SKKN Toán Lê Yên

Bởi lẽ trong mỗi giờ học, tiết dạy giáo viên hướng dẫn tổ chức để học sinh nắm kiến thức, hình thành cho các em có được phương pháp tư duy, phân tích tổng hợp, khả năng suy đoán, khả năn

A- ĐẶT VẤN ĐỀ

I- Lý do chọn đề tài:

Tư duy lôgic có tầm quan trọng trong quá trình học nói chung và học môn Toán nói riêng, là thao tác không thể thiếu của người học toán Trong thực tế giảng dạy tôi nhận thấy đa số học sinh học toán gặp các bài toán khác dạng, bài toán khó là ngại và có phần lo sợ và không giải quyết được Bởi vì các em chưa biết cách phân tích, suy đoán “qui lạ về quen” nói tóm lại là chưa có tư duy lôgic trong khi học toán

Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục không ngừng đổi mới Các nhà trường ngày càng chú trọng đến chất lượng toàn diện Dạy học như thế nào để đạt được kết quả cao nhất? đó là câu hỏi luôn được đặt ra trong tôi trong mỗi tiết dạy học Dạy học phát triển tư duy lôgic cho học sinh thông qua chữa bài tập trong sách giáo khoa qua các tiết luyện tập và ôn tập tạo nền tảng cho học sinh tiếp thu những phương pháp học tập khác mà các em sẽ được học tập sau này Hơn nữa với sự đổi mới cách đánh giá và ra đề thi khảo sát học kỳ, đề thi vào lớp 10 PTTH và thi vào các trường Đại học, cao đẳng trong những năm gần đây thường là kiến thức trong sách giáo khoa và bài tập phát triển cao hơn một chút sẽ tạo điều kiện để học sinh vượt qua các kỳ thi với kết quả cao Giúp các em tự tin vào bản thân hơn và say mê với phương pháp “phát triển tư duy toán học thông qua giải các bài tập trong sách giáo khoa”

“Phát triển tư duy lôgic cho học sinh thông qua chữa bài tập” Luôn là đề tài lý thú đối với tôi Bởi lẽ trong mỗi giờ học, tiết dạy giáo viên hướng dẫn tổ chức để học sinh nắm kiến thức, hình thành cho các em có được phương pháp tư duy, phân tích tổng hợp, khả năng suy đoán, khả năng diễn đạt chính xác trong từng dạng bài tập được học Điều này cũng giúp các em có được phương pháp tự học,

tự bồi dưỡng để nâng cao trình độ cho bản thân

Đối với trường THCS Định Tân tôi đang giảng dạy, học sinh đa số là con em gia đình thuần nông điều kiện kinh tế đang còn khó khăn, gia đình chưa quan

tâm nhiều đến việc học tập của các em Trường cách trung tâm huyện 6 km, còn hạn chế việc tiếp cận thông tin trong đổi mới công tác dạy học Để đạt được kết quả cao trong các kỳ thi khảo sát và kỳ thi vào lớp 10 là khó khăn đối với môn Toán Khó khăn về đối tượng học sinh, về quỹ thời gian, về các điều kiện học tập của học sinh Tôi phải chọn con đường phù hợp để đạt được những điều mong muốn nói trên là: “Phát triển tư duy lôgic cho học sinh thông qua chữa bài tập” Bằng phương pháp này tôi luôn có yêu cầu cao hơn đối với học sinh sau mỗi giờ học Hướng dẫn các em xem xét bài toán nhiều khía cạnh Từ đó tập chế biến bài toán hoặc tổng quát hóa thành bài tập tổng quát hơn, nhằm giúp các

em say mê học toán

Đó chính là lí do tôi chọn đề tài này

II - Mục đích nghiên cứu:

Học sinh không chỉ nhận thức một vấn đề cụ thể ở sách giáo khoa hay trong tài liệu tham khảo, mà chính các em phải học và biết cách khai thác, phát triển tổng quát hóa bài toán ở nhiều khía cạnh Hoặc giáo viên phải đưa ra các tình huống, các vấn đề đặt ra và yêu cầu học sinh phải quyết tâm tìm ra sự liên quan giữa vấn đề đặt ra và các bài tập đã từng làm Từ đó giải các bài toán mới với tinh thần say mê và hứng thú hơn trong quá trình học tập

III - Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài này tôi áp dụng cho học sinh lớp 8 và lớp 9 trường THCS Định Tân - Yên Định - Thanh Hóa Trong quá trình giảng dạyvà hướng dẫn học sinh giải các bài tập hình học trong sách giáo khoa, sách bài tập và sách tham khảo trong chương trình THCS

IV - Giới hạn đề tài:

Để phát triển tư duy lôgic toán học cho học sinh là việc cần phải thực hiện trong suốt quá trình dạy học của giáo viên Trong từng tiết học, trong các công việc hay trong lúc vui chơi giải trí của các em Do bản thân còn hạn chế về kiến thức và thời gian, nên đề tài này tôi xin trích hai dạng toán hình học lớp 8 để phát triển tư duy lôgíc cho học sinh khá giỏi

V- Phương pháp nghiên cứu:

1 Cơ sở lí luận: Áp dụng phương pháp dạy học môn Toán.

2 Cơ sở thực tiễn: Từ bài toán cụ thể trong sách giáo khoa, sách bài tập, sách

tham khảo trong chương trình, giáo viên hướng dẫn các em khai thác bài toán bàng các thao tác tư duy: phân tích, so sánh, tổng hợp để tìm ra cái mới, hoặc tổng quát hóa bài toán để khi gặp một bài toán lấcc em có thể phân tích, so sánh tìm ra mối liên hệ giữa các bài toán đã từng lam, từ đó tìm ra phương pháp giải bài toán

mới

Áp dụng đúng phương pháp dạy học tích cực trong dạy học, người thầy giáo luôn gây được hứng thú học tập cho học sinhtrong các tiết học Luôn đặt ra các tình huống có vấn đềcao hơn đối với học sinh Đối tượng là học sinh khá giỏithì không những bị “say mê” với các bài toán trong sách giáo khoa mà bản thân các

em phải đúc rút được kinh nghiệm tự học tự bồi dưỡngnâng cao trình độ, phấn đấu đạt kết quả cao trong học tập

VI - Khảo sát chất lượng trước khi áp dụng đề tài:

Tổng số

học sinh

B- NỘI DUNG

Từ bài tập sử dụng tỉ số đồng dạng và diện tích của tam giác trong chứng minh, tôi hướng dẫn học sinh cách phân tích tổng hợp, khái quát bài toán

Kiến thức cần được nắm vững và khắc sâu:

1 Một đa giác được chia thành các đa giác thành phần không có điểm trong chung, thì diện tích của đa giác bằng tổng diện tích các đa giác thành phần

2 Hai tam giác đồng dạng, thì tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng

3 Hai tam giác có chung đáy (hai đáy bằng nhau) thì tỉ số diện tích hai tam giác bằng tỉ số hai đường cao tương ứng

4 Hai tam giác có hai đường cao bằng nhau thì tỉ số giữa hai cạnh đáy tương ứng bằng tỉ số diện tích của hai tam giác

Trong đề tài này tôi xét ba loại bài toán khai thác các kiến thức cần khắc sâu trên đây như sau:

1.Bài toán 1: Cho tam giác ABC Từ một điểm D trên cạnh BC, kẻ các đường

thẳng song với các cạnh AC và AB, chúng cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại E và F (như hình vẽ)

Chứng minh rằng: + = 1

AC

AF AB

AE

(Bài tập 5 - tr 66 - sách bài tập toán 8 tập II - NXB giáo dục 2004).

