SKKN Toán - Lê Hồng Sang

Lý do chọn đề tài:Dạng toán “giải bằng cách lập phơng trình”xuất hiện ở lớp 8,9bậc THCS là một dạng toán tơng đối khó đối với học sinh .Do đặc trng của loại này thờng là loại toán có đề

A Lý do chọn đề tài:

Dạng toán “giải bằng cách lập phơng trình”xuất hiện ở lớp 8,9bậc THCS là một dạng toán tơng đối khó đối với học sinh Do đặc trng của loại này thờng là loại toán có

đề bài bằng lời văn và đợc xen trộn bằng nhiều dạng ngôn ngữ

Hầu hết các bài toán có các dữ kiện ràng buộc nhau,ẩn ý dới dạng lời văn,buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm đợc mối liên quan giữa các đại lợng dãn đến việc lập phơng trình và hệ phơng trình

Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán gắn liền với nội dung thực tế Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thờng là những số liệu liên quan đến thực tế Do đó khi giải bài toán học sinh thờng mắc sai làm là thoát ly thực tế ,từ những lý do đó

mà học sinh ngại làm loại toán này Mặt khác ,cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực ,trình độ của giáo viên mới chỉ dạy dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ trên tinh thần của SGK mà cha biết phân loại toán ,chua khái quát đợc cách giải cho mỗi dạng ,kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số ,mối liên hệ giữa các giữ liệu trong bài toán ,dẫn đến lúng túng trong việc giảI loại toán này

Chính vì vậy, muốn giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình thì

điều quan trọng là phải biết diển đạt những mối liên hệ cho trong bài toán thành những quan hệ toán học Do vậy nhiệm vụ của ngời thầy giáo không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là ngời thầy phảI dạy cho học sinh cách giải bài tập Do đó khi hớng dẫn cho học sinh giảI bài toán dựa vào quá trình biến thin của các đại lợng (tăng, giảm, thêm, bớt …)làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lợng dẫn đến lập đợc

ph-ơng trình dẽ dàng Đây là bớc quan trọng và khó đối với học sinh

Trong quá trình giảng dạy và học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp ,tôI mạnh dạn viết đề tài này tôi mong đợc trao đổi kinh nghiệm và đóng góp một phần trong quá trình giảng dạy về dạng toán : giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình

B Nội dung đề tài

I Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán

1 ph ơng pháp nghiên cứu

Bớc 1: Lập phơng trình

- Chọn ẩn số (chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn)

- Dùng ẩn số và các số đã biết ,đả cho trong bài toán để biểu thị số liệu khác nhau

có liên quan ,diễn giải các bộ phận hình thành phơng trinh hoạc hệ phơng trình Bớc 2: giải phơng trình hoặc hệ phơng trình

Bớc 3 : Nhận định kết quả,thử lại và trả lời

- Chú ý Sosánh với điều kiện đặt ra cho ẩn có thoả mãn không?

2 Yêu cầu về giải một bài toán :

- Yêu cầu 1 : Lời giải không có sai sót ,sai lầm

Muốn cho học sinh đạt đợc yêu cầu này giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không sai sót về kiến thức ,phơng pháp suy luận ,kỹ năng tính

toán ,ký hiệu, đặt điều kiện cho ẩn số và chú ý đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn

ví dụ 1: Tỷ số giữa tuổi anh và tuổi em là 0.5 Sau 3 năm nũa tỉ số sẻ tăng thêm 0.1.Hỏi

tuổi anh và tuổi em hiện nay?

Lời giải:

Nếu gọi tuổi em là x (x > 0, x∈N)thì tuổi anh là 2x

Theo bài ra ta có phơng trình :

3 2

3

+

+

x

x = 0.5+0.1 = 0.6 ⇔x = 6 (thoả mản điều kiện đã đặt )

Vậy tuổi em hiện nay là 6 ,tuổi anh là 12

-Yêu cầu 2:Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác GV phải làm cho học

sinh hiểu đâu là ẩn số ?đâu là dữ kiện ?đâu là điều kiện ? điều kiện có đủ để xác định

đ-ợc ẩn không từ đó xác định đđ-ợc hớng đi ,cách giải một cách chặt chễ,logic

Ví dụ 2: Hai cạnh của một khu ất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m Tính chu vi của khu

đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1200 m2

Lời giải

HD : ở đây bài toán hỏi chu vi hình chữ nhật ,học sinh thờng có xu thế hỏi gì thì gọi đó

là ẩn số Nếu gọi chu vi hình chữ nhật là ẩn số thì bài toán di vào bế tắc khó có lời giải Giáo viên cần hớng dẫn cho học sinhphát triển sâu trong kha năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề.Muốn tính chu vi hình chữ nhật cần gì? ⇒Cạnh hình chữ nhật

Từ đó gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (x >0) thì chiều dài hình chữ nhật là x+4 Từ đó ta có phơng trình : x( x+4 )=1200

⇔x1 = 30 và x2 = -34 (loại )

Giáo viên giúp học sinh từ điều kiện x > 0 để loại nghiệm x2 chỉ lấy x1= 30

Vậy chiều rộng hình chữ nhật là 30(m), chiều dài hình chữ nhật là 30+4 =(34m)

Suy ra chu vi hình chữ nhật là 2(30+34 ) =128 (m)

-Yêu cầu 3: Lời giải phải đầy đủ ,mang tính toàn diện

Giáo viên phải hớng dẫn học sinh không bỏ sót khả năng chi tiết nào ,không thừa nhng cũng không thiếu Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại đã đầy đủ cha ? kết quả đã phù hợp cha

ví dụ 3 : một tam giác có chiều cao bằng3/4 cạnh đáy nếu chiều cao tăng thêm 3dm và

cạnh đáy giảm di 2dm thì dện tích của nó tăng thêm 12dm tính chiều cao và cạnh đáy

Lời giải:

L u ý :Dù có thay đổi chiều cao ,cạnh đáy của tam giác thì diện tích S của tam giác luôn

tính thêo công thức S = 1/2chiều cao cạnh đáy

Từ đó gọi chiều dài cạnh đáy lúc đầu là x (x>0)(dm)

Thì chiều cao sẽ là 3/4x(lúc đầu )

⇒S tam giác lúc đầu là 1/2x.3/4x

⇒S tam giác lúc sau là 1/2(x-2)(3/4x+3)

Theo bài ra ta có phơng trình :1/2(x-2)(3/4x+3)

⇔x = 20 dm thoảmãn điều kiện

Suy ra chiều cao tam giác là 3/4.20 =15 dm

-Yêu cầu 4 :Lời giải phải trình bày khoa học Các bớcgiải phải logic, chặt chẽ với nhau ,các bớc sau phải suy ra từ những bớc trớc nó ,đã đợc kiểm nghiệm ,chứng minh là

đúng hoặc những điều đã biết trớc

ví dụ 4:Chiều cao của một tam giác vuông là 9.6 mvà chia cạnh huyền thành hai đoạn

hơn kém nhau 5.6m Tính độ dài cạnh huyền của tam giác

Lời giải :

Tìm BC bết AH

Trớc khi giải ta cần kiểm tra kiến thức học sinh để cũng cố công thức :

b,.c, = h2

⇔AH2 = BH HC (1)

Gọi BH có độ dài là x (x>0) ⇒ HC có độ dài là x+5.6

Theo công thức (1) ta có phơng trình : x(x+5.6) = 9.62

⇔x = 7.2

⇒ BC = BH + HC =7.2+(7.2+5.6)

⇒BC = 20 (m)

-Yêu cầu 5:Lời giải bài toán phải đầy đủ rõ ràng.Các bớc lập luận phải không chồng chéo nhau ,phủ định lẫn nhau Khi giải xong nên thử lại để tránh bỏ sót nghiệm nhất là

đối với phơng trình bậc hai và hệ phơng trình

Ví dụ 5 :Độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông là 25 ,còn tổng độ dài hai cạnh

góc vuông là 35 Tìm độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác

HD : Gọi các cạnh góc vuông của tam giác là x,y (x,y > 0)

Ta có hệ phơng trình x+y =35 (1)

x2 +y2 =252 = 625 (2)

Rút y từ phơng trình (1) thay vào pt (2) ta có phơng trình x2 -35x + 330 =0

⇔ x1 = 20 ,x2 = 15

Đến đây học sinh thờng hoang mang không biết lấy kết quả nào ?

Giáo viên cần xây dựng cho hoc sinh có thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài

Yêu cầu 6: Lời giải bài toán phải đơn giản

Ví dụ 6: Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Ba mơi sáu con

Một trăm chân chẵn

Hỏi có mấy gà mấy chó?

