THIẾT LẬP HỆ THỨC TRUY HỒI ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP
Một trong những phương pháp có hiệu quả để giải bài toán tổ hợp là thiết lập hệ thức truy hồi Nội dung cơ bản
của phương pháp này là: thay vì ta đếm trực tiếp f(n) theo yêu cầu bài toán, ta sẽ thiết lập hệ thức quan hệ giữa f(n), f(n – 1),…để từ đó tính được f(n).
I Các ví dụ:
Ví dụ 1: (VMO 1977) n đường tròn chia mặt phẳng ra làm bao nhiêu phần nếu bất cứ 2 đường tròn nào cũng cắt
nhau tại 2 điểm phân biệt và không có 3 đường tròn nào có điểm chung?
Giải:
Gọi P(n) là số phần của mặt phẳng do n đường tròn phân chia.
Đường tròn thứ n + 1 giao với n đường tròn còn lại tại 2n điểm phân biệt Đường tròn thứ n + 1 bị chia thành 2n cung, mỗi cung chia phần mặt phẳng mà cung đó đi qua làm đôi, do đó có thêm 2n phần nữa.
Do đó, P(n + 1) = P(n) + 2n
P(n) = P(n – 1) + 2(n – 1) = …= P(1) + 2[1 + 2 + …+ (n – 1)] = 2 + (n – 1)n
Ví dụ 2: Cho số nguyên dương n > 1 Hãy tìm số các hoán vị (a a1, , ,2 a của n) (1,2, , n sao cho tồn tại duy nhất )
một chỉ số i∈(1,2, ,n−1) thỏa mãn a i > a i + 1.
Giải:
Gọi S n là tập tất cả các hoán vị thỏa mãn điều kiện đề bài
• Ta đếm số các hoán vị (a a1, , ,2 a với n) a i =n, 1( ≤ ≤ −i n 1):
Ta chọn i – 1 số trong n – 1 số (1, 2, ,n−1)sắp theo thứ tự tăng dần vào các vị trí (a a1, , ,2 a i−1), n – i số còn lại
sắp theo thứ tự tăng dần vào các vị trí (a i+1,a i+2, ,a n) để được một hoán vị thỏa đề bài Như vậy số các hoán vị (a a1, , ,2 a với n) a i =n, 1( ≤ ≤ −i n 1) là C n i−−11
• Ta chứng minh số các hoán vị (a a1, , ,2 a với a n) n = n là S n−1 .
Thật vậy, giả sử tập tất cả các hoán vị (a a1, , ,2 a với a n) n = n là T
Ta xây dựng một song ánh f T: →S n−1 như sau :
(a a1, , ,2 a n−1,n) (a a a1, , ,2 a n−1)
Việc kiểm tra f là song ánh là đơn giản!
1
n
i
=
= 1+(2n− 1+2n− 2+ + 22)− − =(n 2) 2n − −n 1
Ví dụ 3: Cho số nguyên dương n, S n =(1,2, ,n) Phần tử j S∈ ngọi là điểm bất động của song ánh :p S n →S nnếu
( )
p j = j Gọi ( )f n là số các song ánh từ S n →S n không có điểm bất động và g(n) là số các song ánh từ S n →S n
có đúng một điểm bất động
a) Chứng minh : g n( )=nf n( −1 ,) ∀ ≥n 2
b) Chứng minh : f n( ) (= −n 1) (f n− +2) f n( −1 ,) ∀ ≥n 3.
c) Chứng minh : f n( ) ( ) ( )−g n = −1 n
Lưu ý: số các song ánh từ S n →S n bằng số các hoán vị của (1,2, , n )
Giải :
a) Gọi :p S n →S n là song ánh có đúng một điểm bất động j Có n cách chọn j S∈ n và có f(n – 1) cách lập các
song ánh : S n\{ }j →S n \{ }j mà không có điểm bất động Do đó, g n( )=nf n( −1 ,) ∀ ≥n 2
Trang 2b) Gọi :r S n →S nlà song ánh không có điểm bất động.
Giả sử r(1) = j, với j 1 (có n – 1 cách chọn j như thế) Ta xét 2 trường hợp sau:
• TH1: r j( ) =1
Gọi T là tập tất cả các song ánh r như thế Ta chứng minh T = f n( −2)
Gọi S là tập tất cả các song ánh từ S n \ 1,{ }j →S n \ 1,{ }j mà không có điểm bất động, ta có: S = f n( −2)
Ta xây dựng song ánh : Sϕ →T như sau:
Với mỗi s S s∈ , :S n \ 1,{ }j →S n \ 1,{ }j , ( )ϕ s =r S: n →S n xác định bởi:
( )
( )
1
1
r j
=
Dễ dàng kiểm tra là song ánh, từ đó T = S = f n( −2)
• TH2: r j( ) ≠1.
Gọi Y là tập tất cả các song ánh r như thế Ta chứng minh Y = f n( −2)
Gọi X là tập tất cả các song ánh từ S n \ 1{ } →S n \ 1{ } mà không có điểm bất động, ta có: X = f n( −1)
Ta xây dựng song ánh : Xϕ →Y như sau:
Với mỗi s X s∈ , :S n \ 1{ } →S n\ 1{ }, ( )ϕ s =r S: n →S n xác định bởi:
( )
1
, '
r i s i nêu s i j
( dễ thấy r j( ) ( )=s j ≠ j)
Dễ dàng kiểm tra là song ánh, từ đó Y = X = f n( −1)
Vậy f n( ) (= −n 1) (f n− +2) f n( −1 ,) ∀ ≥n 3
c) Từ a) và b) ta có: f n( + −1) (g n+ =1) n f n ( ) + f n( −1) (− +n 1) ( )f n =nf n( − −1) f n( ) =g n( )− f n( )
Dễ thấy, f(1) – g(1) = 0 – 1 = –1, f(2) – g(2) = 1 – 0 = 1.
Do đó, bằng qui nạp ta có: f n( ) ( ) ( )−g n = −1 n
II Bài tập
1 n đường thẳng chia mặt phẳng ra làm bao nhiêu phần nếu bất cứ 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau và không
có 3 đường thẳng nào đồng qui ?
2 Cho số nguyên dương n và S=(1,2, ,n) Tìm số các tập con (kể cả tập rỗng) của S mà không chứa 2 số
nguyên liên tiếp
3 Cho số nguyên dương n và S=(1,2, ,n) Tìm số các tập con của S mà trong mỗi tập con chứa ít nhất 2
phần tử là 2 số nguyên liên tiếp
4 Cho số nguyên dương n và S=(1,2, ,n) Tìm số các tập con của S mà chứa đúng 2 số nguyên liên tiếp.
5 Có n (n > 1) thí sinh ngồi xung quanh một bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách phát đề sao cho 2 thí sinh ngồi
cạnh nhau luôn có đề khác nhau, biết rằng trong ngân hàng đề có đúng m (m > 1) mã đề và hiển nhiên mỗi
mã đề có nhiều bản?
6 Bạn A viết 6 lá thư cho 6 người khác nhau và đã chuẩn bị sẵn 6 phong bì ghi sẵn địa chỉ của họ Hỏi có bao
nhiêu cách bỏ thư vào phong bì sao cho không có một bức thư nào gửi đúng đến người có địa chỉ được ghi trên phong bì?
7 Gọi p k là số các hoán vị của tập n( ) (1,2, , n có đúng k điểm cố định Chứng minh : ) ( )
0
n n k
k p k n
=
=