Toán tổ hợp nâng cao Chuyên Tiền Giang

p n k 1, 2, , n k

C ứ :  

0 ! n n k k p k n   

: 1

1 k k n n nC  kC , p n k C p n k n k  0  

0 ! n n k p k n        1   1   1   1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n n k k k k n n n k n n k n n k n n k k k k k k k p k k C p n C p n C p n C p                              1 1 0 1 ! ! n n k n p k n n n        

C x x1, 2, ,x2n 1, 2, , 2n

 i 1, 2, , 2n1 : x i x i1 n C ứ n

n : n +1), (2, n + ) n, 2n) A, B

f :AB y ra : A  B x x1, 2, ,x k1,x x k, k1, ,x2nA x k

x 2n k 2n2 f  x x1, 2, ,x k1,x x k, k1, ,x2n x x1, 2, ,x k1,x x k, 2n,x2n1, ,x k1B f :AB

:

3 3 0 n k n k C      

ứ     0 1 n n i i n i P x x C x      l ứ 2    1 0 : 2 0 ' 3 1 3 ' 3 k k nê u k nêu k                3

n n

 

 

      

P  1  1 1n 2n

         

         

3

3

0

2 2 cos

3 3

k

n

k

n C



 

 









n

C n n

 ứ 2

1 0

   

1

nêu k

     

n

P x  x x x x C n

P(x)

  6

0

n k k k



2 3 0

n

k





3

k k

      

P  P  P  

0

3

n n

k





 

0

cos

n k n k



0

cos

n

k

n

k



0

sin

n k n k



n

n

  

6: (VMO_1996)

C k n k n k a a1, 2, ,a k

n a a1, 2, ,a k :

i)  t 1, 2, ,k: st a s a t

ii)  s 1, 2, ,k:a s s2

7: (VMO_2009)

C n n con : a b, a b  1,n

)

ứ

: c t f(n)

ứ f(n), f(n – ) f(n)

(VMO 1977) n ứ

P(n) n

ứ n + n n ứ n +

n n

P(n + 1) = P(n) + 2n  P(n) = P(n – 1) + 2(n – ) = = P( ) + [ + + + n – 1)] = 2 + (n – 1)n C n a a1, 2, ,a n 1, 2, , n

i1, 2, ,n1 a i > a i + 1

S n

 a a1, 2, ,a n a i n, 1   i n 1: T i – n – 1, 2, ,n1 ứ a a1, 2, ,a i1, n – i ứ a i1,a i2, ,a n

a a1, 2, ,a n a i n, 1   i n 1 1

1 i n C  ứ a a1, 2, ,a n a n = n S n1 a a1, 2, ,a n a n = n T f T: S n1 :

a a1, 2, ,a n1,n a a1, 2, ,a n1 f

1 1 1  1 2 2   1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 n i n n n n n n n i S S C S S n                       =  1 2 2   1 2n 2n   2  n2 2n  n 1 C n, S n 1, 2, ,n jS n

: n n p S S p j  j f n( ) S n S n g(n) S n S n

a) C ứ : g n( )nf n 1 ,  n 2 b) C ứ : f n   n1 f n 2 f n 1 ,  n 3 c) C ứ : f n     g n  1 n S n S n 1, 2, , n :

a) p S: n S n j C n jS n f(n –

) : S n \ j S n\ j

  ( ) 1 , 2 g n nf n  n b) r S: n S n

r(1) = j j  n – n j ) :

 TH1: r j 1 T r ứ T  f n 2 S S n \ 1, j S n \ 1, j :

 2 S  f n : ST :

sS s, :S n \ 1, j S n \ 1, j , ( )s r S: n S n :

          1 1 , 1, r j r j r i s i i j            T  S  f n 2  TH2: r j 1 Y r ứ Y  f n 2 X S n \ 1 S n \ 1  :

 1 X  f n : X Y :

sX s, :S n \ 1 S n \ 1 , ( )s r S: n S n x :

            1 1, ' , ' r j r i nê u s i j r i s i nê u s i j           r j   s j  j)  Y  X  f n 1 f n   n1 f n 2 f n 1 ,  n 3 c) ) ) :

 1  1    1  1    1       f n g n n f n  f n  n f n nf n  f n g n  f n f(1) – g(1) = 0 – 1 = –1, f(2) – g(2) = 1 – 0 = 1 : f n     g n  1 n II

1 n ứ

2 C n S 1, 2, ,n ) S

ứ

3 C n S1, 2, ,n S

ứ

4 C n S1, 2, ,n S ứ

5 C n (n )

m (m )

6

ứ

7 p n k 1, 2, , n k C ứ :

 

0

n

n

k





) C f : A  B

a) f

1, 2 , ( )1 ( 2) 1 2 1, 2 , 1 2 ( )1 ( 2)

b) f     b B, a A f a: ( )b

c) f f     b B, !a A f a: ( )b

2) Cho A, B :

) f : A  B |A||B|

) f : A  B |A||B|

) f : A  B |A||B|

3*) Cho A, B :

) f : A  B f

) f : A  B f nh

) C ứ :

1

n

i i j n i j k n

i

       



N N 99

N

T N f : T  T :

:

f



b i  9 a i, i 1, 2010

 a) :

N = a a1 2 a2010  T :

a i{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8} nên b i   9 a i {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}, i 1, 2010

N 99

2010 ' 9

( ) 9999 999 99

ch sô

f(N)  T f

 b)

N1 x x1 2 x2010,N2  y y1 2 y2010T sao cho f N( 1)a a1 2 a2010, (f N2)b b1 2 b2010

f N  f N

a i b i, i 1, 2010 9 x i  9 y i x i  y i, i 1, 2010N1 N2

 c) ) ứ )

N b b1 2 b2010T C Pa a1 2 a2010 a i  9 b i

C ứ ) P  T f(P) = N

f

:

  2010 ' 9 ( ) 9999 999,

( ) ch sô N N N f N N N f N vì f là song ánh              T T T    2010 ' 9 2 ( ) 9999 999

N N ch sô N N f N        T T T N :

2010 2010 ' 9 9999 999

10 1 2 2 ch sô N N      T T C A = {1, n A



) C A D A

n

a) f : C  D b) A C 2n n

X Y A C : X  Y n f :C D :

M (X M)( \Y M)  :

 M  C : M X M  Y M (X M)( \Y M)  X M Y M\ (X M)( \Y M)  ) = X M  Y  Y M  Y n (X M)( \Y M)D 

M, N C sao cho f M( ) f N( ) ứ : (X M)( \Y M)(X N)( \Y N) (1) X M X, N Y M Y N\ , \ ) :

        \ \ X M X N X M X N M X M Y M X N Y N N Y M Y N Y M Y N                            

N  D M X N  Y N\  M : X N M : Y N\  Y  Y N   n Y N  N  Y N  X N M  C f M( )(X M)( \Y M)X N  Y N N f 2n n C   C D

1 N n n ) :

i) N

ii) N

2 – ) C S [ T

S X  T m(X)

X

( )

X T

m X m

T



 

3 C :

C ứ

4 C n r r < n – r + 1 Cho X

n a X r

ứ

n r

C  

5 m n n

:

a)

b) m

ĐS a) C n m m 11 b) C n m11