SKKN Toán 7 Đại số

Chính vì vậy, việc giảng dạy trong nhà trờng phổ thông ngày càng đòi hỏi nâng cao chất lợng toàn diện, đào tạo thế hệ trẻ cho đất nớc có tri thức cơ bản, một phẩm chất nhân cách có khả n

I lý do chọn đề tài.

Tri thức khoa học của nhân loại càng ngày càng đòi hỏi cao Chính vì vậy, việc giảng dạy trong nhà trờng phổ thông ngày càng đòi hỏi nâng cao chất lợng toàn diện, đào tạo thế hệ trẻ cho đất nớc có tri thức cơ bản, một phẩm chất nhân cách có khả năng t duy, sáng tạo, t duy độc lập, tính tích cực nắm bắt nhanh tri thức khoa học Chỉ có thể t duy sáng tạo khi học sinh đã có t duy tích cực và độc lập Rèn luyện kỹ năng t duy độc lập cho học sinh tự chiếm lĩnh kiến thức là cách hiệu quả nhất

Môn Toán là môn học góp phần tạo ra những yêu cầu đó Đặc trng của Toán học là trừu tợng hoá cao độ, có tính lôgíc phải chú trọng nguyên tắc trực quan quy nạp, trực quan Toán học Dạy học phải cân đối các quan hệ giữa trực quan, trừu tợng giữa suy luận có lí, có căn cứ Vì vậy việc hình thành năng lực giải Toán cho học sinh trung học cơ sở là việc làm chính của ngời thầy không thể thiếu đợc, rèn luyện cho các em có khả năng t duy sáng tạo, nắm chắc kiến thức cơ bản, gây đợc hứng thú cho các em yêu thích môn Toán

Thế mà trong quá trình giảng dạy đôi khi chúng ta cũng quên mất điều

đó Thực tế khi giảng dạy một cách áp đặt, dập khuôn những vấn đề có sẵn, thiếu tính sáng tạo, học sinh tiếp thu một cách bị động Vì thế khi giải Toán gặp bài toán khó hoặc kiến thức lớp trên trong chơng trình Toán THCS thờng là các

em không làm đợc

Để góp phần nâng cao chất lợng, giúp học sinh hình thành năng lực giải

bài toán trong trờng THCS Bản thân tôi đã nghiên cứu phần “Tỷ lệ thức” chơng

trình lớp 7 nhằm hình thành năng lực giải Toán cho học sinh THCS

Giới thiệu một số bài soạn và bài tập có liên quan về tỷ lệ thức trong

ch-ơng trình THCS

Thông qua đó đa ra các phơng pháp và biện pháp.

Chơng i

Cơ sở lí luận

Dạy học môn Toán là dạy hoạt động Toán học gồm một hệ thống tác

động liên tục của giáo viên nhằm tổ chức các hoạt động nhận thức, thực hành của học sinh để học sinh nắm vững kiến thức có niềm tin vào khả năng Toán học của mình nhằm đạt đợc mục tiêu đã định

Trong dạy học Toán thì ngời thầy giữ vai trò chủ đạo hớng dẫn học sinh, còn học sinh giữ vai trò chủ động tích cực lĩnh hội tri thức chính là phát huy tính tích cực của học sinh trong học tập nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực, độc lập sáng tạo

Việc hình thành năng lực giải Toán ở trờng phổ thông càng thể hiện rõ mục đích dạy Toán là:

- Truyền thụ kiến thức cơ bản

- Rèn luyện năng lực giải Toán

- Rèn luyện t duy

- Bồi dỡng phẩm chất nhân cách

Muốn đạt đợc mục đích đó cần phải chú trọng tới phơng pháp dạy khái niệm, định lí (tính chất), kiến thức mới, phơng pháp dạy tiết luyện tập Trong phạm vi nghiên cứu về “Tỷ lệ thức” ta phải chú trọng việc dạy học cho học sinh khả năng giải Toán Do đó cần phải nắm đợc phơng pháp dạy tiết luyện tập đó là:

a) Mục tiêu chung của tiết luyện tập:

1 Hoàn thiện, khắc sâu hoặc nâng cao (ở mức độ của chơng trình cho phép) phần lí thuyết qua hệ thống bài tập

2 Rèn luyện kỹ năng, thuật toán, nguyên tắc giải Toán (tuỳ theo yêu cầu của từng bài cụ thể)

3 Rèn luyện nề nếp học tập có tính khoa học, rèn luyện các thao tác t duy,

ph-ơng pháp học tập chủ động, tích cực, sáng tạo

b) Phơng pháp dạy học tiết luyện tập:

