TÍCH PHÂN ( 50A SƯ PHẠM TOÁN- ĐH VINH)

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂNI.Khái quát hóa: 1.. Vậy trong toán học chúng ta cần khái quát hóa một bài toán như thế nào?... Một trong những phương pháp học toán là sa

Giảng viên: NGUYỂN CHIẾN THẮNG

Người thực hiện: PHAN HỒNG QUÂN

NGUYỄN THỊ THANH NGA

LÊ THỊ DIỆU NGUYỄN THỊ HIỀN PHÙNG THỊ THẮM TRẦN THỊ TRANG NGUYỄN VĂN DÂN

Nhóm: 5

TÍNH TÍCH PHÂN

(Chuyên đề: Giải tích 12)

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

I.Khái quát hóa:

1 Khái quát hóa là gì?

Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn

hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát

Khái quát hóa nhằm vào việc so sánh, đối chiếu những tri thức đạt được,

nghiên cứu những điểm giống nhau và khác nhau, làm rõ những mối quan hệ giữa chúng Nhờ đó, người đọc đạt được không chỉ là những tri thức riêng lẻ mà là một hệ thống tri thức

( Theo Nguyễn Bá Kim-PPDH môn Toán)

2 Khái quát hóa như thế nào?

Giống như một người họa sỹ vẽ một bức tranh, một người nhạc sỹ sáng

tác một bản nhạc, tất cả đều phải căn cứ từ bản chất riêng của từng đối tượng mà có những cái nhìn riêng về đối tượng Chính điều đó

sẽ dẫn tới sự thành công cho tác phẩm của mình

Vậy trong toán học chúng ta cần khái quát hóa một bài toán như thế nào?

Một trong những phương pháp học toán là sau mỗi

bài toán chúng ta cần tìm ra những “điểm nhấn “ để

có thể hiểu vấn đề một cách “ thông thái “ hơn

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

• Vậy để làm được điều đó, người học toán cần điều gì?

- Suy nghĩ thật kỹ, thật thấu đáo về vấn đề được đặt ra.

- Tìm mối liên hệ giữa các kiến thức xung quanh vấn đề đó.

- Tự đặt câu hỏi xung quanh một vấn đề nhỏ để tìm

cách khái quát thích hợp

II Khái quát hóa cho một bài toán cụ thể.

Xin phân tích qua một bài toán nhỏ sau:

Bài toán : Tính tích phân

(Bài tập 19c)-Chương III, SGK Giải tích 12 Nâng cao)

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

1 Nhận xét 1: Quan sát thấy được hàm số dưới dấu tích phân có

dạng phân thức Vậy kiến thức sẽ sử dụng cho hàm phân thức

2 Nhận xét 2: Ở đây chỉ xuất hiện 2 hàm số lượng giác

là sinx và cosx Vậy có cách nào biểu diễn thông

qua một yếu tố không ? Ta cùng tìm kiếm kiến thức

để giải quyết

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

2.1 Hướng 1: Chia cả tử và mẫu cho cosx ta được

2.2 Từ đó, với cách giải trên ta có thể giải được bài toán tổng quát

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

2.3 Hướng 2: Đặt thì

và

Với hướng trên ta có thể tính được tích phân có dạng tổng quát sau:

( Theo Nguyễn Mộng Hy – PP Giải Tích phân,NXB GD,2006)

Các bạn hãy làm bài toán trên và tự mình nghĩ ra đề bài và giải nhé!

=

+

2 2

1 cos

1

t x

t

−

= +

3 Nhận xét 3: Xuất phát từ quan hệ của sinx và cosx Điều gì đặc

biệt trong cận của tích phân ?

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

• Khi đó:

Thật đáng kinh ngạc!

3.2 Với hướng trên ta có thể tính được tích phân tổng quát sau:

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

4 Nhận xét 4: Nếu dùng biến đổi lượng giác thì như thế nào ?

4.1 Hướng 4: Biến đổi:

và ta tính với các tích phân bình thường của hàm lượng giác

sin 2 sinx(cos sinx) 2 2 ( )

c x x

4.2 Điều này cho ta suy nghĩ để tìm ra cách giải cho bài toán

sau:

Gợi ý giải:

- Sử dụng công thức truy hồi.

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

π π

π π

5 Nhận xét 5: Vì tích phân có dạng hàm phân thức nên nếu ta

biến đổi tử thức để tìm cách viết được qua mẫu số và đạo hàm của mẫu thì hay quá !

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

5.2 Từ đó, ta có ngay bài toán đặc biệt hóa sau:

π

− +

∫

6 Nhận xét 6: Quan sát tích phân cần tìm ta thấy sự sai khác

của tử số và mẫu số, vậy nếu ta tìm được một tích phân khác có

“họ hàng” với nó thì sao nhỉ ? Trả lời câu hỏi đó ta đi xét tích

phân:

6.1 Hướng 7: Xét tính phân sau:

Từ hai tích phân trên ta đi giải hệ : sẽ tìm được I

Cách giải này có thể áp dụng để giải các bài toán có tính đối xứng của sin và cos.

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

∫

Chia cả tử và mẫu cho sinx( hoặc cosx)

2 0

sinsin os

cos s in x sin x cos

x

dx x

π

− +

∫

TRÊN ĐÂY LÀ BÀI GIẢNG CỦA MÌNH, RẤT MONG ĐƯỢC SỰ ĐÓNG GÓP Ý KIẾN CỦA

THẦY CÔ VÀ CÁC BẠN

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!