
x x x
x x
x x
x
x
x
1
) 1 ( 2 3 1
2 4 2
2 2
2
≤ +
−
−
−
= +
−
+
−
−
=
x x
x x
x
x x
+ A=
1
1
2
2 +
−
+ +
x x
x x
đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x = 1.
( Mỗi ý ghi 0,25 điểm) Bài 4: ( 3,5 điểm)
a.(1,0 điểm)
OC
OA OB
OE BC
OD
OB OA
OF AD
OD
OB OC
OA CD
AB EF OA
OF OB
OE
//
⇒
=
b.(1,75 điểm)
' '
//
DA
AB ED
EB DA
C D
O
Trang 6DA AB
AB EB
ED
EB
+
= +
⇒
C A
AB= ' được
DC
AB BD
EB =
BD
BE DB
EF DB
' '
//
DC EF AB
AB
EF DC
AB
DB
EF DC
AB
.
'
2 =
⇒
=
⇒
=
⇒
( Do AB= DB')
c.(0,75 điểm)
S S OA AC
ABC
OAB =
S S OC AC
ADC
OCD = (Tỷ số DT hai tam giác có cùng đáy bằng tỷ số hai đường cao )
Cộng hai đẳng thức trên vế theo vế ta được điều phải chứng minh
( Mỗi bước cho 0,25 điểm)
=========================
Ghi chú:
*********
Trang 7UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 6
HƯỚNG DẪN CHẤM :
Bài 1: ( 2,25 điểm)
a A=
15
4 3 15
11 1 15
15 4 15
11 1 5 20
3 2 15
11 1 20
17 2 3 : 20
9 6 15
11 1
20
17
b B
101
7 19
7 13
7 7
101
19 13
19 19
19 19 101
7 19
7 13
7
7
101
19 13
19 1
19
+ + +
+ +
+
= + + +
+ +
+
=
7
19
101
1 19
1 13
1 1
7
101
1 19
1 13
1 1
19
=
=
( 0,75 điểm)
c
110
1 90
1 72
1 56
1 42
1 30
1 20
1 12
1 6
=
C
11 10
1 10 9
1 9 8
1 8 7
1 7 6
1 6 5
1 5 4
1 4 3
1 3
.
2
=
11
1 10
1 10
1 9
1
4
1 3
1 3
1 2
=
22
9 22
2 22
11 11
1 2
= ( 0,75 điểm)
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho D = 2 + 22 + 23 + 24 + +220
a Chứng tỏ rằng D chia hết cho 5: (1 điểm)
D = 2(1 + 2+ 22 + 23 )+ 25(1 + 2+ 22 + 23 )+29(1 + 2+ 22 + 23 )+
+213(1 + 2+ 22 + 23 ) +217(1 + 2+ 22 + 23 )
=(1 + 2+ 22 + 23 )(2 + 25+29 +213 +217)
= 15(2 + 25+29 +213 +217)
= 5.3 (2 + 25+29 +213 +217)
Kết luận D chia hết cho 5
(Mỗi bước ghi 0,25 điểm)
b Tìm chữ số tận cùng của D: (1 điểm)
- D chia hết cho 2 do D là tổng của các số chia hết cho 2
- D chia hết cho 5 nên Dcó chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
- D chia hết cho 2 nên D có chữ số tận cùng là chữ số chẵn
- D vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 nên có chữ số tận cùng là 0
(Mỗi bước ghi 0,25 điểm) Bài 3: (1,75 điểm)
- 3k + 4 chia hết cho k - 1 hay 3k -3 + 7 chia hết cho k -1 0,5 đ
Trang 8- Do 3k - 3 = 3(k - 1) chia hết cho k - 1 nên 7 chia hết cho k -1 0,5 đ
- k-1 là ước của 7 nên k-1 = 7 hoặc k -1 = 1 0,5 đ
- Suy ra được k = 8 hoặc k = 2 0,25 đ Bài 4 (2,0 điểm)
Trong 1 phút:
- Hai vòi chảy được:
48
1
bể 0,25 đ
- Vòi thứ nhất chảy được:
120
1
bể 0,25 đ
- Vòi thứ hai chảy được:
80
1 120
1 48
1 − = bể 0,5 đ
- Vòi thứ hai chảy hơn vòi thứ nhất:
240
1 120
1 80
1 − = bể 0,5 đ
- Thể tích bể: 50:
240
1
= 12000 lít 0,5 đ Bài 5:(2,0 điểm)
a.Tính sđ góc xOy: (0,5 điểm)