* Phơng án 1:

Bớc 1: Nhắc lại một cách có hệ thống các nội dung lý thuyết đã học, sau đó mới

mở rộng ở mức độ cho phép khắc sâu lí thuyết thông qua kiểm tra miệng hoặc bài tập trắc nghiệm đúng sai với một hệ thống từ đơn giản đến yêu cầu cao hơn Bớc 2: Cho học sinh trình bày bài tập ở nhà để kiểm tra học sinh về kỹ năng vận dụng lí thuyết giải bài tập, kỹ năng tính toán, cách diễn đạt bằng lời, cách trình bày lời giải bài toán Phải chốt lại các vấn đề có tính giáo dục (phân tích cách giải đúng sai ở từng bài rồi đa ra cách giải thông minh, hợp lí, ngắn gọn hơn ) Bớc 3: Cho học sinh trình bày làm một vài bài tập mới theo chủ định của giáo viên nhằm kiểm tra ngay sự hiểu biết của học sinh, khắc phục những sai xót học sinh thờng mắc phải Rèn luyện một kỹ năng hoặc một thuật toán nào đó rất cơ bản cho học sinh mà giáo viên cho là cần thiết trong thời điểm này

* Phơng án 2:

Bớc 1: Cho học sinh trình bày một vài bài tập cũ đã cho học sinh làm ở nhà nhằm kiểm tra học sinh hiểu lí thuyết đến đâu, kỹ năng vận dụng lí thuyết trong giải toán thế nào? Học sinh thờng mắc sai xót gì?

Bớc 2: Sau khi nắm đợc thông tin qua bớc 1 giáo viên phải chốt lại những vấn

đề có tính chất trọng tâm:

- Nhắc lại một số vấn đề lí thuyết mà học sinh cha hiểu sâu nên không giải đợc bài tập Có thể đa bài tập trắc nghiệm hoặc ví dụ phản lại lí thuyết

- Chỉ ra sai xót của học sinh mắc phải, chỉ ra phơng án khắc phục sai xót

đó

- Hớng dẫn cho học sinh cách trình bày bằng lời, bằng kí hiệu, cách diễn

đạt bằng lời

Bớc 3: (Giống nh phơng án 1)

Nh vậy việc chọn phơng án 1 hay phơng án n phải tuỳ thuộc vào tính chất mục tiêu, yêu cầu cụ thể của từng tiết luyện tập mà ngời thầy đề ra

Chơng ii

Kết quả nghiên cứu thực tiễn

Học về tỷ lệ thức có nhiều lợi ích:

Từ tỷ lệ thức

d

c b

a

= ⇒ a.d =b.c

Nếu biết 3 trong 4 số hạng của tỷ lệ thức ta tìm đợc số hạng kia trong tỷ

lệ thức

b

d a c c

d a b a

c b d d

c b

a = . ; = . ; = . ; = .

- Khi học về đại lợng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch thì tỷ lệ thức là một phơng tiện quan trọng giúp việc giải bài toán một cách nhanh chóng Môn Toán có hai phân môn Hình học và Đại số Đại số đã đợc áp dụng tỷ lệ thức còn phân môn

Hình học cũng đợc áp dụng nhất là Hình học lớp 8 Định lí Ta-let tam giác đồng dạng, không thể thiếu đợc tỷ lệ thức và tính chất tỷ lệ thức Đặc biệt không nhớ

đợc tính chất tỷ lệ thức thì không làm đợc bài toán

Ví dụ: Có nhiều phơng án chứng minh tỷ lệ thức bắt đầu từ ví dụ đơn giản

Ví dụ 1: Cho tỷ lệ thức: = ≠1

d

c b

a

với a , b , c , d ≠ 0

Chứng minh

c

d c a

b

Bài giải

Cách 1: Từ

c b

a

⇒

=

Xét tích (a.−b).c = a.c−b.c

Thay b.c =a.d ⇒ (a −b).c =a.c−a.d = (c−d).a

Vậy

c

d c a

b a a d c c b

a − ). = ( − ). ⇒ − = − (

Nh vậy để chứng minh:

c

d c a

b

a − = − ta phải có đẳng thức

a d c c

b

a ) ( ).