Lời giải :

Gọi số gà là x(x>0, x ∈ N ) thì số chó là 36 –x

Gà có 2 chân ⇒ Số chân gà là 2x chân

Chó có 4 chân ⇒ Số chân chó là 4(36 – x ) chân

Theo bài ra ta có phơng trình :2x + 4(36 -x) = 100

⇒ x = 22 Vậy gà có 22 con ,chó có 36 – 22 = 14 con

Với cách giải trên thì bài toán trở nên ngắn gọn dễ hiểu Nhng nếu học sinh giải theo cách đặt 2 ẩn x, y Hoặc gọi số chân gà là x ⇒ Số chân chó là 100 –x thì ta có phơng

trình :

2

x +

4

100 x− = 36

Kết quả vẫn 22 gà ,14 chó nhng đã vô tình biến lời giải khó hiểu và không phù hợp với trình độ hóc sinh

II Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình

1 Các giai đoạn giải một bài toán

Để đảm bảo 6 yêu cầu về giải moọt bài toán và 3 bớc trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trình nh phần môt đã trình bày thì giải một bài toán có thể chia thành 7 giai đoạn cụ thể là :

*Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài ,phân tích hết giả thiết ,kết luận của bài toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những gì?cần tìm những gì?(có thể mô tả bằng hình vẽ đợc không?)

*Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phơng trình Tức là chọn ẩn số thế nào cho phù hợp ,điều kiện của ẩn thế nào cho thoả mãn

*Giai đoạn 3 :Lập phơng trình ,dựa vào các quan hệ giũa ẩn số và các đại lợng đã

biết ,đa vào các công thức ,tính chất để xây dựng phơng trình ở dạng đã biết ,đã giải đ-ợc

*Giai đoạn 4 : Giải phơng trình (bớc 2).Vận dụng các kỹ năng giải phơng trình đã biết

để tìm nghiệm của phơng trình

*Giai đoạn 5 : Nghiên cứu nghiệm của phơng trình để xác định lời giải của bài toán ,với thực tiễn xem cóphù hợp không?

*Giai đoạn 6 :Trả lời bài toán ,kết luận nghêm của bài toán xem có mấy nghiệm sau khi

đã thử lại

*Giai đoạn 7 : Phân tích biện luận cách giải Phần này thờng mở rộng cho học sinh tơng

đối khá ,giỏi Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đổi bài toán đã cho thành bài toán khác

2 ví dụ minh hoạ:

Nh bác Điền thu hoạch đà ợc 480kg cà chua và khoai tây khối lợng khoai gấp 3 lần khối lợng cà chua Tính khối lợng mỗi loại

Hớng dẫn giải :

* Giai đoạn 1:Giả thiết Khoai + Cà chua = 480

Khoai = 3 lần cà chua

* Giai đoạn 2 : Thờng là điều cha biết gọi là ẩn số ,ở số lợng cà chua và số lợng khoai

đều cha biết nên có thể coi một trong hai loại (hoặc cả 2 loại )

Cụ thể : Gọi số lợng khoai là x (x > 0kg) thì khối lợng cà chua là 480 –x (Hoặc số lợng cà chua là y thì x+y=480)

* Giai đoạn 3 : Lập phơng trình

Vì khối lợng khoai bằng 3 lần số lợng cà chua Do đó mối quan hệ sẽ là khoai =3

cà chua.Ta có phơng trình:

x = 3(480 –x ) (*)

Hoặc x = 3y

x +y = 480 (**)

* Giai đoạn 4: Giải phơng trình ( Giải pt hoặc hệ phơng trình vừa lập )

Giải * ta đợc x = 360

Giải ** ta đợc x = 360 ,y = 120 bằng cách thay x = 3y vào x+y =480

* Giai đoạn 5 :Đối chiếu nghiệm đã giải với điều kiện đã ra xem mức độ thoả mãn hay không thoả mãn ở đây x = 360 > 0 nên thoả mãn

Từ đó ⇒số cà chua là 480 -360 = 120 kg

Thử lại : Số khoai :360 kg

Số cà chua :120 kg ⇒ khoai =3 lần cà chua (đúng )