Đây là bài toán áp dụng định lí Talet Việc giải bài toán này không khó lắm đối với học sinh (giáo viên có thể gọi học sinh lên bảng giải)

Lời giải

Xét ∆ABC có DE // AC (gt)

Áp dụng định lí Talét ta có:

( )1

CB

CD AB

AE =

Mặt khác DF // AB (gt)

Áp dụng định lí Talét ta có: ( )2

CB

BD AC

AF

=

Cộng các vế tương ứng của (1) và (2) ta được:

CB

CB CB

BD CD CB

BD CB

CD AC

AF

AB

AE

(đpcm)

Sau khi giải bài toán, vấn đề đặt ra là: có còn cách giải nào khác cách giải trên đây không? Nhiều học sinh đã giải bài toán 1 bằng cách áp dụng tam giác đồng dạng Cách giải đó như sau:

∆BED ∞ ∆BAC, từ đó suy ra:

BC

BD AC

ED

=

Mà AEDF là hình bình hành (có các cặp cạnh đối song song) Nên ED = AF

BC

BD AC

AF

Tương tự: ∆CFD ∞ ∆CAB, nên ta có: (**)

BC

DC AB

AE =

Cộng từng vế của (*)và v (**)ta đượct: + = + = 1

BC

DC BC

BD AB

AE AC

AF

(đpcm)

Để chú ý đến đối tượng học sinh trung bình và yếu kém Tôi yêu cầu học sinh chứng minh bài toán tương tự với vị trí điểm D thuộc cạnh AB Từ D kẻ các đường thẳng song song với các cạnh BC và AC Chúng cắt các cạnh BC và AC

theo thứ tự tại M và N Chứng minh: + = 1

CA

CN CB

CM

Nhận xét: Từ một điểm bất kỳ thuộc một cạnh của tam giác, qua điểm đó kẻ các đường thẳng song song với hai cạnh còn lại của tam giác, thì định ra trên hai cạnh của tam giác các đoạn thẳng tỉ lệ và tổng hai tỉ số đó bằng 1

Khai thác bài toán ở khía cạnh tam giác đồng dạng Nếu điểm D thuộc một trong ba cạnh của tam giác, qua D kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác, thì sẽ tạo thành hai tam giác nhỏ và các tam nhỏ đồng dạng với nhau và cùng đồng dạng với tam giác ABC Vấn đề đặt ra là nếu cho biết diện tích của các tam giác nhỏ là S1 và S2 có tính được diện tích của tam giác ABC không?

Để phát triển tư duy lô gíc cho học sinh, qua cách khai thác bài toán 1 như trên tôi ra bài toán sau:

Bài toán 1.1: Cho tam giác ABC Qua điểm D thuộc cạnh BC kẻ các đường

thẳng song song với các cạnh của tam giác tạo thành hai tam giác nhỏ có diện tích là 4 cm2 và 9 cm2 Tính diện tích tam giác ABC

Giáo viên yêu cầu học sinh đọc, vẽ hình, phân tích bài toán 1.1 và tìm tòi lời giải Hãy tìm mối liên hệ giữa bài toán 1.1 với bài toán 1 Đặc biệt chú ý đến

BC

DB BC

CD

và mối liên quan đến tam giác đồng dạng

Lời giải

Đặt diện tích tam giác ABC là S

Dễ thấy ∆BDE ∞ ∆BCA.

∆CDF ∞ ∆CBA

Nên:

S S

BC

BD S

BC

BD2 = 4 ⇒ = 4 = 2











S S BC

DC S

BC

=

=

⇒

=













BC

DB BC

CD

do đó 2S + 3S =1 ⇒ S =5 ⇒ S =25cm2 Vậy diện tích tam giác ABC bằng 25 cm2

Các em hãy giải bài toán bằng cáh khác, ta có thể tính diện tích hình bình hành ADEF rồi mới tính diện tích tam giác ABC được không?

Nhận xét: Diện tích tam giác ABC là: 25 = ( 2 + 3 )2 = ( 4 + 9 ) 2

Vấn đề đặt ra là: các em hãy nêu bài toán tương tự như bài toán trên, hoặc nêu một bài toán tổng quát cho bài toán 1.1

Kết quả là có 30/35 học sinh trong lớp ra đề bài bằng cách thay đổi vị trí điểm

D trên các cạnh AB và AC, có 9/35 học sinh vừa thay đổi vị trí điểm D vừa cho diện tích các tam giác nhỏ là S1 và S2 Như vậy phần lớn các em đã biết khai thác bài toán Thể hiện được tính linh hoạt và sáng tạo trong quá trình học toán

