luyện thi đại học phần phương trình

BÀI 1: ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

DẠNG: ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Dấu hiệu nhận biết:

- Dạng thường gặp: f (x) g(x).h(x)

- Hoặc biểu thức chứa 2 biến g(x); h(x)

Phương pháp: Đặt a g(x)

b h(x)





 

 Sử dụng phương pháp đồng nhất để tách f (x)a.g(x)b.g(x)

Đưa toàn bộ phương trình về ẩn a,b!

BÀI TOÁN 1: CHỨA 1 CĂN

1 2x2 6x 4 3 x3 8   Đáp án: x 3 13  x 3 13

Nhâ ̣n xét: Để ý rằng biểu thức trong căn da ̣ng: x3  8 x3 23 x2 x  22x4 nên ta nghĩ đến việc tìm hai số  , thỏa mãn đồng nhất

2x 6x  4 x2   x 2x4  x    2 x    2 4

2

2

2

 



       

     



● Điều kiê ̣n: x  2

  2 x 22x42 x 23 x 2 x  22x40  1

● Đă ̣t a x 2 0, b  x2 2x 4 3

 1 2b22a23ab0

2

 

 

       

(chia hai vế cho b 3)

 

 x2 2x 4 2 x2

x22x 4 4x8   x 3 13  x 3 13

2 2x2 5x 1 7 x31   Đáp án: x 4 6  x 4 6

Để ý rằng: x3  1 x1 x  2  x 1 , một cách tự nhiên ta suy nghĩ đến viê ̣c phân tích

2

2x 5x1 sao cho 2    2 

2x 5x  1 x  1 x   x 1

2 2

3

2

   

        

         

Nên ta có lời giải sau

Điều kiê ̣n: x1

  3 x  1 2 x 2  x 17 x 1 x  2  x 1  1

5 x  1 2x 4 Đáp án:x 5 37

2



 Điều kiện: x 1

x 1 (x 1) x x 1 (x 1) x x 1 x 2







2

2 2

a 2b

2a b





 



4 2 6 3 2  

30

       Đáp án: x2

Nhâ ̣n xét: Để ý rằng: 3 2    2 

x 3x 4x 2 x1 x 2x2 một cách tự nhiên ta suy nghĩ đến việc phân tích 3x2 2x2 sao cho

3x 2x  2 x  1 x 2x2  x    2 x    2

   

       

● Điều kiê ̣n: x 1

30

5 3.x2 3 3x 3 x4 x2  1 0   Đáp án: x1

 Nhâ ̣n xét: Để ý rằng:

x x  1 x 2x  1 x  x 1 x  x  x 1 x  x 1 , và biểu thức ngoài dấu căn có nhân tử chung là 3 nên ta chia hai vế cho 3 được

   

x 3x  1 x    x 1 x   nhằm dễ tìm hai số x 1  , thỏa đồng nhất

     

               

      

3

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

6 2 x 2 187 x3 27 Đáp án:x 7 61 x 21 3 33

7 10 x3  8 3x2 3x18 Đáp án:x 11 177

2





8 2 x 2  x 65 x3 8

Đáp án: x 3 13

9 2 x 2 3x23 x3 8

Đáp án: x 3 13

10 2x2 5x 1 7 x3  1 Đáp án: x 4 14

11 10 x3  1 3 x 2 2 Đáp án: x 5 33

12 2x2 5x 2 4 2 x 3 21x20 Đáp án:x 9 193 x 17 3 73

BÀI TOÁN 2: CHỨA 2 CĂN Phương pháp: Đưa về hai vế không âm sau bình phương để đưa về dạng 1 căn

13 5x2 14x 9 x2  x 20 5 x1  

Đáp án:

x 8

5 61 x

2









 



   5x2 14x 9 5 x 1 x2 x 20

5x2 14x 9 25 x1  x2  x 20 10 x1 x2  x 20

Đồng nhất hai vế ta được: 2x25x 2 a x 1 b x      2  x 20(Ta khômg tìm được a,b)

Ở bài này chú ý:

2

x x 20 (x 5)(x 4) (*) 2x 5x 2 5 x 4x 5 (x 4)

Ta sẽ tìm a,b thỏa mãn: 2  2   

a 2

a 2

b 3 5a 4b 2

 