*Giai đoạn 6 : Trả lời và đáp số

Vậy số lợng khoai đã thu là 360 kg

Số lợng cà chua đã thu là 120 kg

Chú ý : có thể từ bài toán này Xây dựng hoặc giải các bài toán tơng tự

Ví dụ :

+Thay lời văn hoặc tình tiết bài toán: giữ nguyên số liệu , ta có bài toán mới “Một phân

số có tổng tử và mẫu số là 480 Biết rằng mẫu gấp 3 lần tử Tìm phân số đó ”

+Thay dữ liệu để nguyên lời văn

+Thay kết luận bằng giả thiết và ngợc lại ta có bài toán “ tuổi cha gấp 3 lần tuổi con , biết rằng tuổi của con là 12 tìm tổng số tuổi của cha và con”

Bằng cách đó có thể Xây dựng cho học sinh có thói quen tập hợp các dạng bài toán tơng

tự và cách giải tơng tự Đến khi gặp bài toán học sinh sẽ nhanh chóng tìm ra cách giải III Những dạng toán và h ớng dẫn học sinh giải

Dạng 1 :Toán chuyển động

Bài 1 :Nhà Lan và Nam cùng nằm trên đờng quốc lộ và ở cách nhau 7m.Nếu Nam và

Lan đi xe đạp cùng lúc và ngợc chiều nhau thì sau 1/4 giờ họ gặp nhau Tính vận tốc của mỗi ngời ?Biết rằng vận tốc của Lan bằng 3/4 vận tốc của Nam

Hớng dẫn học sinh :

Đây là bài toán chuyển động ngợc chiều khi hai ngời gặp nhau tại M tức là hai ngời

đã đi hết quảng đờng AB = 7m.mà vận tốc của Lan bằng 3/4 vận tốc của Nam ,nh vậy

có quan hệ nh thế nào với cả hai ngời trong khi thời gian đi của hai ngời nh nhau ⇒học sinh sẽ hiểu đề bài và tự đặt đợc ẩn số và đặt phơng trình về mối tơng quan giữa ẩn số và một đại lợng khác

Lời giải :

Gọi vận tốc của Nam là x (x > 0,km/h ) thì vận tốc của Lan là 3/4x Nh vậy sau 1/4h Nam đi đợc quảng đờng là 3/4x.Sau 1/4h Lan đi đợc quảng đờng là 3/4x 1/4h cả hai

ng-ời đi đợc quảng đờng AB Vậy ta có phơng trình :

4

1 x +

4

3

4

1 x = 7 (1)

⇔

4

1x+

16

3 x =7

⇔ 7x =7.16

⇔ x = 16

x thoả mãn điều kiện bài toán và phơng trình (1)

Bài toán 2:

Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80km cả đi lẩn về mất 8h20’ Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng Biết rằng vận tốc của dòng nớc là 4km/h

H

ớng dẫn học sinh :

Trong bài nằy cần hớng dẫn học sinh xác định vận tốc thực của tàu thuỷ khi ngợc dòng

và xuôi dòng khác nhau

-Khi tàu xuôi dòng vận tốc của tàu bằng vận tốc thực + vận tốc dòng nớc

-Khi tàu ngợc dòng vận tốc của tàu bằng vận tốc thực – vận tốc dòng nớc

Lời giải :

Gọi vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng là x (x>4,km/h)

Do vậy khi xuôi dòng vận tốc của tàu là x+4, khi ngợc dòng vận tốc của tàu là x – 4 .Thời gian tàu đi từ A đến B xuôi dòng là80/x +4

Thời gian đi từ B đêna A ngợc dòng là 80/x – 4

Thời gian tàu xuôi (đi) và ngợc (về) mất 8h20, = 8

3

1h =

3

25h Vậy ta có phơng trình:

4

80

+

4

80

−

x =

3 25

⇔ 5x2 – 96x -80 = 0

⇔x1 = 20 ,x2 = - 0.8(Loại) Vậy x = 20 thoả mãn đề bài và phơng trình Vậy vận tốc của tàu thuỷ khi yên lặng là 20 km/h

Chú ý : Trong dạng toán chuyển động học sinh cần nhớ và nắm chắc các đại lợng quảng đờng ,vận tốc và thời gian liên quan với công thức S = V.T Do đó khi giải nên chọn một trong 3 đại lợng trên là ẩn số và điều kiện luôn luôn dơng Sau đó áp dụng công thức s = v.t hoặc điều kiện bài toán đĩnây dựng phơng trình hoặc hệ phơng trình

Dạng 2: Bài toán liên quan đến số học.