Qua đây tôi cũng lưu ý cho các em rằng Trong các kỳ thi vượt cấp, thi học sinh giỏi, hoặc thi vào lớp chuyên, lớp chọn, bao giờ đề ra cũng dưới dạng áp dụng từ các bài toán quen thuộc

Chính vì vậy mỗi khi giải một bài toán các em nên xem xét các yếu tố của bài toán, yếu tố nào có thể cắt gọn đi, yếu tố nào giữ lại để chế biến, phát triển hoặc khái quát hóa bài toán

Sau đây là một số bài toán mà các em đã chế biến từ bài toán 1.1

Bài toán 1.2: Cho tam giác ABC Qua điểm D thuộc cạnh AB kẻ các đường

thẳng song song với các cạnh của tam giác tạo thành hai tam giác nhỏ có diện tích la S1 và S2 Tính diện tích hình bình hành trong tam giác và diện tích tam giác ABC

Đáp số: -Diện tích của tam giác ABC là: SABC = ( )2

2

S +

- Diện tích hình bình hành là: S = 2 S1S2

Kết quả bài toán sẽ đẹp hơn nếu như S1 và S2 là những số chính phương Vì vậy ta có thể ra bài toán là:

Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC Qua điểm D thuộc cạnh BC kẻ các đường

thẳng song song với các cạnh của tam giác tạo thành hai tam giác nhỏ có diện tích là X2 và Y2 (đơn vị diện tích ®) Tính diện tích tam giác ABC

Đối với bài toán này ( 87%) học sinh dễ dàng tính được ngay kết quả diện tích của tam giác ABC là: SABC = (X + Y)2(đ.v.d.t)

Bài toán 1 đã được khai thác từ khía cạnh diện tích và tỉ số đồng dạng Bây giờ ta sẽ khai thác bài toán về vị trí của điểm D Nếu điểm D không thuộc cạnh của tam giác nữa mà nằm trong tam giác thì sao? Vẫn giữ nguyên yếu tố song song Tức là qua điểm D vẫn kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác

Bài toán 1.4: Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác Qua O

vẽ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác, chia nó ra ba tam giác

nhỏvà ba hình bình hành Tính diện tích của tam giác ABC biết diện tích của tam giác nhỏ bằng:

a) 4 cm2; 9 cm2 ; 16 cm2

b) x2; y2 ; z2 (cm2)

c) S1 ; S2 ; S3

Đáp số:

a) 81 cm2

b) (x + y + z)2

3 2

Bài toán này thực sự lôi cuốn được học sinh, vì để tính được diện tích tam giác ABC thì phải tính được diện tích ba hình bình hành Để tính được diện tích từng hình bình hành lại xét các tam giác có điểm O thuộc một cạnh của tam giác Như vậy ta lại gặp lại bài toán 1.1 (tức là xét tam giác APQ ta tính được diện tích của hình bình hành AMOR Xét tam giác BMN ta tính được diện tích của hình bình hành BPOK Xét tam giác CKR ta tính được diện tích của hình bình hành CNOQ Khi đó diện tích của tam giác ABC bằng tổng diện tích của

ba tam giác nhỏ và ba hình bình hành)

Sau đây tôi tiếp tục ra hai bài toánvề áp dụng tỉ số hai diện tích của hai tam giác có cùng đường cao Và từ điểm O trong tam giác, nối o với các đỉnh của tam giác cắt các cạnh của tam giác tại ba điểm

2.Bài toán 2: Cho điểm O bất kỳ nằm trong tam giác ABC Các tia AO, BO,

CO cắt các cạnh BC, AC, AB theo thứ tự ở A1, B1, C1 Chứng minh rằng:

1

1 1

1 1

CC

OC BB

OB AA

OA

(Bài tập 5 - tr 41 - tài liệu dạy học theo chủ đề tự chọnở tỷường THCS - Môn Toán lớp 8 của BGD &ĐT)

Lời giải

A

C1 B1

O

B A1 C

Kí hiệu SABC = S, SBOC = S1, SOAC = S2, SAOB = S3

Hai tam giác BOA1 và tam giác BAA1 có chung đường cao hạ từ B đến cạnh

AA1 và OA1, nên: .