 







  



Khi đó: (*)2 x 2 4x 5 3(x 4) 5 x   2 4x 5 x 4    

   





 



2

2 2

a b

2a 3b

14 ĐỀ MẪU BỘ (2015) : 2 2

x  x x 2 3(x 2x2) Đáp án: 1 3  x 3 13

Điều kiện xác định: x 1 3

x 2x 2 2 x x x 2 3 x 2x 2

2 x x x 2 2x 8x 4

x x x 2 x 4x 2

Nếu đồng nhất: x24x2 theo x2 x; x2 thì sẽ không ra được

Ở bài này chú ý: x2 x x(x 1) 

15  3x212x 5 x22x x3 1 2x210x5

16 x25x4 1  x32x24x

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

17 x2  x 2 3 x 5x24x6 Đáp án: x 3 13

18 5x214x 9 x2 x 20 5 x1

7x 25x19 x 2x357 x2

20 x2   x 6 3 x 1 3x26x19 0 Đáp án:x 23 341

2





2 x 4x 5 x 3 11x 25x  2 0

22 x2 2x  2x 1 3x2 4x1

23 x23x 2 x 1  3x29

2x  1 3x  3 4x 6x 8

25 4x2 13x 173 6 x 5 2x2 x 1

10x 50x 3 2x 5x 2 3 x5

27 (x 1)(x 3   1) 3 x x2

BÀI TOÁN 3: CHỨA 2 – 3 CĂN TƯƠNG ĐỒNG NHAU Phương pháp: Đặt a,b và đồng nhất theo a,b

28 (13 4x) 2x 3 (4x 3) 5 2x 2 8 16x 4x        215 Đáp án: x = 2

Gợi ý: Điều kiện: 3 x 5

2   2

Ta thấy: (2x 3)(5 2x) 16x 4x    215nên ta đặt a  2x 3;b  5 2x;a, b 0 

Ta biến đổi:

2 2

2 2





  



2 2

2

2

2

(1) (2b 3)a 2a 3 b a b 8ab

2ab(a b) 3(a b) (a b) 6ab

2ab(a b) (a b) 3(a b) 6ab 0

(a b 3)(2ab a b) 0

2x 3 5 2x 3

a b 3 0

2ab a b 0 2 16x 4x 15 2x 3 5 2x

7 16x 4x 15 (vo, no)

2

4 16x 4x 1

   





5 2 2 16x 4x 15 2t 1 t (t 16x 4x 15;t 0)

t 1 x

1

t (loai)

2









  





  



29 (13 4x) 2x 3 (4x 3) 5 2x 2 8 16x 4x        215 Đáp án: x = 2

Gợi ý: DK :3 x 5

2   2

Dễ thấy (2x 3)(5 2x) 16x 4x    2 15

Nên ta đặt:

2 2

2 2 2

a b 2

(a, b 0)

13 4x 2b 3

b 5 2x

4x 3 2a 3







(*) 2b 3 a 2a 3 b a b 8ab

a b 3 2ab a b 0

a b 3

a b 2ab

a b 2 (a b) 2ab 2

a b 3 a b 3

a b 2 (a b) 2ab 2

a b 2ab a b 2ab

  



(Nhớ kết hợp điều kiện)

30 (4x 1) 3 2x (7 4x) 2x 1 2 4x       2 8x 3 4  Đáp án: x = 1

Gợi ý: 1 x 3

2   2 Nhận thấy: (3-2x)(2x-1) = - 4x2 + 8x – 3

Nên ta đặt:

2 2

2 2 2

a b 2

a 3 2x(a, b 0) ab 4x 8x 3

4x 1 2b 1

b 2x 1

7 4x 2a 1







2

2 2

2

3 2

2

0

2ab(a b) (a b) 2ab 4 0 (2b 1)a (2a 1)b 2ab 4

(*)

(a b) 2ab 2

(a b) 2 (a b) (a b) (a b) 2 4 0(*)

2ab (a b) 2





 



        0 a b 2 ab 1  4x2 8x 3 1  x

 