- ∠xOy =∠xOc +∠cOy=
2
1
(∠aOc +∠cOb) =
2
1
∠aOb=
2
1
.1400 =700
b.Chứng minh ∠aOx =∠mOy: (1,0 điểm)
- Om là phân giác∠aOb: ∠aOm =
2
1
∠aOb (1)
- Ox là phân giác∠aOc: ∠xOc =
2
1
∠aOc
- Oy là phân giác∠cOb: ∠cOy =
2
1
∠cOb
- Do:∠xOy =∠xOc+∠cOy =
2
1 (∠aOc + ∠cOb) =
2
1
∠aOb (2)
Từ (1) & (2) suy ra:
- ∠aOm =∠xOy
- ∠aOx+∠xOm =∠aOm
- ∠mOy+∠xOm =∠xOy
Cho ta: ∠aOx =∠mOy
a x
c
m
O
y
b
Trang 9UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 7
HƯỚNG DẪN CHẤM :
Bài 1: ( 2,0 điểm)
a (-1).(-1)2.(-1)3 (-1)2010
= (-1)1+2+ +2010
= (-1)2010(2010+1):2
Do 2010(2010+1):2 là một số lẻ
Nên: (-1)2010(2010+1):2 = -1 ( 1,0 điểm)
b Trong tích: (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33) (1000 - 20103)
có thừa số: 1000 - 103= 0
Nên: (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33) (1000 - 20103)=0 ( 1,0 điểm)
Bài 2: ( 2,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:
a 19 9 310 109 4
12 2 6
9 4 15 27 2
+
+
=
A
= 199 99 10 1018 208
2 3 2 3 2
3 2 5 3 3 2
+ +
= 27.7 21
) 6 1 ( 3 2
) 5 2 (
3 2
9 19
9 18
=
= +
+
(1,0 điểm)
b B= 2x4 + 3x2y2 + y4 + y2 với x2 +y2 = 1
=2x2 (x2 +y2 ) +y2 (x2 + y2 ) + y2
=2x2 + y2 +y2
= 2x2 + 2y2=2 (x2 +y2 ) = 2 (1,0 điểm)
Bài 3: ( 2,0 điểm)
a - Từ x2 = yz được : y x = x z
- Từ y x = x z được x y = y x++z x và y x = y x−−x z
- Suy ra y x++x z = y x−−z x
⇒ x y+−x y = x x−+z z ⇒ x x−+ y y = z z−+x x (1,0 điểm)
b - Từ
3 2
y
x = được
9 4
2
x =
- Từ
4
3 9
2 y z
y = được
24
2 12 9
Trang 10- Kết hợp được : 9
19
171 24
9 4
2 24
2 9 4
2 2 2
2
=
= +
−
+
−
=
=
−
−
x
- x2 = 4.9=36 được x = 6 và x = -6
* x = 6 được y = 9 và z= 12
* x = - 6 được y = -9 và z= -12 (1,0 điểm)
Bài 4: ( 2,0 điểm) (Hình vẽ: 0,5 đ; phục vụ cho mỗi câu 0,25 đ)
a Chứng minh BE=2QG: ( 0,75đ)
- Chứng minh: tg BNE= tgCNG
- Suy ra: BE=GC
- Do: GC=2QG (trọng tâm tam giác) nên: BE=2QG (Mỗi ý 0,25đ)
b ( 0,75đ)
- Ta có: AG+BG>AB; BG+GC>BC; AG+GC>AC ( bất đẳng thức tg)
- Cộng theo vế có: 2(AG+BG+CG)>AB+BC+AC
- Hay: 2
3
2 (AN+BP+CQ)>AB+BC+AC Vậy:
3
4
(AN+BP+CQ)>AB+BC+AC (Mỗi ý 0,25đ)
A
Q P G
B N C
E
Bài 5: ( 2,0 điểm) (Hình vẽ: 0,25 đ)
A
H E
D
B’
Trang 11- Tam giác BEH cân nên E = H
- ABH là góc ngoài nên E=H= ABH = α
2 1
- BHE = DHC (Đối đỉnh) nên DHC =α
- Suy ra ∆DHC cân tại D nên DH=DC
- ∆HAD có : AHD = 900 -α
- HAD = 900 - α (∆AHC vuông tại H)
- Suy ra ∆HAD cân tại D nên DH = DA
- Suy ra DH = DC = DA (0,75 đ)
b
- ∆ ABB’ cân tại A do có trung tuyến là đường cao
- Suy ra AB’B = 2α
- Suy ra B’AC = BB’A - B’CA = α
- ∆ AB’C cân tại B’ nên B’C = B’A (0,5 đ)
c
- Do AB’ = AB nên B’C = AB
- HB’= HB = BE nên AB + BE = B’C + B’H hay CH = AE (0,5 đ)