Cách 1: Đặt k a b k c d k

d

c b

a

;

=

⇒

=

=

Xét

k

k k

b

k b k

b

b k b a

b

) 1 (

− = − = −

=

Và

k

k k

d

k d k

d

d k d c

d

) 1 (

− = − = −

=

Từ (1) và (2)

c

d c a

b

a − = −

⇒

Trong cách này ta chứng minh tỉ số:

c

d c a

b

nhờ tỉ số thứ ba Để có

tỉ số thứ ba ta đặt giá trị tỉ số đã cho bằng giá trị k Từ đó tính giá trị của một số hạng theo k

Cách 3: Từ tỉ số

d

b c

a d

c b

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

a

b a c

d c d c

b a c

a d c

b a

d

b

c

−

−

=

⇒

−

−

=

=

hay

c

d c a

b

Trong cách này sử dụng hoán vị trong tỉ rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ

số bằng nhau rồi lại hoán vị ngoại tỉ một lần nữa

Cách 4:

Từ

c

d a

b d

c b

Xét

d

d c c

d a

b a

b a

b

a − =1− ⇒1− =1− = −

Vậy

c

d c a

b

a− = −

Cách 5:

Từ

c

d a

b d

c b

a

=

⇒

= Lấy 1 trừ từng vế của tỷ lệ thức:

c

d c a

b a c

d a

− 1

1

Trong cách này đổi đồng thời ngoại tỉ cho trong tỉ Rồi chọn số 1 biến đổi

đẳng thức cần chứng minh

Cách 6:

Từ tỷ lệ thức a d b c

d

c b

a

=

⇒

= Xét:

c a

d a c b c

a

d a c a c b c a c

a

a d c c b a c

d c

a

b

a

)

( )

=

−

=

−

Mà = ⇒ − + =0

ac

ad bc c

b

d

c

d c a

b a c

d c a

b

Trong cách này xét hiệu của tỷ lệ thức cần chứng minh

* Tóm lại từ một tỷ lệ thức ta có thể suy ra tỷ lệ thức khác bằng cách chứng minh theo nhiều cách khác nhau có thể sử dụng trong bài tập

Ví dụ 2: cho tỷ lệ thức

cd

ab d

c

b

+

+ 2 2 2 2

Víi a,b,c,d ≠ 0 vµ c ≠ ± d Chøng minh :

d

c b

a = hoÆc

c

d b

a =

Gi¶i:

C¸ch 1: Ta sö dông c¸ch 6:

XÐt 22 22 = =0

+

+

cd

ab d

c

b a

0 ) )(

(

0 ) (

) (

0 ) (

) (

0 )

(

0 )

(

) (

) (

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

=

−

−

⇔

=

−

−

−

⇔

=

−

−

−

⇔

= +

−

− +

⇔

= +

+

− +

⇔

db ac bc ad

bc da db bc

ad

ac

cd b ab d ab

c cd

a

cd d c

ab d ab c cd b cd

a

cd d c

d c ab cd

b a

c

d b

a bd

ac bd

ac

d

c b

a bc

ad bc

ad

=

⇒

=

⇒

=

−

=

⇒

=

⇒

=

−

0 0

VËy

d

c b

a cd

ab d

c

b

a

=

⇒

= +

+

2 2

2 2

hoÆc

c

d b

a

=

C¸ch 2:

Tõ

cd

ab d

c

b a cd

ab d

c

b

a

2

2

2 2

2 2 2

2

2

2

= +

+

⇒

= +

+

¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau ta cã:

⇔

2 2

2 2

2

2 2 2

2

2

2

) (

) (

2

2











 +

+

= +

+

= +

+

+ +

=

+

+

d c

b a d

c

b a cd d

c

ab b

a d

c

b

a

(1)

vµ

2 2

2 2

2

2 2 2

2

2

2

) (

) (

2

2













−

−

=

−

−

=

− +

− +

= +

+

d c

b a d

c

b a cd d

c

ab b

a d

c

b

a

(2)

Tõ (1) vµ (2)

2 2













−

−

=











 +

+

⇒

d c

b a d

c

b a

* XÐt trêng hîp

d c

b a d c

b

a

−

−

= + +

¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau

d

b d

b d

c d c

b a b a d

c

b

a

c

a c

a d

c d c

b a b a d

c

b

a

=

= +

− +

+

− +

= +

+

=

=

− + +

− + +

= +

+

2 2 2 2

d

c b

a d

b c

a

=

⇒

=

⇒

* XÐt trêng hîp

d c

a b d c

b a d

c

b

a

−

−

=

−

−

−

= + +

¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau

d

a d

a d

c d c

a b b a d

c

b

a

c

b c

b d c d c

a b b a d c

a b d

c

b

a

=

= +

− +

+

− +

= +

+

=

=

− + +

− + +

=

−

−

= +

+

2 2

2 2

c

d b

a c

b d

a

=

⇒

=

⇒

Vµ

Vµ

Ví dụ 3: Tìm 3 phân số tối giản biết tổng của chúng bằng

70

13

2 , các tử số của chúng

tỉ lệ với 5, 3, 2 và mẫu của chúng tỉ lệ với 2, 5, 1

Giải:

Gọi các phân số cần tìm là x, y, z

Ta có:

70

153 70

13

2 =

= + + y z x

Và

1

2 : 5

3 : 2

5 :

: y z =

1

2 5

3 2 5

z y

x = =

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

7

3 10 51 70 153

1

2 5

3 2

5 1

2

5

3

2

+ +

+ +

=

=

= y z x y z

x

Vậy

14

15 2

5

7

3 =

=

x

35

9 5

3 7

3 =

=

y

7

6 1

2 7

3 =

=

z

Trả lời: Ba phân số cần tìm là

7

6

; 35

9

; 14 15

Ví dụ 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ

số của nó nếu xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1, 2, 3

Bài giải:

Giọi a, b, c là các chữ số phải tìm xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ta có:

6 3

2

1

c b a c

b

(1)

Do số phải tìm là bội của 72

Nên a +b+c9

Mà 3≤a +b+c≤27⇒a +b +c∈ 9,18,27} (2)

Từ (1) suy ra a +b+ c6 (3)

Từ (2) và (3) suy ra a +b+ c=18

9 3 3

6 2 3

3 1 3

=

=

=

=

=

=

c b a

Vì số cần tìm chia hết cho 2 nên ta có 396, 936 Ta thấy số 936 thoả mãn

điều kiện của đầu bài

Ví dụ 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2, 3, 4 Ba chiều cao tơng ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào

Bài giải:

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c

Ba chiều cao tơng ứng là x, y, z

Diện tích tam giác là S ta có:

S c

S b S

Vì ba cạnh tỉ lệ với 2, 3, 4 ta có:

4 3

2

c b

a

=

Từ (1) và (2) ta có: x y z

z

S y

S x

S

4 3 2 4

2 3

2 2

3 4 6

3 4

; 2

3

z y x

z y y x

=

=

⇒

=

=

⇒

Vậy chiều cao tơng ứng với ba cạnh tỉ lệ với các số 6, 4, 3

Ví dụ 6: Tìm hai số khác 0 biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với 5, 1, 12

Bài giải:

Giọi hai số phải tìm là a, b (a ≠ 0,b ≠ 0), a > b ta có:

12

1

5

b a b a

b

a

=

−

=

+

1

b a b

a

−

= +

⇒

−

=

+

2

3 6

4 5

b

a+ = − ⇒ = ⇒ =

⇒

Do đó

2

2

b

b b

a− = − =

12

.

b a

b

a

−

=

⇒

=

−

Thay

2

.b b

a− = vào ta có:

6 ⇒ =

= b a

ab

Thay a=6 vào a b

2

3

= ta có:

4 12

3

6

2

3b= ⇒ b= ⇒b=

Vậy a = 6; b = 4

Phần iii: Kết luận

Trong Toán học bất kỳ nội dung gì cũng không có một khuân mẫu cứng nhắc

và đơn điệu Vì phơng pháp dạy học là một nghệ thuật sáng tạo.Không có

ph-ơng pháp duy nhất Nhng để đáp ứng một cách dễ dàng có hiệu quả thì cần phải phác hoạ một quy trình chung khá linh hoạt sáng tạo phù hợp với đối tợng học sinh Ngời thầy định hớng suy nghĩ hoặc các cách giải khác nhau để chọn ra phơng án tối u và hiệu quả

Với dạng Toán tỷ lệ thức thì phơng pháp dạy học phát huy tính tích cực của trò, yêu cầu trò phải thực sự hoạt động tích cực đặc biệt giờ luyện tập Trò lĩnh hội kiến thức của thầy, thì thầy phải rèn luyện cho trò thờng xuyên có hệ thống để giúp trò có khả năng vận dụng kiến thức giải bài tập trong phạm vi

ch-ơng trình Hệ thống đó phải có các bài tập đa dạng, có nhiều cách giải

Trong thực tế giảng dạy, tôi cũng thấy hiệu quả rõ rệt Nếu các em có một

hệ thống kiến thức vững thì các em vận dụng giải Toán nhất định