31 x2 6x 11 x  2   x 1 2 x 24x 7 x 2  

Đáp án: x 5  6

Điều kiện: x 2

2 Dat : a  x  x 1;(a 0); b  x 2 0) 

Ta biểu diện biểu thức ngoài căn theo a,b như sau:

a ' 1; b' 3

x 4x 7 a '(x x 1) b'(x 2)

Khi đó (1)a2 5b a 2 a   2 3b b2

3 2 2 3

3 2

a 2a b 5ab 6b 0

a

t 2t 5t 6 0 t 0

b

 

 





  



(t 1)(t 3)(t 2) 0

t 1

a b

t 3

a 3b

t 2(loai)

(Tự thay a,b bình phương)

32 x 2 7 x 2 x 1      x2 8x 7 1  Đáp án: x 5

x 4

 

 



Điều kiện: 1 x 7 

Ta thấy (7-x)(x-1) = -x2 + 8x – 7

Nên ta đặt: a x 1

(a, b 0)

b 7 x





(x 1) 2 7 x 2 x 1 (7 x)(x 1)

a 2b 2a ab (a b)(a 2) 0

x 1 7 x

x 4





33 (x 2) 2x 3 2 x 1      2x2 5x 3 1 0  

Đáp án:



 





 



 





1 x 2

x 1

x 3

Điều kiện: x 1

Ta có :

2 (2x 3)(x 1) 2x   5x 3 nên ta đặt a 2x 3;b  x 1;a, b 0 

Ta biến đổi:

2 2

2 2

1 a 2b







  





(1) a b (a 2b) ab (a 2b ) 0

a b (a 2b) b(a b) a b 0

(a b) a b a 2b b (a b) 0

a b 0(vo no vi a+b>0)

(a 2b)(a b 1) 0

a b a 2b (a 2b) 0

a 2b 2x 3 2 x 1 x

a b 1 2x 3 x 1 1(2)

2x 3 x 2 2 x 1 x       



x 1 0

x 1 2

34  x 5  x 2 1    x27x 10 3 Đáp án: x = - 1

Điều kiện

Ta thấy (x + 5)(x + 2) = x2 + 7x + 10 nên đặt a  x 5;b  x 2;(a, b 0) 

Biến đổi vế PT: 3 = (x + 5) – (x + 2)



2 2

1 (a b)(1 ab) a b (a b)(1 ab) (a b)(a b)

(a b)(a b (1 ab)) 0 (a b)(a 1)(b 1) 0

x 5 x 2 x 5 x 2 0x 3 VN

a b

a 1 x 5 1 x 4 (loai)

b 1 x 2 1 x 1

35  x 1 x2  x2    x 2 1 3 Đáp án: x = 2

Điều kiện: x 1

Cách 1: Ta thấy (x 1)(x 2) x   2  x 2nên ta đặt: a x 1;b  x 2;(a, b 0) 

     



  



2 2

b 1(vo, no)

Cách 2:







   



  





2 2

2

2 2

2

2 1 0

2 1

2

2 0

1

x

x

36 3 x2 3x 2 3 x 1 3 x 2 1

2

 

Ta thấy (x 1)(x 2) x   2 3x 2 nên đặt a  3 x 1;b  3x 2

Dễ thấy 1 = (x + 2) – (x+1)

 



            

3 3

2

3 3

a.b(a b) b a

ab(a b) (a b ) 0 (a b)(a 2ab b ) 0

a b (a b)(a b) 0

37 4 x 1 x 2x 5

x  x   x

Đáp án: x = 2

Điều kiện:

1

x 5 2x 0 x

  







Ta thấy 2x 5 x 1 x 4

    Nên ta đặt

1 x x

 = u, 2x 5

x

 = v (u, v ≥ 0)

(1)  x 1 2x 5 x 1 2x 5 0

2 – u2) – v = 0

 (u – v)(1 + u + v) = 0 Vì 1 + u + b > 0 nên: u = v

(Giải ra nghiệm rùi thay vào điều kiện thấy x = - 2 (loại), x = 2 thỏa mãn

38 x 1   x 3 x24x7 Đáp án: x 3; 

2

HD : PT x 1   x 3 (x3) 2(x 1)



u x 1 0, v   x 3 x 3;



39 2x2 12x 6 2x  1 x 2 Đáp án: 1  

2

 

2 2

 

1

2



40

2

2x 2 3x 2

1 8x 12 2 1

