đề toán thi thử đại học 2015

Tỡm m để hàm số cú cực đại, cực tiểu.. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu.. Tính xác suất sao cho trong đó có ít nhất một học sinh nữ.. ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi

SỞ GD&ĐT THANH HểA

Mụn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề

Cho hàm số: 3 2

y x= −3x +mx 1+ (1)

1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0=

2 Tỡm m để hàm số cú cực đại, cực tiểu Gọi ( )∆ là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu Tỡm giỏ trị lớn nhất của khoảng cỏch từ điểm I 1 11;

2 4

  đến đường thẳng ( )∆ .

Giaỷi phửụng trỡnh : 3cosx− = − −2 3(1 cosx).cot2x

Giải bất phương trỡnh sau: 2log (4 x−3)+log2(x−1)≥3

5 học sinh để lập một tốp ca hát chào mừng ngày 22 tháng 12 Tính xác suất sao cho trong đó

có ít nhất một học sinh nữ

Cho hỡnh chúp S ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cựng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) Biết AC =2 3a , BD=2 a , khoảng cỏch

từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng 3

4

a Tớnh thể tớch khối chúp ABCD S theo a

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giỏc ABC cú đỉnh A(3; -4) Phương trỡnh đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phỏt từ C lần lượt là x+y−1=0

và 3x−y−9=0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh B , Ccủa tam giỏc ABC.

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường trũn (C ) cú phương

trỡnh x2 + y2 +2x−4y−8=0 và đường thẳng (∆) cú phương trỡnh : 2x−3y−1=0 Chứng minh rằng (∆) luụn cắt (C ) tại hai điểm phõn biệt A, B Tỡm toạ độ điểm M trờn đường trũn ( C ) sao cho diện tớch tam giỏc ABM lớn nhất

Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m để hệ sau cú nghiệm thực:

2 2

2

4

5

x x

x





Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

P

=

trong đú a là tham số thực và 5

1

4

a

……… Hết………

( Thớ sinh khụng sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Híng dÉn chÊm m«n to¸n

I

1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x= 3−3x2+1 1,0

* Tập xác định: R

* Sự biến thiên:

+ Giới hạn: ( 3 2 )

xlim y xlim x 3x 1 ,lim yx

+ Bảng biến thiên:

y 3x 6x 3x(x 2), y 0

x 2

=



Bảng biến thiên:

x −∞ 0 2 +∞

y′ + 0 - 0 +

y 1 +∞

∞

− -3 0,25

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0) và (2;+∞)

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0; 2

+ Hàm số đạt cực đại tại x 0, y= CÐ =y(0) 1=

đạt cực tiểu tại x 2, y= CT =y(2)= −3 0,25

* Đồ thị:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1), cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

Ta có y′′=6x 6; y− ′′= ⇔ =0 x 1

y′′ đổi dấu khi x qua x = 1.

Đồ thị nhận điểm uốn I (1;-1) làm tâm đối xứng

f(x)=x^3-3x^2+1

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x

y

0,25

2 Tìm m để hàm số có cực đại,cực tiểu 1,0

Ta có y′ =3x2 −6x m+

2

Hàm số cú cực đại, cực tiểu khi phương trỡnh y′ =0 cú hai nghiệm phõn biệt

Tức là cần cú: ∆ = −′ 9 3m 0> ⇔ <m 3 0,25 Chia đa thức y cho y′, ta được: y y x 1 2m 2 x m 1

′

Giả sử hàm số cú cực đại, cực tiểu tại cỏc điểm (x ; y , x ; y 1 1) ( 2 2)

Vỡ y (x ) 0; y (x ) 0′ 1 = ′ 2 = nờn phương trỡnh đường thẳng ( )∆ qua hai điểm cực đại, cực tiểu

là: y 2m 2 x m 1

  hay y m(2x 1) 2x 1

3

0,25

Ta thấy đường thẳng ( )∆ luụn đi qua điểm cố định A 1;2

2

  Hệ số gúc của đường thẳng IA là k 3

4

= Kẻ IH⊥ ∆( ) ta thấy d I;( ) IH IA 5

4

Đẳng thức xảy ra khi IA ( ) 2m 2 1 4 m 1

Vậy max d I;( ) 5

4

∆ = khi m 1=

0,25

Cõu 2 Giaỷi phửụng trỡnh : 3cosx− = − −2 3(1 cosx).cot2 x +ĐK : x≠mπ

x

x x

2 sin

cos ) cos 1 ( 3 2 2 cos

−

−

−

=

−

x

x x

2 cos 1

cos ) cos 1 ( 3 2 2 cos 3

0 2 cos cos

6 cos 1

cos 3 2 cos

+

−

=

−

x

x x













+

−

±

=

+

±

=

⇔













−

=

=

⇔

π

π π

2 ) 3

2 arccos(

2 3 3

2 cos

2

1 cos

k x

k x

x

x

(Thỏa cỏc ĐK)