1

1

1

1

ABA

OBA

S

S AA

OA

=

1

1

1

1

ACA

OCA

S

S AA

OA

=

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1

1

1 1

1 1

S

S S

S S

S

S S

AA

OA

ABC

BOC ACA

ABA

OAC

+

+

Tương tự: 2

1

1

S

S BB

OB

=

3

1

1

S

S CC

OC =

1

1 1

1 1

S

S S

S S S S

S S

S S

S CC

OC BB

OB AA

OA

(đpcm)

Như vậy bằng phương pháp biểu thị tỉ số của hai đoạn thẳng theo tỉ số diện tích của hai tam giác ta đã chứng minh được bài toán 2 Để áp dụng thành thạo hơn nữa về tính chất này tôi ra bài toán sau:

Bài toán 2.1: Cho điểm O bất kì nằm trong tam giác ABC Các tia AO, BO,

CO cắt các cạnh BC, AC, BC theo thứ tự tại A1, B1, C1 Chứng minh rằng:

1

1 1

1 1

B C

AC A B

CB

C

A

BA

(Bài tập 6 - tr 41 - tài liệu dạy học theo chủ đề tự chọn ở trường THCS môn Toán 8 của Bộ GD &ĐT)

Lời giải

A

C1 B1

O

B A1 C

Kí hiệu SABC = S, SBOC = S1, SOAC = S2, SAOB = S3

áp dụng tỉ số diện tích của hai tam giác ta có:

1

1

1

1

CAA

BAA

S

S

C

A

BA

1

1

1

1

COA

BOA

S

S

C

A

BA

Từ (1) và (2) ta có:

1 1

1

1

1

1

COA

BOA CAA

BAA

S

S S

S C A

BA

=

=

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2

3 1

1

1 1

1 1

S

S S

S

S S

C A

BA

COA CAA

BOA

−

−

=

Hoàn toàn tương tự ta có:

3

1 1

1

S

S A B

CB

=

1

2 1

1

S

S B C

AC =

Nhân 3 đẳng thức với nhau ta có: 1

1

2 3

1 2

3 1

1 1

1 1

S

S S

S S

S B C

AC A B

CB C A

BA

Như vậy bằng cách vận dụng kiến thức về tỉ số diện tích và các cạnh của tam giác đã chứng minh được bài toán Để củng cố cho học sinh nắm vững hơn nữa bài toán trên tôi yêu cầu học sinh về nhà chứng minh:

1

.

1

1 1

1 1

B A

CA C B

AB A C BC

Vấn đề đặt ra là: nếu điểm O nằm ngoài tam giác thì bài toán còn đúng nữa không? (đây coi như bài tập về nhà để các em nghiên cứu®)

Tôi hướng dẫn học sinh tiếp tục khai thác bài toán theo hướng sau: Từ bài toán trên ta thấy các điểm A1, B1 và C1 thuộc ba cạnh của tam giác và AA1 , BB1

và CC1 đồng qui tại điểm O nằm trong tam giác Vậy nếu có: 1

1

1 1

1 1

B A

CA C B

AB A C BC

thì liệu ba đường thẳng AA1 , BB1 và CC1 có đồng qui không?

Ta xét bài toán lật ngược vấn đề sau đây:

Bài toán 2.2: Cho tam giác ABC Gọi các điểm A1, B1 và C1 là các điểm lần

lượt trên các cạnh BC, CA, AB thõa mãn 1

1

1 1

1 1

B A

CA C B

AB A C

BC

Chứng minh các đường thẳng AA1 , BB1 và CC1 đồng qui tại một điểm

Chứng minh

A

C1 B1

C2 O

B A1 C

Giả sử O là giao điểm của AA1 và BB1

Gọi C2 là giao điểm của OC và AB áp dụng bài toán 2.1 ta có:

1

1

1 1

1 2

B A

CA C B

AB A C

BC

Theo giả thiết ta có: 1

1

1 1

1 1

B A

CA C B

AB A C BC