Bài 1: Mẫu số của một phân số lứn hn tử số là 3 nếu tăng cả tử và mẫu thêm 2 đơn vị

thì đợc phân số

2

1 Tìm phân số đã cho?

H

ớng dẫn học sinh:

-Để tìm một phân số ta cần tìm những thành phần nào?( tử, mẫu)

-Biết tử số ta có tìm đợc mẫu số không?và ngợc lại

-Sau khi tăng cả tử cà mẫu 2 đơn vị ta có phân số nào?

Lời giải:

ở đây nh đã trình bày ở phần trên ,ta thấy rằng các thành phần của tử số và mẫu số của phân số đã cho đều cha biết Nghĩa là tơng đơng nhau về ẩn số Nh vậy ta có thể gọi bất

kỳ tử số hay mẫu số là ản số ngoài ra nếu gọi cả 2 thành phần trên là ản số sẽ dẫn đến cách giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình Nhng ta sẽ chọn cách giải đơn giản nhất Muốn vậy cần đặt ẩn đơn giản nhất Vậy ta nên chọn ảnn là tử số

Thật vậy : Gọi tử số của phân số đã cho là x (x ≠ 0) thì mẫu số của phân số là x+3

Sau khi tăng tử số sẽ là : x + 2

Sau khi tăng mẫu số sẽ là :x + 3 + 2 = x+5

Theo bài ra ta có phơng trình

5

2

+

+

x

x =

2

1 (1) (ĐK x ≠ -5 )

⇒ 2(x+2) = x+5

⇒ x = 1 Thoả mãn điều kiện của bài toán và phơng trình (1)

Vậy phân số đã cho là :

3 1

1

+ = 4 1

Dạng 3 : Dạng toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm)

Ví dụ : Trong 2 tháng đầu 2 tổ sản xuất đợc 400 chỉ tiết máy ,trong tháng sau tổ một

v-ợt mức 10%,tổ 2 vv-ợt mức 15% nên cả 2 tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy

Hớng dẫn học sinh :

- Đã biết năng suất chung trong tháng đầu đợc 400 chi tiết máy Nếu biết một trong 2 tổ

sẽ tính đợc tổ kia(chọn ẩn)

- Giả sử đã biết năng suất của tháng đầu có thể tính đợc tổng chi tiết máy sản xuất trong tháng sau

- Tính năng suất của từng tổtháng sau để xây dợng phát triển

Lời giải :

Gọi x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu (x ∈Z+ , 0 < x <400) Nh vậy

tổ 2 sản xuất đợc 400 – x chi tiết máy

Tháng sau tổ 1 đã làm đợc

100

10 x chi tiết máy

Tổ 2 đã làm đợc (400 – x)

100

15 chi tiết máy

Do đó cả 2 tổ đã vợt 48 chi tiết máy

Thêo bài ra ta có phơng trình

100

10 x + (400 – x)

100

15 = 48

⇔10x +6000 – 15x =4800

⇔5x = 1200

⇔x = 240

Thoả mãn điều kiện đề ra ⇔Vậy tháng đầu tổ 1 sản xuất đợc 240 chi tiết máy ,tổ 2 sản xuất đợc 400-240=160 chi tiết máy

IV.Dạng toán về công việc làm chung ,làm riêng

Bài 1: Hai máy xúc đất, nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ làm xong công việc đợc giao Nếu làm riêng thì máy 1 phải làm lâu hơn máy 2 là 5 ngày.Hỏi mỗi máy làm riêng thì mất bao nhiêu ngày sẽ hoàn thành công việc đã đợc giao

Lời giải:

Gọi x là số ngày mà máy 1 phải làm một mình để hoàn thành công trình(x>5)

Máy 2 làm riêng mất số ngày là x-5

Mỗi ngày máy một làm đợc

x

1công việc ,máy2 làm

5

1

−

x công việc Cả 2 máy trong một ngày đợc

6

1 công việc

Theo bài ra ta có phơng trình

x

1+

5

1

−

6 1

Giải phơng trình * ta có x2 – 17x +30 = 0

⇔x1 = 15, x2 = 2 (loại) Vậy máy một làm riêng mất 15 ngày,máy 2 làm riềng mất 15-5 =10 ngày