Kẻ tia Cx sao cho CA là tia phân giác của ·BCx , tia Cx cắt đường thẳng AB tại D.. Chứng minh: AC BC là số vô tỉ.. Đường thẳng Dx vuông góc với CD tại D cắt CM tại E.. CA cắt Dx tại F..
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2010 - 2011
MÔN TOÁN - LỚP 9
Ngày thi: 15/01/2010 Thời gian : 150 phút
( không kể thời gian giao đề )
Câu 1 (5 điểm): Cho biểu thức: P 1: x 2 x 2 x 1 1
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P biết x 7 4 3 = −
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
d) Tìm x để P = 2 x - 1.
Câu 2 (3 điểm): Giải các phương trình sau:
a) x2 − − 9 3 x 3 0 − =
b) 3x2 + 4x 10 2 14x + = 2 − 7
Câu 3 (3 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A có · BAC 108 = 0 Kẻ tia Cx sao cho CA là tia phân giác của ·BCx , tia Cx cắt đường thẳng AB tại D Chứng minh: AC BC là số vô tỉ
Câu 4 (6 điểm): Cho hình vuông ABCO cạnh a Đường tròn (O, a) cắt OB tại M D là
điểm đối xứng của O qua C Đường thẳng Dx vuông góc với CD tại D cắt CM tại E CA cắt Dx tại F Đặt α = ·MDC
a) Chứng minh CM là phân giác của ·ACB Tính độ dài DM, CE theo a và α b) Tính độ dài CM theo a Suy ra giá trị của sin α
Câu 5 (3 điểm): Biết rằng a, b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1
Chứng minh :
2 2
2 2
a b
+ ≥
−
-HẾT -Họ và tên thí sinh Số báo danh
Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN CAO LỘC
-HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010-2011 Môn thi: Toán 9
(Đáp án - thang điểm gồm có 03 trang)
Câu 1
(5 đ) a) ĐK: x > 0
( )
x 2 x 2 x 1 x x 1
P 1:
x 1 x x 1
x 1 x x 1 P
x x 1
x x 1 P
x
=
+
=
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ b) Ta có: ( )2
x 7 4 3= − = −2 3 thay vào P ta được:
7 4 3 2 3 1 3(2 3)
0,5 đ 0,5 đ
c) Ta có: P x x 1 x 1 1
Vì x > 0 nên áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
x 1 2 x 1 x 1 1 1
⇔ P ≥ 1
Dấu "=" xảy ra ⇔ x 1 x 1
x
Vậy Min P = 1 ⇔ x = 1
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
d) P 2 x 1= − x x 1 2 x 1
x
⇔ x = 1 0,5 đ Câu 2
(3 đ) a) ĐKXĐ: x ≥ 3
(x 3 x 3− ) ( + −) 3 x 3 0− =
x 3 x 3 3 0
x 3
x 6
x 3 3
x 3 3 0
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3; x = 6
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
b) ĐKXĐ: x 2
2
≥
x +4x 4 2x+ + − −1 2 2x −1 7 7+ = 0
0,5 đ
Trang 3(x 2) ( 2x 1 7) 0
2
2
2 0
2 2
= −
+ =
x x
x x
0,5 đ
0,5 đ Câu 3
DCA ACB 36= = ⇒ ∆CAD cân tại C,
BCD
∆ cân tại B⇒AB AC DC= = Theo tính chất đường phân giác trong ∆BCD ta có
CB AB BC CA ; BC BD
CD = AD ⇒ CA = BD CA =
−
BC CA
CA BC CA
⇒ =
− ⇔BC(BC CA) CA− = 2
BC BC.CA CA 0
1 0
CA 2
+
= ( Vì BC 0)
CA > Vậy BC
AC là số vô tỉ Câu 4
(6 đ)
Vẽ hình đúng a) Vì M thuộc đường tròn tâm O đuờng kính CD nên
CMD 90=
Mà CA⊥OB⇒ ·MCA OMD=· ; ·MCB MDO=· (góc
có cạnh vuông góc)
MCA MCB
Do đó MC là tia phân giác của ·ACB
∆DMCvuông tại M có ·MDC= α và CD=2a nên
DM cos DM 2a.cos
DC
∆DEC vuông tại D có DM là đường cao nên CE.CM=CD2 (1)
Mà CM CDsin= α ⇒CM 2a sin= α
Từ (1) ta có
2
CD 2a CE
CM sin
α
b) Gọi I là tâm hình vuông OABC ta có IM OM OI IM a 1 2
2
∆MIC vuông tại I 2 ( ) 2
CM IM IC CM 2 2
=a 22( − 2)⇒CM a 2= − 2
CM 2 2 sin
CD 2
−
0,5 đ
1,5 đ
0,5 đ
1 đ 0,5 đ
0,5 đ
1 đ 0,5 đ
Câu 5
(3 đ) * Vì a.b = 1 nên 2 2 ( )2 ( )2 ( )
a b
* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương
Ta có : (a b) 2 2 (a b) 2
1 đ
1 đ
x D
A
C
B
I F
E
D
M B A
Trang 4Vậy
2 2
2 2
a b
− 1 đ
Chú ý:
1 Trong từng câu:
+ Học sinh giải cách khác hợp lý, kết quả đúng cho điểm tương ứng.
+ Các bước tính, hoặc chứng minh độc lập cho điểm độc lập, các bước liên quan với nhau đúng đến đâu cho điểm đến đó, từ chỗ sai trở đi không chấm tiếp.
2 Điểm toàn bài là tổng điểm các phần đạt được không làm tròn.
