ườ ng THCS Vinh Xuõn
Đề thi học sinh giỏi lớp 8
(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề) Câu1:( 5điểm)
1.Chứng minh rằng: (a+b+c)3 -(a3+b3+c3) Chia hết cho 24 nếu a,b,c cùng tính chẵn lẻ
2.So sánh :
1 100
1 100
1 4
1 4 1 3
1 3 1 2
1 2
3
3
3
3
3
3
3
−
+
−
+
−
+
−
+
2 3
Câu 2:(3điểm) Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác và a+b+c=2.
Chứng minh : a2+b2+c2+2abc<2
Câu 3: (4điểm)Tìm x,y,z∈Z+ thỏa mãn các phơng trình sau:
1/ xy-4x=35-5y
2/ x+y+z=xyz
Câu 4:(4điểm)
1/ Biết : 4x-3y=7 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=2x2+5y2
2/ Cho a+b=1 Chứng minh:
3 b a
) 2 ab ( 2 1 a
b 1 b
a
2 2 3
−
=
−
+
−
Câu 5: (4điểm) Trên đờng chéo BD của hình vuông ABCD lấy điểm M Từ M kẻ
đờng thảng ME vuông góc với AB; MF vông góc với AD (E∈AB;F∈AD)
Chứng minh : Các đờng thẳng BF,CMvà DE đồng quy
………Hết……
đáp án
Câu 1:
1 Biến đổi: B= (a+b+c)3 -(a3+b3+c3)=3(a+b)(b+c)(c+a)3
* a,b,c chẵn thi a+b; b+c ;c+a đều là các số chẵn nên B8
* a,b,c lẻ thì a+b; b+c; c+a đều là các số chẵn nên B8
Mà (3;8)=1⇒B 24
Trang 22: Ta có:
1 100
1 100
1 4
1 4 1 3
1 3 1 2
1 2
3
3
3
3
3
3
3
−
+
−
+
−
+
−
+
10101
99
9901 101
21 3
13 5 13 2
7 4 7 1
3 3
A=
10101
21 13 7
9001
13 7 3 99
4
3
2
1
101
5
4
10101
10100
2
3 10101
3 2
101
2 3
Câu2: a+b+c=2 mà a,b,c là các cạnh của tam giác nên a,b,c >0⇒a<1,b<1,c<1 ⇒ (1-a) (1-b)(1-c)>0⇒⇔ 1-(a+b+c)+ab+ac+bc-abc>0
⇔-1+ abc 0
2
c b a bc ac ab 2
c b
>
− + +
− + + + + +
⇔-1+( ) abc 0
2
c b a 2
c b
>
− + +
− +
+
⇔1 abc 0
2
c b
a2 2 2
>
− + +
− Hay : a2+b2+c2+2abc<2
Câu 3:
1/ Biến đổi phơng trình về dạng (x+5)(y-4)=15 xét các trờng hợp và loại ta có các cặp (x,y) cần tìm là (10;5); (0;7)
2/ Không mất tính tổng quát ta giả sử 0<x≤y≤z
Suy ra : xyz=x+y+z≤3z⇒xy≤3 (*)
Nếu x=y=z⇒3x=x3 ⇒x=0;x2 =3 Không thỏa mãn suy ra ít nhất hai trong ba Sốkhông bằng nhau
Từ (*)⇒xy〈3⇒xy=1hoặc xy=2 Nếu xy=1⇒x=y=1(vì x,y∈Z )+ ⇒z=z+ 2 (vô lí ) Nếu xy=2⇒x=1;y=2(vì x<y) Khi đó :2z=z+3⇒z =3
Vây bộ (1;2;3) là cần tìm và các hoán vị của nó
Câu 4: 1/Có x=
4
y 3
7+ khi đó M=
8
49 y 42 y
8
3 y
≥ + +
Vậy Mmin =5 khi y=
7
3 2/Có a=1-b
Vế trái :
1 1
b b
1 1
b 1
b 1
b
b 1 1 a
b 1 b
a
2 2
3 3
3
−
=
−
+
−
2 ab 2 3 b
1
b
2 b
1
b
2
2 2 2
−
= +
−
−
−
Suy ra ddpcm
Câu 5:
Goi giao điểm của EM và DC ; FM
và BC ; BF và DE lần lợt là E/ ;F/ và O
Ta có các hình chũ nhật MEAF và ME/CF/
bằng nhau ⇒∆EFM=∆CE/M⇒∠MCE/ =∠MEF
EF
CM⊥
Mặt khác hình chữ nhật AE E/D bằng hình chữ nhật
E
C D
M
O F
/
/
E
/ F
Trang 3CF/FD⇒∆AED=∆DFC⇒∠ADE=∠DCF⇒CF⊥DE.Tơng tự có:FB
0
CE⇒
⊥ là trực tâm tam giác CEF⇒CO⊥EF(2).Từ (1)và(2) C,M,O thẳng hàng, hay DE,CM,BF đồng quy
………