Cõu 3

Giải bất phương trỡnh sau: 2log (4 x−3)+log2(x−1)≥3

Đk: x > 3

0.25

Khi đú phương trỡnh tương đương log2(x-3)(x-1) ≥ 3

Câu 4 Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra 5

học sinh để lập một tốp ca hát chào mừng ngày 22 tháng 12 Tính xác suất sao cho trong đó có ít nhất một học sinh nữ

Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong 35 học sinh của lớp có 5

35

Gọi A là biến cố: ‘‘ Chọn đợc 5 học sinh trong đó có ít nhất một em nữ’’

Suy ra A là biến cố: “Chọn đợc 5 học sinh trong đó không có hs nữ nào”

Ta có số kết quả thuận lợi cho A là 5

20

C

0,25

( ) 5

20 5 35

C

P A

C

20 5 35

2273

2387

C

P A P A

C

(1 đ) Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cựng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) nờn giao tuyến SO vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD).

VSABCD =

3

1

SO.S ABCD

Diện tớch đỏy 2 3 2

1

1

a BD

AC

S ABCD = =

-.Ta cú tam giỏc ABO vuụng tại O và AO = a 3; BO = a , do đú ABD=600

⇒ tam giỏc ABD đều

Do tam giỏc ABD đều nờn với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta cú

DH ⊥ AB và DH = a 3; OK // DH và 1 3

a

OK = DH = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥

(SOK)

Gọi I là hỡnh chiếu của O lờn SK ta cú OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là

khoảng cỏch từ O đến mặt phẳng (SAB)

Tam giỏc SOK vuụng tại O, OI là đường cao ⇒ 2 2 2

2

a SO

OI =OK +SO ⇒ = Đường cao của hỡnh chúp

2

a

SO=

Thể tớch khối chúp S.ABCD:

3

.

a

V = S SO =

0,25 đ

0,5 đ

0,25 đ

C6 1 (1 điểm)

Gọi C = (c; 3c - 9) và M là trung điểm của BC ⇒ M(m; 1-m)

Suy ra: B= (2m-c; 11 -2m- 3c)

-Gọi I là trung điểm của AB, ta cú I(

2

3

2m−c+

; 2

3 2

7− m− c

)

Vỡ I nằm trờn đường thẳng 3x - y - 9 = 0 nên ) 9 0

2

3 2 7 ( ) 2

3 2

(

3 m−c+ − − m− c − =

⇒ m = 2 ⇒ M(2; -1)

Phơng trình BC: x – y - 3=0

-Tọa độ của C là nghiệm của hệ:







=

−

−

=

−

−

0 3

0 9 3

y x

y x

⇔







=

= 0

3

y x

Tọa độ của C = (3; 0), toạ độ B(1; -2)

0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

2 (1 điểm)

Đường trũn (C) cú tõm I(-1; 2), bỏn kớnh R = 13

Khoảng cỏch từ I đến đường thẳng (∆) là

13

9 ) , (I∆ =

d < R

Vậy đường thẳng (∆) cắt (C) tại hai điểm A, B phõn biệt

-Gọi M là điểm nằm trờn (C), ta cú ( , )

2

1

∆

∆ABM = AB d M S

Trong đú AB khụng đổi nờn S∆ABM lớn nhất khi d(M,∆) lớn nhất.

0,25 đ

0,25 đ

S

A

B K

H C

O

I D

3

a

a

-Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với (∆)

PT đường thẳng d là 3x + 2y - 1 = 0

Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn (C) Toạ độ P, Q là nghiệm

của hệ phương trình:







=

− +

=

−

− + +

0 1 2 3

0 8 4 2 2 2

y x

y x y x

⇔ x x==1−,3y,=y=−15

⇒ P(1; -1); Q(-3; 5)

Ta có

13

4 ) , (P∆ =

13

22 ) , (Q∆ =

d

-Ta thấy d(M, ∆ ) lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với Q Vậy tọa độ điểm M (-3; 5).

0,25 đ

0,25 đ

* Giải BPT:

2 2

2

4

5 (1)

x x

x

2 2

2

1

5 2

x

x

x



 +



1

0 8 0 16 0 16 32 16 0

' 64(x 2) 16(x 8x 16) 0 16 (x x 2)(x 2x 8) 0 0 x 2

Như vậy nếu (2) có nghiệm thì nghiệm lớn nhất là 2 và nghiệm nhỏ nhất là 0

1

Do đó hệ (1), (2) có nghiệm khi PT (2) có nghiệm x=2.

0,5

2

x∈ π A= x B= x

3 3sin cos 2sin cos

2

2 6 3sin 3cos 6 2sin 2 cos 4

P

−

0, 5

2sin 2 cos 4

x x

f x

−

=

π

∈  .

6 4sin 8cos

(2sin 2cos 4)

f x

π

∈  .

1

Suy ra hàm f(x) đồng biến trên đoạn 0;

2

x  π

min ( ) (0) ; m ax ( )

π

 

6

4

3

0,5

Chú ý: Có thể xét trực tiếp hàm số theo biến a: ( ) 5 4 1

f a

=

5 1

4

a

− ≤ ≤

4

− 

kết quả như trên

HẾT