MỘT SỐ ĐỀ THI VỀ TỔ HỢP Bài 1: (IMO_1987)
Gọi p k là số các hoán vị của tập n( ) (1,2, , n có đúng k điểm cố định )
Chứng minh : ( )
0
n n k
=
=
Giải:
Ta để ý rằng: nC n k−−11 =kC n k, ( ) k ( )0
n n n k
p k =C p − và ( )
0
!
n n k
=
=
1
1
0
n
n
k
=
Bài 2: (IMO_1989)
Cho n là một số nguyên dương, một hoán vị {x x1, , ,2 x2n} của tập hợp {1, 2, , 2n được gọi là } có tính chất P nếu ∃ ∈i {1, 2, , 2n−1 :} x i −x i+1 =n Chứng minh với mỗi n thì số các hoán vị có
tính chất P lớn hớn số các hoán vị không có tính chất đó
Hướng dẫn:
Ta chia các số 1, 2, …,2n thành từng cặp như sau: (1, n +1), (2, n + 2), …, (n, 2n).
Gọi A, B lần lượt là tập hợp các hoán vị không có tính chất P và có tính chất P.
Ta xây dựng một ánh xạ :f A→B là đơn ánh và không toàn ánh Từ đó suy ra : A < B Giả sử {x x1, , ,2 x k−1, ,x x k k+1, ,x2n}∈A là một hoán vị bất kì không có tính chất P và x là số k
thuộc cùng một cặp với x , khi đó 2n k ≤2n−2
Ta định nghĩa f ( {x x1, , ,2 x k−1, ,x x k k+1, ,x2n} ) ={x x1, , ,2 x k−1, ,x x k 2n,x2n−1, ,x k+1}∈B
Kiểm tra :f A→B là đơn ánh và không toàn ánh
Bài 3: Tính tổng : 3 3
0
n
k n k
C
=
∑
Giải:
Xét đa thức ( ) ( )
0
n i
=
Gọi ε là căn nguyên thủy bậc 3 của đơn vị, tức là ε2 + + =ε 1 0
Khi đó ta có: 2 1 0 ' 3
nêu k
M
M
n n
Ta có, P( ) (1 = +1 1)n =2n
= + − + ÷÷÷÷ = + ÷÷ = +
= + − − ÷÷÷÷ = − ÷÷ = −
Trang 2Do đó, 3 3
0
2 2cos
3 3
k
n
k
n C
π
=
+
=
∑
Bài 4: Tìm số tất cả các số có n chữ số lập từ các số 3, 4, 5, 6 và chia hết cho 3
Giải:
Gọi Cn là số tất cả các số có n chữ số lập từ các số 3, 4, 5, 6 và chia hết cho 3.
Gọi ε là căn nguyên thủy bậc 3 của đơn vị, tức là ε2 + + =ε 1 0
Khi đó ta có: 2 1 0 ' 3
nêu k
M
M Xét đa thức P x( ) =(x3 +x4 +x5 +x6)n. Dễ thấy Cn chính bằng tổng các hệ số của các số mũ chia hết cho 3 trong khai triển của P(x).
Nói cách khác, nếu ( ) 6
0
n k k k
=
=∑ thì
2 3 0
n
k
=
3
Mà, P( )1 =4 ,n P( )ε =P( )ε2 =1
Do đó,
2
3 0
3
n n
k
=
+
Bài 5: Tính tổng ( )
0
cos
n k n k
=
Giải:
Đặt S = ( )
0
cos
n
k
n
k
=
0
sin
n k n k
=
n
Do đó, 2cos cos
n
Bài 6: (VMO_1996)
Cho các số nguyên dương k và n với k≤n Hỏi có tất cả bao nhiêu chỉnh hợp chập k
(a a1, , ,2 a của n số nguyên dương đầu tiên, mà mỗi chỉnh hợp k) (a a1, , ,2 a thỏa mãn ít nhất k) một trong 2 điều kiện sau:
i) ∃ ∈t {1, 2, ,k}: nếu s t> thì a s >a t.
ii) ∃ ∈s {1, 2, ,k} :a s −sM /2
Bài 7: (VMO_2009)
Cho số nguyên dương n Kí hiệu T là tập hợp 2n số nguyên dương đầu tiên Hỏi có bao nhiêu tập con S của T có tính chất: trong S không tồn tại các phần tử , a b mà a b− ∈{ }1,n
(Lưu ý tập rỗng được coi là tập có tính chất trên)